Thứ tự trong vành các thương:

L ỜI NĨI ĐẦU

3.1 Thứ tự trong vành các thương:

3.1.1 Mệnh đề:

Nếu Q là vành Artin phải thì Q là vành các thương phải và mọi phần tử chính quy phải là khả nghịch.

Chứng minh:

Lấy s Q∈ là phần tử chính quy phải. Xét chuỗi giảm {s Qn }.

Vì Q là vành Artin phải nên tồn tại n sao cho: s Q s Qn = n+1 hay

1 , .

n n

s q s q q Q= + ∈

Vì s là chính quy phải nên sn cũng là chính quy phải. Do đĩ s sqn( − = ⇒1) 0 sq=1.

Suy ra s là chính quy trái (vì as 0= ⇒a sq. = ⇒ =0 a 0)

s( s 1) (q − = sq−1)s= ⇒0 qs 1.=

Vậy q s= −1.

3.1.2Cho vành các thương Q, vành con R (khơng cần thiết cĩ đơn vị 1) được gọi là một thứ tự phải trong Q nếu ∀ ∈q Q luơn cĩ dạng q rs= −1sao cho

, .

r s R∈ Thứ tự trái được định nghĩa tương ứng. Nểu R là thứ tự bên phải và bên trái thì được gọi là một thứ tự trong Q.

Cho Ri là vành con (khơng nhất thiết chứa đơn vị 1) của vành các thương Qithì ⊕Ri là một thứ tự phải trong ⊕Qi khi và chỉ khi Ri là một thứ tự phải trong Qi.

3.1.3 Cĩ sự khác nhau của “ R là thứ tự phải trong của Q” và “Q là vành các thương phải của R” (quy ước các vành cĩ đơn vị 1). Vì các phần tử chính quy phải của R trong Q chưa chắc là chính quy trong Q. Tuy nhiên kết quả sau chứng tỏ rằng sự khác biệt này sẽ khơng cịn nếu R cũng là thứ tự trái trong Q hoặc Q là Artin phải.

Mệnh đề:

ChoR là vành con (cĩ đơn vị 1) của vành Q . Lấy S = {phần tử khả nghịch của Q}R.

i) Nếu Q là vành các thương phải của R thì Q là vành các thương, R là thứ tự phải trong Q và S C= R(0).

ii) Nếu Q là vành các thương và R là thứ tự phải trong Q thì

S

Q R= . Hơn nữa, hoặc R là thứ tự trái trong Q hoặc Q là Artin phải thì (0)

R

S C= và Q là vành các thương bên phải của R. Chứng minh:

i) Nếu q Q∈ là chính quy, q r= s ( ,−1 r s R∈ ) thì r=qs∈CR(0)là phần tử khả nghịch trong Q.

Do đĩ q khả nghịch và Q là vành các thương. ii) Cr(0)⊆CQ(0).

Nếu R là thứ tự trái thì CR(0)⊆CQ(0)suy ra CR(0)=S. Do đĩ Q là vành các thương phải của R.

Trong trường hợp Q là Artin phải thì ' (0) (0)

Q Q

là vành thương phải của R.

Điều này chỉ ra rằng, khi Q là Artin nửa đơn thì sự khác biệt sẽ xuất hiện, vành Goldie nửa nguyên tố chính là định nghĩa với thứ tự phải cĩ phần tử đơn vị 1 trong vành Artin nửa đơn.

Trong trường hợp đặc biệt nếu Q là Artin nửa đơn thì R là vành Goldie phải nửa nguyên tố đồng nghĩa với R là một thứ tự phải cĩ đơn vị trong Q.

3.1.4Hệ quả:

R là vành Goldie phải nửa nguyên tố với vành các thương phải Q khi và chi khi M Rn( ) là vành Goldie phải nửa nguyên tố với vành các thương

( )

n

M Q .

Chứng minh:

- Giả sử R là vành Goldie phải nửa nguyên tố với vành các thương Q. Vì Q là vành Artin nửa đơn nên M Qn( ) cũng là Artin nửa đơn.

Ta sẽ chỉ ra rằng M Rn( )là thứ tự phải trong M Qn( ).

Nếu x M Q∈ n( )thì lấy mẫu số chung (bất kì tập hữu hạn q q1, ,...,2 qn∈Qđều cĩ mẩu thức chung nghĩa là tồn tại 1

1 2 r ,r ,...,rn∈R q, i = r , 1,is i− = n) ta cĩ thể viết x dưới dạng 1 ij ij (a c− ); ,a c R∈ . Do đĩ : x=ac a c M R−1; , ∈ n( ).

Nên M Rn( ) là thứ tự phải trong M Qn( )tức cũng là Goldie phải nửa nguyên tố.

Đảo lại, hiển nhiên.

3.1.5 Bổ đề:

R là thứ tự phải trong vành các thương Q và lấy S là vành con của Q (khơng chứa phần tử đơn vị 1). Giả sử cĩ phần tử khả nghịch a,b của Q sao

cho aRb S⊆ thì S cũng là thứ tự phải trong Q. Chứng minh: Lấy q Q∈ . Xét a qa rt r t R−1 = −1, , ∈ . Suy ra q=art a−1 −1=ar (b atb) .−1 Do đĩ S là thứ tự phải trong Q. 3.1.6 Hệ quả:

i) Nếu R là thứ tự phải trong vành các thương Q và S là vành (khơng nhất thiết s chứa đơn vị 1) sao cho R S Q⊆ ⊆ thì S là thứ tự phải trong Q.

ii) Nếu R là vành Goldie phải nguyên tố, 0≠ A R , S là vành con của R với A S R⊆ ⊆ thì S là vành Goldie phải nguyên tố và cĩ vành các thương như R.

Chứng minh:

i) Áp dụng bổ đề 3.1.5 với a= =b 1.

ii) Ae RRdo đĩ A cĩ chứa phần tử chính quy c R∈ nên c là phần tử khả nghịch của vành các thương phải Q của R và cR⊆S.

3.1.7Định lý Goldie bây cĩ thể mở rộng cho vành khơng cĩ đơn vị 1.

Định lý:

Vành R (khơng nhất thiết cĩ dơn vị 1) là thứ tự phải trong vành Artin nửa đơn Q khi và chỉ khi R là vành Goldie phải nửa nguyên tố.

Chứng minh:

- Giả sử R là vành Goldie phải nửa nguyên tố thì R1cũng là vành Goldie phải nửa nguyên tố.

Do đĩ R1 cĩ vành các thương Artin phải nửa đơn.

Suy ra R1 là thứ tự phải trong Q nên R là ideal cốt yếu củaR .1

Vì aR1 ⊆Rnên theo 3.1.6. R sẽ là thứ tự phải trong Q. - Đảo lại, hiển nhiên.

3.1.8 Hệ quả:

Cho R là vành Goldie phải nửa nguyên tố, A là iđêan phải cốt yếu và B là iđêan trái chứa phần tử chính quy. Thí A và AB là các vành Goldie phải nửa nguyên tố (khơng cĩ 1) cĩ vành các thương giống như R.

Chứng minh:

Do 2.3.2.6 tồn tại phần tử chính quy a A∈ , b∈B. Ta cĩ: aRb AB A R⊆ ⊆ ⊆ .

Từ 3.1.5, 3.1.6 và 3.1.7suy ra điều phải chứng minh.

3.1.9 Cho R1 và R2 là các thứ tự bên phải của vành các thương cố định Q nếu cĩ các phần tử khả nghịch a a b b Q1, , ,2 1 2∈ sao cho a R b1 1 1 ⊆R2và

2 2 2 1

a R b ⊆ R thì R1 và R2 được gọi là hai thứ tự phải tương đương. Kí hiệu:

1 2

R R .

Bổ đề:

Giả sử R,S là các thứ tự bên phải tương đương trong Q với R⊆S. Thì cĩ các thứ tự bên phải tương đương T T, ' trong Q với R T S⊆ ⊆ và

'

R T⊆ ⊆S và các phần tử khả nghịch r r1 2, của Q chứa trong R sao cho

1 2

rS T Tr⊆ , ⊆R và Sr2 ⊆T', r '1T ⊆ R. Đặt biệt r S1 r2 ⊆R. Chứng minh:

Do định nghĩa ta cĩ aRb R⊆ với mọi phần tử khả nghịch a b R, ∈ . Gọi 1 1

1 1 , 2 2 ; ,i i .

a r s b r s r s R= − = − ∈

Thì r r1S2 ⊆r s S1 1−1 r2 ⊆ Rs2 ⊆R.

Dễ dàng kiểm tra được: T R r S R S= + 1 + r1 và T'= +R Sr S R2 + r2 thỏa bổ đề.

3.1.10 Định nghĩa:

Giả sử R là thứ tự phải hoặc trái trong vành các thương Q thì R-iđêan phân thức phải là mơđun con I của QR sao cho aI ⊆R và bR I⊆ với phần tử khả nghịch a b Q, ∈ . Tương tự ta cĩ R-iđêan phân thức trái. Nếu I là R-iđêan phân thức phải và S-iđêan phân thức trái với mọi thứ tự S thì I được gọi là (S,R)-iđêan phân thức.

Thứ tự bên phải của R-iđêan phải (hoặc trái) I được định nghĩa: ( ) {q Q/Iq I}.

r

O I = ∈ ⊆

Thứ tự bên phải của R-iđêan phải (hoặc trái) I được định nghĩa: ( ) {q Q/qI I}.

l

O I = ∈ ⊆

3.1.11 Bổ đề:

Cho R là thứ tự bên phải trong Q và cho I là R-iđêan phân thức trái hoặc phải thì :

i) O Ir( ) và O Il( ) là các thứ tự bên phải và tương đương với R. ii) I là (O Ir( ),O Il( ))-iđêan phân thức.

Chứng minh:

Giả sử I là R-iđêan phân thức phải.

i) Chọn các phần tử khả nghịch a b Q, ∈ từ định nghĩa 3.1.10 ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) r r l l abO I R O I aO I b aO I I aI R ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ và b a O IR ⊆ l( ) vì b aI bR ⊆ R⊆I. ii) Kiểm tra trực tiếp từ định nghĩa.

3.1.12 Định nghĩa:

Cho I là R-iđêan phân thức phải. Nếu I O I⊆ r( ) thì I được gọi là R- iđêan nguyên phải. Tương tự ta cĩ R-iđêan nguyên trái.

3.1.13 Bổ đề:

Cho R là thứ tự bên phải hoặc bên trái trong vành các thương Q và cho I là R-iđêan phân thức phải. Thì các điều sau tương đương:

i) I là R-iđêan nguyên phải. ii) I là O Ir( )-iđêan nguyên phải. iii) I là O Il( )-iđêan nguyên trái. iv) I2 ⊆I.

3.1.14 Mệnh đề:

Cho R là vành bên phải trong vành các thương Q, và I J Q,  R. Thì: i) I nhúng→IQ I Q ⊗ .

ii) ( , ) nhúng ( , )

R Q

Hom I J →Hom IQ JQ , α α ⊗1, đây là sự mở rộng duy nhất của α đến IQ và JQ.

Chứng minh:

i) Điều này được suy ra trực tiếp từ 2.1.8 vì do 3.1.3 với trường hợp

.

Q R=

ii) Suy ra từ i).