NHÓM CON CHUẨN TẮC YẾU C ỦA NHÓM HỮU HẠN
2.1. Định nghĩa và một số nhận xét về nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm h ữu hạn.
hữu hạn.
2.1.1. Định nghĩa.Một nhóm con H của nhóm G được gọi là chuẩn tắc yếu trong
G nếu Hg ≤NG( )H thì g∈NG(H).
2.1.2. Nhận xét
• Dễ dàng chứng minh được rằng mọi H –nhóm con là chuẩn tắc yếu trong
G nhưng điều ngược lại không đúng.
Thật vậy
Giả sử K là H –nhóm con của G tức là ta có Kg ∩NG( )K ≤K ∀ ∈g G. Giả sử có Kg ≤NG( )K cần chứng minh g∈NG( )K tức chứng minh Kg =K. Do Kg ≤NG( )K nên Kg ∩NG( )K =Kg suy ra Kg ≤K.
Từ đó suy ra Kg =K. ■
Điều ngược lại không đúng, ta có thể xét một ví dụ sau:
Xét G=S4và H =<(1, 2, 3, 4)>. Khi đó ta có NG(H)=<(1, 2, 3, 4), (1, 3)>
Với phần tử g=(1,2,3), Hg =<(1, 4, 2, 3)> ta có Hg∩NG( )H =<(1, 2)(3, 4)> ≤ H Do đó H không phải là H –nhóm con của G. Nhưng NG(H)có duy nhất một nhóm con cyclic cấp 4. Bởi vậy nếu Hg≤NG( )H khi đó g
H =H và H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G.
• Dễ dàng chứng minh được rằng mọi nhóm con pronormal là chuẩn tắc yếu trong G.
Thật vậy
Giả sử H là nhóm con pronormal của G, cần chứng minh H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G.
Giả sử Hg ≤NG( )H , ta có H ≤NG(H) ( hơn nữa HNG(H) ) Suy ra <H H, g > ≤ NG(H). Do đó ∃ ∈<x H H, g > sao cho x g
H =H (1) Mặt khác có x∈NG(H)⇒ Hx =H (2) Mặt khác có x∈NG(H)⇒ Hx =H (2)
Từ (1) và (2) suy ra g
H =H ⇒ ∈g NG(H) ■
2.2. Một số tính chất về nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn.
2.2.1. Tính chất
Cho G là một nhóm hữu hạn, N, H, và K là các nhóm con của G
(1) Nếu H ≤K ≤G và H là nhóm con chuẩn tắc yếu trong G thì H là chuẩn
tắc yếu trong K.
(2) Nếu N G và NHthì H là chuẩn tắc yếu trong G khi và chỉ khi H/N là
chuẩn tắc yếu trong G/N.
(3) Với H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G. Nếu H ≤K≤NG(H)thì
( ) ( ).
G G
N K ≤N H
(4) Nếu HK ≤G và H là chuẩn tắc yếu trong G thì HK.
Chứng minh
(1) Giả sử Hk ≤NK( )H cần chứng minh k∈NK(H).
Thật vậy: Lấy k∈K do Hk ≤NK( )H và NK( )H ≤NG( )H ⇒ Hk ≤NG( )H
Do H là nhóm con chuẩn tắc yếu trong G nên suy ra
( ) ( ) ( ) ( ) G G K G k K k N H k K N H k N H k N H ∈ ∈ ⇒ ∈ ∩ ⇒ ∈ ⇒ ∈
(2) (⇒) Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G Giả sử (H N/ )gN ≤NG N/ (H N/ ) với g∈G gN, ∈G N/ ta cần chứng minh / ( / ). G N gN∈N H N Thật vậy: Ta có NG N/ (H N/ )=NG(H) /N vì gN∈NG N/ (H N/ ) (g∈G)⇔(H N/ )gN =H N/ ⇔gN H N( / )=(H N gN/ ) ⇔gH =Hg⇔ ∈g NG(H)⇔gN∈NG(H) /N Từ điều giả sử (H/N)gN ≤NG N/ (H/N)⇒Hg /N ≤NG(H) /N
Do đó Hg ≤NG(H), vì H là nhóm con chuẩn tắc yếu trong G nên /
( ) ( ) / ( / )
G G G N
g∈N H ⇒gN∈N H N =N H N . Do vậy H / Nlà chuẩn tắc yếu trong G/N.
(⇐)
Giả sử rằng H / Nlà chuẩn tắc yếu trong G / Nvà Hg ≤NG(H) với g∈G
Suy ra g / ( ) / ( / )gN / ( / )
G G N
H N ≤N H N ⇒ H N ≤N H N . Vì H / Nlà chuẩn tắc yếu trong G / Nnên gN∈NG N/ (H N/ )=NG(H) /N ⇒ ∈g NG(H). Do vậy H là chuẩn tắc yếu trong G.
(3)
Lấy g∈NG( )K tức là ta có KP
g
P=K =K
Theo giả thiết H ≤K≤NG(H), suy ra Hg ≤Kg = ≤K NG( )H ⇒Hg ≤NG( )H
Do H là chuẩn tắc yếu trong G nên g∈NG(H)⇒NG( )K ≤NG(H). (4)
Do H là nhóm con á chuẩn tắc của K nên tồn tại một dãy các nhóm con chuẩn tắc
0 1 2 3 ... n
H =H H H H H =K
Nếu n=1 thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh là HK
Do Hn−1Hn nên với x∈Hn ta có xHn−1=Hn−1x, hay
1 1
( ) ( )
G n n G n
x∈N H − ⇒H ≤N H −
Mặt khác Hn−1Hn, nên theo (3) ta có NG(Hn−1)≤NG(H). Từ đó suy ra 1 ( ) ( ) ( ) n G n G G K =H ≤N H − ≤N H ⇒K ≤N H có nghĩa là với ∀ ∈g K ta có ( ) g G g∈N H ⇒H =H ⇒Hg=gH ⇒HK . ■
2.2.2. Tính chất. Nếu N G , P là p-nhóm con chuẩn tắc yếu của G và ( N p, ) 1=
thì PN là chuẩn tắc yếu trong G và PN/N là chuẩn tắc yếu trong G/N.
Chứng minh
• Chứng minh PN là chuẩn tắc yếu trong G
Theo giả thiết P là chuẩn tắc yếu trong G và NG nên theo 2.1.(2) thì PN là chuẩn tắc yếu trong GN=G.
• Chứng minh PN / Nlà chuẩn tắc yếu trong G / N. Giả sử (PN N/ )gN ≤NG N/ (PN N/ ) (g∈G gN, ∈G N/ )
Hay (PN)g ≤NG(PN) (g∈G) cần chứng minh g∈NG(PN). Thật vậy: Vì NG và (N , P) 1= nên P là p-nhóm con Sylow của PN.
Vì NG( )P ≤NG(PN) nên NG(PN)=NG( )P N. Nếu (PN)g ≤NG(PN) (g∈G) thì ( ) g G P ≤N P N. Do đó ∃ ∈m NG( ),P n∈N sao cho . ( ( )) ( ( )) ( ( )) g m n n G G G P ≤ N P = N P do m∈N P , suy ra Pgn−1 ≤NG( )P . Vì P là chuẩn tắc yếu trong G nên 1
( ) ( ). ( ).
G G G
gn− ∈N P ⇒ ∈g N P N hay g∈N PN ■