Bổ đề 2.3: Chuẩn hóa tử của nhóm con cấp 5 của G là nhóm con cấp 10.
Chứng minh.
Gọi P là nhóm con của G và P 5. Vì n G5( )36nên theo Định lý 1.1.7, suy ra
G N: G( )P 36. Do đó, NG( )P 10.
Bổ đề 2.4: G không có nhóm con cấp 40.
Giả sử H là nhóm con cấp 40 của G. Do 40=5.8 nên theo Định lý Sylow,
5( ) 1
n H . Gọi P là 5-nhóm con Sylow duy nhất của H thì P 5. Theo Định lý 1.1.7, P chuẩn tắc trong H, suy ra H NG( )P . Theo Bổ đề 2.3, NG( )P 10, điều này mâu thuẫn với cấp H bằng 40.
Bổ đề 2.5: Mọi 2-nhóm con Sylow của G đều tự chuẩn hóa.
Chứng minh.
Ta có 3 2
3602 .3 .5. Gọi n2 là số các 2-nhóm con Sylow của G. Theo Định lý Sylow, thì n21,3,5,9,15,45. Do G là nhóm đơn nên n2 1. Gọi P là một 2-nhóm con Sylow của G và đặt H NG( )P . Theo Định lý 1.1.7, thì G H: n2, suy ra G có nhóm con chỉ số n2. Theo Hệ quả 1.3.6, cấp G là ước của n2! nên n2 3;5. Do đó
2 9,15,45
n suy ra H 8;24;40. Theo Bổ đề 2.4, H 40. Vậy H 8;24 Giả sử H 24. Vì P H NG( )P nên P là 2-nhóm con Sylow duy nhất trong H. Vì G A6 mà A6 chỉ có các phần tử cấp 1,2,3,4,5 nên trong H chỉ có các phần tử cấp 1,2,3,4. Do P là nhóm con cấp 8 duy nhất của H nên mọi phần tử nằm ngoài P đều có cấp 3, nghĩa là H có 24-8=16 phần tử cấp 3. Mặt khác, theo Định lý Sylow, H có tối đa 4 nhóm con cấp 3, do đó H có không quá 8 phần tử cấp 3. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ H 24, kéo theo H 8. Do P là 2-nhóm con Sylow của G nên
8
P . Mà P H suy ra H NG( )P P. Vậy, mọi 2-nhóm con Sylow của G đều tự chuẩn hóa.
Hệ quả 2.6: G có 45 các 2-nhóm con Sylow.
Chứng minh.
Với P là một 2-nhóm con Sylow của G, thì P 8. Khi đó,
2 360 : ( ) : 45. 8 G n G N P G P