4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
3.1CHIỀU RÚT GỌN
3.1.1Định nghĩa:
Cho R là vành Goldie nửa nguyên tố,S=C 0R( )={x∈R xchính qui trong R} và
S
Q=R là vành các thương của R theo S. Theo định lí Goldie, ta có Q là vành Artin nửa đơn. Nếu M là R – môđun thì M⊗Qlà Q – môđun nửa đơn. Chiều rút gọncủa M được định nghĩa ρR( )M =rank M( ⊗R Q).
3.1.2 Định nghĩa:
Cho R là vành Noether phải và N là radical nguyên tố của R. Ta có R Nlà vành Goldie phải nửa nguyên tố và N là iđêan lũy linh. Nếu M là R – môđun thì ta xét dây chuyền các môđun con của M: M = M0 ⊇M1⊇M2⊇....⊇Mn =0 sao cho
(M /Mi i+1)N= 0. Ta có M /Mi i+1là R N- môđun phải. Vì R Nlà vành Goldie phải nửa nguyên tố nên tồn tại chiều rút gọn của M /Mi i+1. Ta định nghĩa
( ) n 1 i R R N i 1 i 0 M M M − + = ρ = ρ ∑ .
Nếu R là vành Noether phải và M là R – môđun hữu hạn sinh thì ρR( )M hữu hạn.
3.1.3 Định nghĩa:
Cho R là vành, X là tập con đóng nhân của R và M là R – môđun.
M được gọi là R – môđun xoắn nếu mọi phần tử thuộc M bị linh hóa bởi phần tử chính qui thuộc R. M được gọi là R – môđun không xoắn nếu chỉ có phần tử 0 thuộc M bị linh hóa bởi các phần tử chính qui thuộc R.
M được gọi là môđun xoắn trên X nếu mọi phần tử thuộc M bị linh hóa bởi phần tử thuộc X. Ngược lại, M được gọi là môđun không xoắn trên X nếu chỉ có phần tử 0 thuộc M bị linh hóa bởi các phần tử thuộc X.
3.1.4 Bổ đề
Nếu R là vành Noether phải và M là R – môđun phải, M1 là môđun con của M thì ρ( ) ( ) (M =ρ M1 +ρ M M1).
Chứng minh:
Chọn dãy các môđun con của M là M⊇M1⊇0. Theo định nghĩa ta có
( ) ( ) (M M1 M M1)
ρ = ρ + ρ .□
3.1.5 Bổ đề
Nếu R là vành Noether phải và M là R – môđun phải, M1 là môđun con của M sao cho ρ( )M hữu hạn thì ρ( ) ( )M1 =ρ M khi và chỉ khi ρ(M M1)=0.
3.1.6 Mệnh đề
Nếu R là vành Noether phải, N là radical nguyên tố của R và M là R – môđun phải thì ρ( )M =0 khi và chỉ khi M là môđun xoắn trên CR( )N .
Chứng minh:
Đầu tiên ta có nhận xét sau:
Với R là vành Goldie phải nửa nguyên tố với vành các thương phải Q. M là R – môđun phải.
Xét đồng cấu f M M R Q m m 1
: → ⊗
⊗
, ta cókerf ={m∈M mx=0 vói x chính qui trong R}. Từ đó suy ra, M là R – môđun xoắn ⇔ M⊗R Q=0.
Với R là vành Noether phải và N là radical nguyên tố của R. Ta có R N là vành Goldie phải nửa nguyên tố. Gọi Q R N( ) là vành các thương phải củaR N. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Xét dây chuyền các môđun con của M: M = M0 ⊇M1⊇M2⊇....⊇Mn =0 sao cho (M /Mi i+1)N= 0. Theo Bổ đề 3.1.6, ρR( )M =0 ⇔ ρR N(M Mi i 1+ )=0 ⇔
( )
i i 1
M M+ ⊗Q R N =0 ⇔ M Mi i 1+ là R N- môđun xoắn với mọi i=0 n, .
Với mọi m∈M,m+M1∈M M1. Do M M1là R N- môđun xoắn nên tồn tại
1
c + ∈N R Nvà c1+N chính qui sao cho mc1+M1=0tức là mc1∈M1. Do M M1 2là
R N- môđun xoắn nên tồn tại c2+ ∈N R Nvà c2+N chính qui sao cho mc2+M2 =0
tức là mc2∈M2. Tiếp tục như trên ta có: tồn tại c c1 2...cn∈R và c c1 2...cn +Nchính qui, điều đó cũng có nghĩa là tồn tại c c1 2...cn∈C N( ) sao cho mc c1 2...cn∈Mn =0. Suy ra M là môđun xoắn trên CR( )N . □
3.1.7 Mệnh đề (Điều kiện Pseudo – Ore)
Cho R là vành Noether phải và N là radical nguyên tố của R. Khi đó, với
( )
0R
c∈ C , a∈R tồn tại d∈ CR( )N sao cho ad∈cRvà đặc biệt CR( )0 ⊆ CR( )N . Chứng minh
Lấy c C∈ R( )0 . Vì rann c 0= nên cR≅RR ⇒ ρ(cR R) =ρ( R)⇒ρ(R cR/ )=0. Theo Mệnh đề 3.1.6, ta có với mọi a R∈ tồn tại d∈ CR( )N sao cho ad cR∈ .
Đặc biệt, khi a 1= ta có d=ca1 với a1∈R. Ta có d+ =N ca1+N là phần tử chính qui trong R N ⇒ c+Nchính qui trong R N. Vậy c∈ CR( )N .□
3.1.8 Mệnh đề
Cho R là vành Noether và N là radical nguyên tố của R. Ta có tồn tại vành các thương Artin phải Q của R khi và chỉ khi CR( )0 =C NR( ).
( )⇐ Giả sử CR( )0 =CR( )N . Ta có CR( )0 là tập Ore phải trong R nên ta có thể xây dựng vành các thương phải Q trênCR( )0 . Do CR( )0 =CR( )N nên R N là R – môđun không xoắn trênCR( )0 . Ta có NQ là iđêan của Q thỏa NQ∩ =R N. Ta có
QNQ=NQ nên ( )k k
NQ =N Q.Vì N lũy linh nênNQ lũy linh. Khi đó, Q NQ là vành các thương phải củaR N theo tập I={c+N c∈CR( )0 }. Do R N là vành Godie nửa nguyên tố nên Q NQ là vành Artin nửa đơn.
Ta có N Q/N Qi i+1 là môđun phải trên Q NQ. Do Q NQ nửa đơn nên N Q/N Qi i+1
nửa đơn. Do R là vành Noether phải nên Q là vành Noether phải ⇒ N Q/N Qi i+1 hữu hạn sinh. VậyN Q/N Qi i+1 là Q – môđun Artin phải nên Q là vành Artin phải.
( )⇒ Giả sử tồn tại Q là vành các thương phải của R. Khi đó, CR( )0 là tập Ore phải trong R. Theo Mệnh đề 3.1.7, CR( )0 ⊆CR( )N , ta có R N là R – môđun không xoắn trên CR( )0 . Gọi N’ là radical nguyên tố của Q. Vì NQ là iđêan của Q thỏa
NQ∩ =R N. Ta lại có NQ lũy linh nên NQ⊆N'.
Lấy c∈C NR( ) và q∈Q sao cho cq∈NQ. Vì q∈Q nên 1
q=ad− vớia R∈ và
( )
R d∈ C 0 .
Ta có ca =cqd∈NQ∩ =R N nên a N∈ và q∈NQ. Từ đó c Q/NQ( )≅Q/NQ. Hơn nữa, c Q/NQ( )=Q/NQ. Vậy c+NQ khả nghịch phải trong Q NQ. Do NQ⊆N' (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
nênc+NQ khả nghịch trong Q. Do đó, c C∈ R( )0 ⇒CR( )0 =C NR( ).□