4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
3.2 TÍNH CHẤT ARTIN – REES
3.2.1 Định nghĩa:
Iđêan I của vành R được gọi là thỏa tính chất Artin – Rees phải (tính chất AR phải) nếu với mọi iđêan phải K của R, tồn tại số nguyên dương n sao cho
n
K∩ ⊆I KI.Tính chất Artin – Rees trái được định nghĩa tương tự. Và I được gọi là thỏa tính chất Artin – Rees nếu I thỏa tính chất Artin – Rees cả hai phía.
Vành R được gọi là vành AR nếu mọi iđêan của R đều thỏa tính chất AR trái và AR phải.
3.2.2 Mệnh đề
Các điều kiện sau của iđêan I trong vành Noether phải R là tương đương: (i) I thỏa tính chất AR phải;
(ii) Nếu M là R – môđun phải hữu hạn sinh và N là môđun con của M thì tồn tại số nguyên n sao cho n
N∩MI ⊆NI;
(iii) Nếu M là R – môđun phải hữu hạn sinh và N là môđun con cốt yếu của M thỏa NI =0thì tồn tại số nguyên n sao cho MIn =0.
Chứng minh:
( ) ( )i ⇒ iii Giả sử I thỏa tính chất AR phải, M là R – môđun phải hữu hạn sinh, N là môđun con cốt yếu của M thỏa NI 0= . Ta chứng minh tồn tại số nguyên n sao cho n
MI =0. Vì M là hữu hạn sinh nên ta chỉ cần chứng minh hệ sinh của M bị linh hóa bởi một lũy thừa của I.
Lấy x∈M và đặt K= ∈{r R xr∈N}. Ta có xKI⊆NI=0. Do I thỏa tính chất
AR nên tồn tại số nguyên dương n sao cho n
K∩ ⊆I KI. Ta có
n n
xI ∩N=x K( ∩I )⊆xKI=0. Do N⊆eM nên n
xI =0.
( ) ( )iii ⇒ ii Chọn K là môđun con của M sao cho K là môđun con tối đại thỏa K∩ =N NI.
Đặt N là ảnh của N trong M K. Ta có NA=0 và N⊆eM K. Khi đó tồn tại số nguyên n sao cho ( ) n
M K I =0⇒ n
MI ⊆K.Vậy n
MI ∩ ⊆ ∩ =N K N NI.
( ) ( )ii ⇒ i Hiển nhiên.□
3.2.3 Cho vành R và phần tử a R∈ được gọi là chuẩn tắc nếu aR=Ra. Nếu a
chuẩn tắc thì aR là iđêan của R và ( )n n
aR =a R. Hơn nữa, nếu R là vành nguyên tố và a ≠0 thì a chính qui.
3.2.4 Mệnh đề
Cho R là vành Noether phải và iđêan I sinh bởi phần tử chuẩn tắc. Khi đó I thỏa tính chất AR phải.
Chọn MRlà môđun hữu hạn sinh và N là môđun con cốt yếu của M thỏa NI = 0. Ta cần chứng minh n
n MI: 0
∃ = .
Giả sử x là phần tử sinh chuẩn tắc của I. Đặt M Mθ: → xác định bởi θ( )m =mx
. Do xR =Rx nên ker θk và k
im θ là môđun con của M với mọi k. Vì MRlà môđun Noether nên k k+1
ker θ = ker θ . Vì vậy, k k
ker θ ∩im θ = 0. Tuy nhiên, k
N⊆ker ker θ ⊆ θ
và N là môđun con cốt yếu của M. Vậy k
im 0θ = . Do đó, k
Mx =0.
Gọi x x1, 2,...,xnlà hệ sinh chuẩn tắc của I. Với mỗi i, tồn tại k(i) sao cho k i i Mx ( )=0. Đặt n=∑k i( ). Khi đó, n k i( ) i I ⊆∑x R nên n MI =0.□ 3.2.5Mệnh đề
Cho R là vành Noether phải và I là iđêan thỏa tính chất AR phải. Đặt
. = −
S 1 I Khi đó:
(i) S là tập Ore phải và hơn nữa S là tập mẫu số bên phải. (ii) IS ⊆J R( )s .
Chứng minh:
Với r∈R x, ∈Ita cần tìm r'∈R x, '∈I sao cho r 1 x( − ') (= −1 x r) '. Đặt ( i) ( i) i u =r 1 x− − −1 x r và i i 1 U u R ∞ = =∑ .Ta có ui∈Ii nên U⊆I. Do R là vành Noether phải và I thỏa tính chất AR phải nên tồn tại n đủ lớn để n 1 i
i 1 U u R − = =∑ và n U∩ ⊆I UI. Khi đó, un =u a1 1+....+un 1−an 1− với ai∈I. Do đó, ( n) ( n) ( ( ) ( ) ) ( ( n 1) ( n 1) ) 1 n 1 r 1−x − −1 x r= r 1−x − −1 x r a +...+ r 1−x − − −1 x − r a − nên n 1( ) ( ) n i i i 1 r 1 x 1 x a 1 x r' − =
− −∑ − = − vớir'∈R. Hơn nữa n 1( )
n i i i 1 1 x 1 x a 1 I − = − − − ∈ − ∑
nên S là tập Ore phải .
Và do R là vành Noether phải nên S là tập mẫu số bên phải. (ii) Hiển nhiên.□
Cho R vành Noether phải và I là iđêan thỏa tính chất AR phải. Giả sử với mọi n, tập con đóng nhân ( n)
C I I của n
R I là tập Ore phải. Khi đó, CR( )I là tập Ore phải.
Chứng minh:
Lấy r∈R c C, ∈ R( )I . Do I thỏa tính chất AR phải nên tồn tại n sao cho
( ) n ( )
rR+cR ∩ ⊆I rR+cR I= +rI cI.
Do C I I( )n là tập Ore phải nên tồn tại r'∈R c, '∈CR( )I sao cho n
rc'−cr'∈I . Do đó, rc cr rI cI'− '∈ + ⇒tồn tại a a1, 2∈Isao cho rc'−cr'=ra1+ca2. Vậy tồn tại
( )
1 R
c'− ∈a C I , a2+ ∈r' R sao cho r c( '−a1) (=c a2 +r').□
3.2.7 Bổ đề
Cho R là vành Noether AR phải và B là iđêan bất kì. Khi đó,
( )BR 0 ( )RB 0
ρ = ⇔ρ = . Chứng minh:
Giả sử ρ( )BR =0. Vì RB hữu hạn sinh nên theo Mệnh đề 3.2.6 ta chỉ cần chứng minh tồn tại a∈C N( ) sao cho Ba =0, với N=N R( ). Đặt A rann B= . Ta có
tồn tại n để n n B∩A ⊆BA= ⇒0 A B=0 .Vì a∈A nên n a B=0. Theo Mệnh đề 3.2.6, ( )RB 0 ρ = .□ 3.2.8 Mệnh đề
Cho R là vành Noether AR phải và I là iđêan nửa nguyên tố. Khi đó: (i) CR( )I thỏa điều kiện Ore trái và điều kiện Ore phải.
(ii) Tồn tạiRC I( )và IC I( ) =J R( )C I( ) . Chứng minh
(i) Ta chỉ cần chứng minh: với mọi n, ( )n
C I I thỏa điều kiện Ore trái và điều kiện Ore phải trong n
R I . Ta có thể giả sử I là radical nguyên tố của R và n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho n
I =0. Ta chứng minh C I I( )n thỏa điều kiện Ore bằng qui nạp.
Giả sử, C I I( n 1− )thỏa điều kiện Ore trong R In 1− .
Đặt B= ∈{b R:∃ ∈c C I cb( ), =0}. Ta có B đóng với phép nhân phải và B⊆I. Chọn b, c như trên và r∈R. Theo giả thiết qui nạp, trong R In 1− ta có tồn tại
( )
c'∈C I r, '∈Rsao cho n 1
c r' −r c' ∈I − . Vì b I∈ nên (c r r c b' − ' ) =0. Do đó, c rb 0' = ⇒ B đóng với phép nhân trái. Chứng minh tương tự B đóng với phép cộng. Vậy B là iđêan của R.
Hiển nhiên, ρ( )RB =0 nên theo Bổ đề 3.3.7 ρ( )BR =0. Nếu c C I∈ ( ) thì
rann c⊆B. Do đó, ρ(rann c)=0. Tuy nhiên, cR≅R rann c nên ρ( ) ( )cR = ρ R ⇒ (R cR) 0
ρ = .Vậy với r∈R tồn tại c1∈C I( )sao cho rc1∈cR.
(ii) Hiển nhiên ass C I( )⊆I nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
( )
ass C I =0. Khi đó,IC I( ) ⊆J R( )C I( ) . Tuy nhiên, RC A( ) IC I( ) ≅( )R I C I( ). Mà theo định lí Goldie ( )R I C I( ) là vành nửa đơn nên RC I( ) IC I( )là vành nửa đơn. Do đó,
( ) ( )
( C I C I )
J R I =0 ⇒J R( )C I( ) ⊆IC I( ). Vậy J R( )C I( ) =IC I( ).□