Trong việc học cấu trúc của các vành di truyền phải, lớp các vành di truyền phải mà là vành Artin phải đóng vai trò khá quan trọng. Chúng ta chỉ ra rằng có một cách đơn giản để nhận ra liệu vành Artin phải R là vành di truyền phải: người ta chỉ cần kiểm tra liệu rad R, radical Jacobson của R, là R-môđun xạ ảnh. Trong kết quả này, chúng ta sẽ
sử dụng khái niệm của luỹ đẳng nguyên thuỷ và vài thực tế cơ sở về luỹ đẳng như trên.
Tuy nhiên, chúng ta có thể không biết các luỹ đẳng nguyên thuỷ sử dụng trong chứng minh và đơn giản làm việc với tất cả các luỹ đẳng. Kết quả này cho chúng ta định lý bên dưới. Trong trường hợp này, chúng ta chứng minh các điều kiện tương đương với
nhau bởi sử dụng chu kì (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (5) ⇒ (1).
Định lý 2.3.1. Cho R là vành Artin phải với J = rad R, các điều sau đây là tương đương
(1)R là vành di truyền phải.
(2)J là R-môđun xạ ảnh.
(3)eJ là R-môđun xạ ảnh, với mọi luỹ đẳng e ∈ R.
(4)eJ là R-môđun xạ ảnh, với mọi luỹ đẳng nguyên thuỷ e ∈ R.
(5)Mọi iđêan phải tối đại của R là R-môđun xạ ảnh.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Hiển nhiên đúng theo định nghĩa.
(2) ⇒ (3) Chúng ta có sự phân hoạch iđêan phải J = eJ ⊕ (1 - e)J với mọi luỹ đẳng
e∈R. Do J là R-môđun xạ ảnh nên theo Mệnh đề 1.3.11 eJ là R-môđun xạ ảnh với mọi luỹ đẳng e∈R.
(3) ⇒ (4) Hiển nhiên.
Với hai điều suy ra còn lại, chúng ta sẽ sử dụng Bổ đề 1.3.14. Các lý luận sau đây cung cấp một minh hoạ rất tốt về Bổ đề 1.3.14. được áp dụng trong thực tế.
(4) ⇒ (5). Cho = R/J và xét bất kỳ iđêan phải tối đại của R. Khi đó, theo Mệnh đề
1.4.28. R/ là R-môđun đơn và nó là đẳng cấu với với luỹ đẳng nguyên thuỷ
e= +e Jcủa . Theo Định lý 1.4.18. J là nil, chúng ta luôn luôn tìm được luỹ đẳng e ∈
R sao cho e + J =e. Khi đó, theo Mệnh đề 1.4.25. e là luỹ đẳng nguyên thuỷ của R.
Chúng ta có hai dãy khớp ngắn sau
0 → →R→R/ → 0, 0 →eJ → eR → eR/eJ → 0,
ở đây R/ . Do R = eR ⊕ (1 - e)R và RR là môđun xạ ảnh nên theo Hệ quả 1.3.11. (eR)R là môđun xạ ảnh. Vậy theoBổ đề 1.3.14. chúng ta suy ra rằng
(*),
như R-môđun. Bởi (4), cả hai vế của (*) là các môđun xạ ảnh, cho nên chúng ta suy ra
rằng cũng là xạ ảnh.
(5) ⇒ (1). Để chứng minh rằng mọi iđêan phải I ⊆ R là R-môđun xạ ảnh, chúng ta áp dụng quy nạp theo n = length(R/I).
+ Nếu n = 0, I = Rthì tất nhiên I là R-môđun xạ ảnh.
+ Nếu n > 0, chọn iđêan phải ⊃ I sao cho I là R-môđun phải đơn và đẳng cấu với
R/ , ở đây là iđêan phải tối đại thích hợp. Khi đó lenght(R/ ) = n – 1, cho nên bởi giả thiết quy nạp, là R-môđun xạ ảnh. Áp dụng Bổ đề 1.3.14. với các dãy khớp ngắn
0 →I → → → 0, 0 → →R→ R/ → 0,
trong đó I ≅ R/ . Chúng ta có đẳng cấu . Sử dụng (5), chúng ta thấy rằng là môđun xạ ảnh, cho nên cũng là môđun xạ ảnh. Vậy theo Hệ quả 1.3.11. chúng ta suy ra rằng cũng là môđun xạ ảnh. Vậy R là vành di truyền
phải.
Chúng ta chú ý ngẫu nhiên rằng (1) ⇔ (2) trong định lý hiện nay đúng nói chung với mọi vành nửa nguyên thuỷ.
Nhận xét 2.3.2. Từ Định lý 2.3.1., chúng ta thấy rằng chỉ cần J là R-môđun xạ ảnh
thì R là vành di truyền phải. Mặt khác, do theo Nhận xét 1.4.14. R cũng là vành di truyền trái.
Như một sự áp dụng, chúng ta sẽ đưa ra một ví dụ cổ điển của các vành di truyền bên dưới.
Ví dụ 2.3.3.Cho k là vành chia bất kỳ, và R là vành các ma trận vuông cấp n mà là ma trận tam giác trên trên k. Khi đó R là vành di truyền phải (và cũng là vành di truyền trái).
KẾT LUẬN
Qua đề tài này, chúng tôi đãđưa ra
+ Khái niệm, tính chất của vành di truyền phải (trái) và vành nửa di truyền phải (trái).
+ Khái niệm của vành Artin di truyền cùng với điều kiện tương đương của vành Artin di truyền.
Đồng thời, chúng tôi cũng nêu ra những ví dụ mô tả cụ thể đối với từng vành và mối liên hệ giữa các vành, tiêu biểu là ví dụ của Small. Và cho chúng ta thấy lớp các vành di truyền phải và lớp các vành di truyền trái là không trùng nhau cũng như lớp các
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Tp.HCM.
2. Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Bài tập Đại số đồng điều, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Tp.HCM.
3. Bùi Xuân Hải, Trịnh Thanh Đèo (2013), Đại số hiện đại, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Tp.HCM.
Tiếng Anh
4. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra,
Addison – Wesley, Reading, Masachusetts.
5. N. Herstein (1968), Noncommutative rings, The Mathematical Association of America.
6. T. Y. Lam (1991), A First Course in Noncommutative Rings, Graduates Texts in Mathematic, Springer-Verlag.
7. T. Y. Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Graduates Texts in Math, Springer - Verlag.