Một số nhóm con khác củ aG

Bổ đề 2.7: Mọi nhóm đơn cấp 60 đều đẳng cấu với A5.

Chứng minh.

Giả sử B là nhóm đơn cấp 60=22.3.5. Theo Định lý Sylow thì n B2( ) 15 và

2( ) 1( d2)

n B  mo , suy ra n B2 1,3,5,15. Nhưng do B là nhóm đơn nên n B2 1.

Gọi P là một 2-nhóm con Sylow của B. Khi đó nếu n B2 3thì B N: B P 3. Do đó B có nhóm con có chỉ số 3, theo Hệ quả 1.3.6, suy ra cấp của B là ước của 3!, điều này vô lý. Nếu n2 B 15thì B N: B P 15 hay NB P 4. Do đó P  NB P .

Hơn nữa, P NB P nên P NB P .

Vì P 4 nên theo Định lý 1.1.8, P là nhóm aben. Do đó PCB P , suy ra

 .

B

PC P Vậy, NB P  P C PB .Theo Định lí 1.2.11, suy ra G không là nhóm đơn, điều này trái với giả thiết.

Vậy, n B2 5suy ra B N: B P 5. Do đó B có nhóm con có chỉ số 5. Theo Định lý 1.3.5, B nhúng được vào S5. Gọi B* là nhóm con của S5 đẳng cấu với B. Khi đó *

60,

B  B  suy ra S5:B*  2. Do đó B* là nhóm con chuẩn tắc của S5. Nếu *

5 1

B A  thì B* chứa phép thế lẻ, điều này mâu thuẫn với B* S5. Vì thế *

5 1

B A  , mà A5 là nhóm đơn nên B*A5 A5 suy ra B*  A5. Do đó, BA5. Vậy mọi nhóm đơn cấp 60 đều đẳng cấu với A5.

Hệ quả 2.8: Nhóm PSL(2,5) nhúng được vào G.

Chứng minh.

Theo Định lý Jordan-Dickson, PSL(2,5) là nhóm đơn. Và theo Định lý 1.4.13, ( 1) 2 2 2 1 . . ( 1) ( , 1) 1 (2,5) .5.(5 1) 60 2 n n n i i q q n q PSL          nên theo Bổ đề 2.7, PSL(2,5) 

A5. Mà A5 nhúng được vào A6 và A6 P LS (2,9). Do đó, PSL(2,5) nhúng được vào PSL(2,9).

Định lý 2.9: Mọi nhóm con cấp 24 của G đều đẳng cấu với S4.

Để chứng minh định lý này ta cần một số kết quả sau đây:

Định nghĩa 2.10: Cho  Sn và     1 2... m là sự phân tích  thành tích các chu trình độc lập, trong đó i ki nếu 1 2 ( ... ) k i a ai i ai   . Khi đó, với  Sn,     1 2... m

và i i , i 1,m thì ta nói  và  có cùng cấu trúc chu trình.

Bổ đề 2.11: Cho 1 2 ( ... ) k i i i a a a   là một k-chu trình và Sn. Khi đó, 1 cũng là

một k-chu trình. Nói chính xác hơn  1 2 

1 ( ) ( )... ( ) k i i i a a a      .

Mệnh đề 2.12: Cho  , Sn. Khi đó,  và  có cùng cấu trúc chu trình khi và chỉ khi  và  liên hợp với nhau trong Sn, nghĩa là tồn tại  Sn sao cho   1.

Chứng minh.

Giả sử  và  liên hợp với nhau trong Sn. Khi đó với     1 2... m thì

1 1 1 1

1 2

( )( )...( m )

          . Theo Bổ đề 2.11, thì  và  có cùng cấu trúc chu trình.

Ngược lại, giả sử     1 2... m,     1 2... m có cùng cấu trúc chu trình, trong đó 1 2 ( ... ) k i a ai i ai   , 1 2 ( ... ), 1, k i b bi i bi i m

    . Gọi Sn sao cho

1 ( ) , 1, , , ( ) , . j j i j i i k i a b i m j i i x x x a         

Khi đó, có thể kiểm chứng được   1.

Bổ đề 2.13: Cho  An. Nếu tồn tại một phần tử  An sao cho   thì tất cả các phần tử có cùng cấu trúc chu trình với  đều thuộc An và liên hợp với nhau trong An.

Trước hết ta dễ dàng có, 1

, i i i

i

        .

Xét  Sn. Theo Mệnh đề 2.12,  có cùng cấu trúc chu trình với  khi và chỉ khi 1

   với Sn. Vì Sn  An An nên   i, với A in; 0,1. Do đó

1 1 1

( i ) An.

         Điều này cho phép ta kết luận rằng mọi phần tử có cùng cấu trúc chu trình với  đều nằm trong An và liên hợp với nhau trong An.

Hệ quả 2.14: Số các nhóm con cấp 3 trong An là !

( 3)!3!

n

n

Hệ qủa 2.15: Chẩn hóa tử của một nhóm con cấp 3 trong An có cấp là (n3)!3.

Chứng minh. Gọi P là một nhóm con cấp 3 trong An. Khi đó : ( )

n

n A

A N P

 

  là số các nhóm con của An liên hợp với P trong An. Theo Bổ đề 2.13, ta có : ( )

n

n A

A N P

 

  là số

các nhóm con cấp 3 trong An. Từ đó suy ra ! 2 ! ( 3)!3! ( ) ( 3)!3. : ( ) n n n n A n n n A A N P n A N P         

Hệ quả 2.16: Chuẩn hóa tử của mọi nhóm con cấp 3 trong A6 là nhóm con cấp 18.

Sau đây ta đi chứng minh Định lý 2.9.

Giả sử K là nhóm con cấp 24 của G. Gọi P là một nhóm con cấp 3 của K. Nếu P K

thì K NG( )P , điều này mâu thuẫn với hệ quả 2.16. Vậy K có 4 nhóm con cấp 3. Đặt H NK( )P , ta có K H: 4 suy ra H 6.Theo Mệnh đề 1.3.2, thì HK H

suy ra HK 1,2,3.Do các nhóm con cấp 3 trong K không chuẩn tắc nên HK 3. Nếu HK 2 thì H P H. K là tích trực tiếp của P và HK.Do đó, H là nhóm xyclic cấp 6, là điều mâu thuẫn vì trong A6 không có phần tử cấp 6. Vậy HK 1.Theo Hệ quả 1.3.4, thì K đẳng cấu với S4.

KẾT LUẬN

Trong luận văn này, chúng tôi đã tìm hiểu, mô tả số các p-nhóm con Sylow của PSL(2,9), và một số nhóm con khác của PSL(2,9). Đồng thời chỉ ra được một số mối liên hệ của các nhóm con này với các nhóm khác. Cụ thể ta đã thu được các kết quả như sau:

- Nhóm PSL(2,9) có tất cả 10 các 3-nhóm con Sylow. - Nhóm PSL(2,9) có tất cả 36 các 5-nhóm con Sylow. - Nhóm PSL(2,9) có tất cả 45 các 2-nhóm con Sylow. - Nhóm PSL(2,5) có thể nhúng được vào PSL(2,9).

- Mọi 3-nhóm con Sylow của PSL(2,9) đều đẳng cấu với 3 3. - Mọi nhóm con cấp 24 của PSL(2,9) đều đẳng cấu với S4.

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt

1. Bùi Xuân Hải và Trịnh Thanh Đèo (2013), Đại số hiện đại, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.

2. Bùi Xuân Hải (2011) , Nhóm tuyến tính, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.

Tiếng Anh

3. Joseph J. Rotman (1995), An Introduction to the Theory of Groups, Graduate texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York.