Định lý Goldie phải:

L ỜI NĨI ĐẦU

2.3 Định lý Goldie phải:

2.3.1 Định nghĩa:

Vành Goldie phải là vành thỏa các điều kiện sau:

i) Thõa mãn điều kiện dãy tăng trên các linh hĩa tử phải. ii) Cĩ số chiều đều hữu hạn.

2.3.1 Mệnh đề:

Ideal phải I của R là linh hĩa tử phải khi và chỉ khi I r l I= ( ( )).

Chứng minh:

Thật vậy, I r X X A= ( ),( ⊆ ).

Khi đĩ ta cĩ X l I⊆ ( ).

Vì thế I r X= ( )⊇r l I( ( ))⊇I(đpcm).

2.3.2 Định lý: (Điều kiện Goldie phải) .

Nếu R là vành Goldie phải nửa nguyên tố thì R cĩ một vành các thương phải, và vành các thương phải này là vành nửa đơn.

Chứng minh: Cần các bổ đề sau.

2.3.2.1 Bổ đề:

R là vành nửa nguyên tố thỏa điều kiện dãy tăng trên các linh hĩa tử phải. Nếu I và J là ideal phải của R, I J⊆ và l I( ) ( )≠l J thì cĩ phần tử a I∈

sao cho aI ≠0và aI J∩ =0. Chứng minh:

- Vì J I⊆ nên l J( )⊇l I( ).

Mà l I( ) ( )≠l J nên l J( )⊃l I( ).

Theo điều kiện dãy tăng trên các linh hĩa tử phải kéo theo điều kiện dãy giảm trên các linh hĩa tử trái.

Bây giờ ta lấy U là linh hĩa tử trái nhỏ nhất thỏa l J( )⊇ ⊃U l I( ).

Vì UI ≠0và A là nửa nguyên tố nên UIUI ≠0.

Do đĩ tồn tại au IU∈ sao cho UauT ≠0.

- Giả sử auI I∩ ≠0thì tồn tại x I∈ sao cho 0≠aux I∈ .

Vì x I∈ nên l x( )⊇l I( ), hơn nửa là U l x∩ ( )⊇l I( ).

Do tính tối tiểu của U nên U l x l I∩ ( ) ( )= hay U l x U∩ ( )= (vì giao các linh hĩa tử trái là linh hĩa tử trái).

Suy ra U l x⊂ ( )nên ux 0= (vơ lí v aux≠ 0).

( ) ,aux

l J ⊇U ∈Jsuy ra Uaux=0.

Do đĩ Uaux l x⊂ ( )⇒Uaux U⊂ ⇒Uaux l I⊂ ( )(khơng xảy ra). Bổ đề được chứng minh.

2.3.2.2 Hệ quả:

R là vành nửa nguyên tố thỏa điều kiện dãy tăng trên các linh hĩa tử phải. Nếu xR và yR là hai ideal cốt yếu của R thì yxR là một ideal cốt yếu của R.

Chứng minh:

Lấy I là ideal phải khác 0 B= ∈{a R:ya I}.∈

Vì yR là ideal cốt yếu, B≠0 và yB =yR∩ ≠I 0 nên theo định nghĩa của B ta được r y( )⊆B.

Theo bổ đề 2.2.2.1, tồn tại u B∈ sao cho uB≠0và uB r y∩ ( ) 0.=

Vì 0uB là ideal phải trong R và uB B⊂ nên nếu ta đặt J uB= thì ta được J≠0 và J r y∩ ( ) 0.=

Giả sử K = ∈{a R:xa J}.∈

Vì xR là ideal cốt yếu nên xK xR J= ∩ ≠0, hơn nửa yxK ≠ 0.

Bên cạnh đĩ yxK ⊆yJ yR⊆ ⊆R nên yxR I∩ ≠ 0.

Vì thế yxAlà ideal cốt yếu.

2.3.2.3 Hệ quả:

R là vành nửa nguyên tố thỏa điều kiện dãy tăng trên các linh hĩa tử phải. Nếu xR là ideal cốt yếu trong R thì x là phần tử chính quy trong R. Chứng minh:

i) Xét l x( )

Vì R là nửa nguyên tố nên l R( ) 0.=

Nếu l x( ) 0≠ thì áp dụng bổ đề 2.3.2.1 cho ideal I R J xR= , = . Vì xR là ideal cốt yếu nên ta cĩ l x( ) 0.=

ii) Xét r x( ).

Ta cĩ: r x( )⊆r x( ) ...2 ⊆

Theo điều kiện dãy tăng các linh hĩa tử phải thì tồn tại n>0 :

1 ( )n ( n ).

r x =r x +

Nếu a x R r x∈ n ∩ ( )thì a x y= n và xa= =0 x yn+1 (doy r x∈ ( n+1)=r x( )n

và a=0). Do đĩ x R r xn ∩ ( ) 0.=

Theo hệ quả 2.2.2.2 thì x Rn là ideal cốt yếu nên ta được r x( ) 0.=

Vậy x là phần tử chính quy trong R.

2.3.2.4 Bổ đề:

trên các linh hĩa tử phải. Chứng minh:

Lấy R1 ⊃ R2 ⊃ ⊃... Rn ⊃... là dãy giảm nghiêm ngặt các linh hĩa tử phải, nghĩa là l R( ) (n ≠l Rn+1), .∀n

Áp dụng bổ đề 2.3.2.1, ta tìm được một ideal phải khác 0 là Ii ⊆Ri+1

sao cho Ii∩R i+1=0.

Khi đĩ Ii tạo nên một tổng trực tiếp vơ hạn các ideal phải trong R (mâu thuẫn với điều kiện R là vành Goldie phải). (đpcm).

2.3.2.5 Bổ đề:

Cho R là vành Goldie phải nửa nguyên tố. Nếu x∈R và r( ) 0x = thì xR là ideal cốt yếu và x là phần tử chính quy.

Chứng minh:

Giả sử tồn tại ideal phải I ≠0của R.

Ta sẽ chứng minh rằng trong trường hợp này, các ideal phải x I nn ( ≥0) tạo thành một tổng trực tiếp vơ hạn.

Vì r x( ) 0= nên x In ≠0.

Nếu cĩ đẳng thức 2

0 1 2 ... n 0

n

a +x a x a+ + + x a = , trong đĩ a Ii∈ và n là số nguyên dương bé nhất cĩ tính chất này.

Khi đĩ a0∈ ∩I xR=0, ta thu được đẳng thức:

( 1 ) 1 2 ... n 0. n x a x a+ + +x a− = Vì r x( ) 0= nên 1 2 ... n 1 0 n

a x a+ + +x a− = (mâu thuẫn với tính tối tiểu của số nguyên dương n).

Do R khơng cĩ một tổng trực tiếp vơ hạn các ideal phải nên ta được 0

tử chính quy.

2.3.2.6 Bổ đề:

R là vành Goldie phải nửa nguyên tố. Nếu I là ideal phải cốt yếu của R thì I chứa phần tử chính quy của R.

Chứng minh:

*Ta chứng minh một ideal phải I ≠0bất kì của vành R cĩ chứa một phần tử x thỏa r x( )=r x( ).2

Vì R là vành nửa nguyên tố nên chứa phần tử khơng lũy linh. Xét tập hợp các linh hĩa tử phải S={ ( ) |r y y I y∈ , n ≠0}.

Vì R là vành Goldie phải nên bất kì dãy giảm các phần tử của S đều cĩ phần tử tối đại.

Theo bổ đề Zorn, S cĩ phần tử tối đại r x( ).

Vì r x( )⊆r x( )2 nên r x( )=r x( ).2 *Bây giờ ta lấy I là ideal cốt yếu của R.

Giả sử I khơng chứa bất kì phần tử d A∈ sao cho: r d( ) 0.=

Trong trường hợp này ta cĩ thể xây dựng một dãy các phần tử 1, ,...,2 n , i 0,

a a a ∈I a ≠ ∀i thỏa điều kiện: i) r a( )i =r a( ), .i2 ∀i

ii) a ai j = ∀ <0, i j.

iii) a R a R1 ⊕ 2 ⊕ ⊕... a Rn là tổng trực tiếp.

Giả sử ta cĩ dãy a a1, ,...,2 an∈I a, i ≠ ∀0, i thỏa điều kiện i), ii), iii). Lấy b a a= +1 2 + + ∈... an a R a R1 ⊕ 2 ⊕ ⊕... a Rn .

Vì cách chọn I khơng chứa phần tử d R∈ sao cho: r d( ) 0= nên b≠0 và 1 ( ) n ( ).i i r b r a = =

Lấy X r b= ( )∩I.

Vì I là ideal cốt yếu và r b( ) 0≠ nên X 0.≠

Theo cách chứng minh trên X cĩ chứa phần tử lũy linh khác 0 là an+1 sao cho r(a ) r(a ).n+1 = 2n+1

Vì an+1∈r b( )nên ta cĩ a ai i+1= ∀ < +0, i n 1.

*Ta sẽ chứng minh a R a R1 ⊕ 2 ⊕ ⊕... a Rn là tổng trực tiếp. Lấy y∈(a R a R1 ⊕ 2 ⊕ ⊕... a Rn )⊕a Rn+1 . 1 1 ,( , ). n n i i i i y a x+ a x x x A = = =∑ ∈ Ta cĩ: 1 1 1 1 12 1 0 n n i i . i a a x+ a a x a x = = =∑ = Do đĩ 2 1 ( )1 ( )1 x r a∈ =r a hay a x1 1=0. Vì thế 1 1 . n n i i i a x+ a x = =∑ Giả sử aj jx = ∀ < <0, j i n hay n 1 n j j. j i a x+ a x = =∑ Suy ra 0 i n 1 n i j j i i2 . j i a a x+ a a x a x = = =∑ = Khi đĩ a xi i =0.

Tiếp tục quá trình trên ta được y=0.

Tức là ta cĩ thể xây dựng được một tổng trực tiếp vơ hạn các

1 2 ... n n 1 ...

a R a R⊕ ⊕ ⊕a R a R⊕ + ⊕ các ideal phải khác 0 . Suy ra R khơng cĩ số chiều đều hữu hạn (vơ lí). Vậy I phải chứa phần tử d R∈ sao cho: r( ) 0.d =

Chứng minh định lý 2.3.2

*Đầu tiên ta chỉ ra rằng R là vành Ore phải. Lấy a∈R và b S∈ .

Theo bổ đề 2.3.2.5, bR là ideal cốt yếu trong R.

Suy ra X {u R:au bR}= ∈ ∈ cũng là ideal cốt yếu phải trong R. Theo bổ đề 2.3.2.6, X phải chứa phần tử chính quy x∈S nên

ax=by y R, ∈ .

Do đĩ, R là vành Ore phải.

Theo định lý 2.1.2 thì R cĩ một vành các thương bên phải Q=AS .−1 *Bây giờ ta chứng minh Q là vành nửa đơn.

Lấy I là ideal phải của Q thì I1 = ∩I Rlà ideal phải của R. (định lý 2.1.6).

Theo định lý 2.1.5, tồn tại một tổng trực tiếp tối đại các ideal phải

1 2 ... n

J I= ⊕ ⊕ ⊕I I của R chứa I1.

Từ tính tối đại của J suy ra J là ideal cốt yếu.

Theo bổ đề 2.3.2.6 thì J cĩ chứa một phần tử chính quy. Do đĩ theo định lý 2.1.5, JQ = Q.

Đặt P I= ⊕ ⊕ ⊕1 I2 ... In.

Theo định lý 2.1.5 ta cĩ Q JQ I= ( 1⊕P Q I) = ⊕1 PQ. Tồn tại một phần tử lũy đẳng e Q∈ sao cho I eQ= .

Thật vậy, bất kì ideal phải nào của Q đều là chính quy. Vì thế vành Q là vành Noether phải và vành Goldie phải.

Vì một ideal phải bất kì của Q đều được sinh bởi một phần tử lũy đẳng nên Q khơng cĩ ideal lũy linh. (vì nếu e là một phần tử lũy đẳng khác 0 thì

0,

n

e = ≠ ∀e n) .

Lấy I là ideal phải của Q thì I eQ= , trong đĩ e2 =e là phần tử lũy đẳng của Q.

Vì e và f = −1 e là một cặp lũy đẳng trực giao nên l I( ) ( )=l e = fQ và

( ) ( ).

eQ r f= =r fQ

Do đĩ bất kì ideal phải của Q đều là linh hĩa tử phải.

Mà Q là vành Goldie phải nửa nguyên tố nên theo bổ đề 2.3.2.4 thì Q thoả mãn điều kiện dãy giảm trên các hốn tử phải và vì thế Q là vành Artin phải.

* Vành Artin phải và nửa nguyên tố là vành nửa đơn.

2.3.3 Cho R là vành nửa nguyên tố. Xét vành tự đồng cấuEnd(R )R . Vành con của End(R )R sinh bởi R và 1 được kí hiệu là R1.

Bổ đề:

i) R R 1 và R iđêan cốt yếu của R1.

ii) R1 là vành nửa nguyên tố. Chứng minh:

i) Rõ ràng R R 1. Cho 0≠ Ar R1. Chứng minh rằng AR⊆ R.

Vì R1 được sinh bởi R và 1. Hơn nữa với a A r R∈ , ∈ thì a và ar cĩ thể được xem là tự đồng cấu của R. Nếu a≠0thì a r( ) 0≠ với mọi r và AR 0≠ .

Vì vậy R là một iđêan cốt yếu của R1.

ii) Nếu 1

r

A R với A2 =0thì (A R∩ )2 =0 vì thế R1 là nửa nguyên tố

CHƯƠNG 3: VỀ CẤU TRÚC VÀNH GOLDIE NỬA NGUYÊN TỐ

Chương này sẽ nghiên cứu một số hệ quả và mở rộng của định lý Goldie. Bên cạnh đĩ ta sẽ thấy được mối quan hệ của vành R và vành ma trận

( )

n

M R ứng với vành các thương Q và vành các thương M Qn( ). Chương này cũng tập trung vào các iđêan tối tiểu, nghiên cứu mối quan hệ đặc biệt của nĩ trong vành Goldie nửa nguyên tố.