( ) ( )
F H =F G =G. Theo định lý 2.3.3 ta có G là luỹ linh, điều này mâu thuẫn. Do đó *
( ) ( )
(3) Nếu q là số nguyên tố nhỏ nhất chia hết F G( ) và Q là q-nhóm con Sylow của F(G) thì G C Q/ G( ) là q-nhóm.
Vì *
( ) ( )
F G =F G không phải là nhóm đơn vị, với q là số nguyên tố nhỏ nhất chia hết F G( ) , nên q-nhóm con Sylow Q của F G( ) là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G. Theo giả thiết Ω1( )Q ≤Z∞( )G nên
1
( ( )) q( )
G
C Ω Q ≥O G theo tính chất 2.2.3. Nếu q>2 thì C QG( )≥O Gq( ). Do đó
/ G( )
G C Q là một q-nhóm. Nếu q=2 thì với bất kỳ nhóm con cyclic x của Q có cấp 4, x là á chuẩn tắc trong G và là chuẩn tắc yếu trong G theo giả thiết. Do đó theo tính chất 2.2.1.(4) thì x G.
Lấy p là ước nguyên tố khác 2 của G và P là p-nhóm con Sylow của G. Theo [9, IV, định lý 2.8], x P là luỹ linh, và P⊂CG < >x , suy ra
2( ) G ( ) G O G ⊂C < >x và 2 2 ( ) G( ( )) O G ⊂C Ω G . Do đó 2 ( ) ( ) G C Q ≥O G và G C Q/ G( ) là 2-nhóm.
(4) Mâu thuẫn cuối cùng.
Vì G'=G và G C Q/ G( ) là một q-nhóm nên C QG( )=G, suy ra Q≤Z G( ). Theo định lý 1.10.9 (4) ta có * *
( / ) ( ) /
F G Q =F G Q. Xét nhóm G=G Q/ , vì q là ước nguyên tố nhỏ nhất của *
( )
F G và Q là một q-nhóm con Sylow của *
( )
F G nên mỗi phần tử y có cấp nguyên tố r trong * ( )
F G có thể coi như ảnh của một phần tử y có cấp nguyên tố r trong *
( )
F G với mọi r > q . Suy ra y nằm trong Z∞( )G theo giả thiết. Mặt khác Z∞(G Q/ )=Z∞( ) /G Q nên y nằm trong Z∞(G Q/ ). Rõ ràng, *
( / )
F G Q không có nhóm con cyclic cấp 4. Do đó /
G=G Q thoả mãn giả thiết của định lý (theo tính chất 2.2.2). Do tính tối tiểu của việc chọn G nên G/Q là luỹ linh, do đó G là luỹ linh, mâu thuẫn cuối cùng. Mâu thuẫn cuối cùng cho ta điều phải chứng minh. ■
2.3.4.1. Hệ quả.Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G sao cho G/H là
luỹ linh. Giả sử rằng mọi nhóm con cyclic của *
( )
F H có cấp 4 là một H-nhóm
con của G. Khi đó G là luỹ linh khi và chỉ khi mọi nhóm con cyclic của *
( )
F H có cấp nguyên tố chứa trong Z∞( )G .
Chứng minh
Vì mọi H-nhóm con của G là chuẩn tắc yếu trong G nên theo định lý 2.3.4 ta có được điều phải chứng minh. ■
2.3.4.2. Hệ quả.Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G sao cho G/H là
luỹ linh. Giả sử rằng mọi nhóm con cyclic của *
( )
F H có cấp 4 là pronormal
trong G. Khi đó G là luỹ linh khi và chỉ khi mọi nhóm con cyclic của *
( )
F H có cấp nguyên tố chứa trong Z∞( )G .
Chứng minh
Vì mọi nhóm con pronormal trong G là chuẩn tắc yếu trong G nên theo định lý 2.3.4 ta có được điều phải chứng minh. ■
KẾT LUẬN
Luận văn đã lần lượt trình bày một số vấn đề cơ bản của lý thuyết nhóm, sau đó đi tìm hiểu và chứng minh một số tính chất cơ bản của nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn, và tiếp tục đi chứng minh các định lý quan trọng về đặc trưng của tính siêu giải được và tính luỹ linh của một nhóm hữu hạn G với giả sử rằng mọi nhóm con có cấp nguyên tố của G là chuẩn tắc yếu trong G.
Như vậy, ta biết rằng ngoài việc sử dụng định nghĩa để chứng minh một nhóm hữu hạn G là nhóm siêu giải được hay nhóm luỹ linh thì ta có thể chứng minh theo một cách khác là thông qua nhóm con chuẩn tắc yếu (bằng phương pháp chứng minh phản chứng lần lượt đưa ra các mâu thuẫn để có được điều phải chứng minh).
Ngoài cái nhìn về đặc trưng của tính siêu giải được và tính luỹ linh qua nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn thì chúng ta có thể tìm hiểu qua những nhóm con khác như: π-tựa chuẩn tắc trong G (π-quasinormal in G), *
s -nửa hoán vị
được trong G ( *
s -semipermutable in G). Để có được kết quả cụ thể về các nhóm