MI =M I∩S ⊆ ∩I M ⊆ ∩I R⊕M)= I
Điều này chứng minh (1), và (2) được chứng minh tương tự. Nếu K là iđêan của A thì mỗi khi 0 r m s
thuộc K, cho nên
1 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 1 0 0 r m r s r m s s = = và do đó 0 0 0 m
cũng được tính như vậy. Điều này chỉ ra rằngK =K1⊕K0⊕K2, ở đây
1 , 0 , 2 .
K = ∩K R K = ∩K M K = ∩K S
Do K và M là các iđêan. Chúng ta phải có K M1 +MK2 ⊆ ∩K M =K0 và các tính chất yêu cầu khác của K0, K1, K2 là rõ ràng.
Theo mệnh đề này, các cấu trúc iđêan trái và phải trong A là được gắn chặt chẽ với
tương ứng cấu trúc R-môđun trái trên M và cấu trúc S-môđun trên M. Thường thì các cấu trúc hai môđun này trên M có thể được sắp xếp hoàn toàn khác biệt. Trong tình huống như vậy, vành A sẽ biểu diễn hành vi mạnh khác nhau giữa các iđêan trái và
dựng một vài vành bên dưới mà là Noether (tương ứng Artin) phải nhưng không là Noether (tương ứng Artin) trái.
Định lý 2.2.2.3. Cho 0 R M A S =
như trong Mệnh đề 2.2.2.2. Khi đó A là Noether phải (tương ứng trái) nếu và chỉ nếu R và S là Noether phải (tương ứng trái) và M như S-môđun phải (tương ứng R-môđun trái) là Noether. Lý luận tương tự vẫn đúng nếu chúng ta thay từ “Noether” bởi “Artin”.
Chứng minh. Chúng ta đủ để xử lý trường hợp “Noether phải”, còn trong các trường hợp khác chúng ta lý luận tương tự.
Đầu tiên, giả sử A là Noether phải. Do R và S là các vành thương của A, theo Mệnh đề
1.4.6 chúng cũng là Noether phải. Nếu M1⊆M2⊆ là dây chuyền tăng các S-môđun
con của M, thì qua các ma trận 0 0
0 Mi
, chúng ta có dây chuyền tăng các iđêan phải của A. Vì vậy M1⊆M2 ⊆phải dừng, cho nên Mnhư S-môđun là Noether.
Ngược lại, giả sử rằng R, S là Noether phải và M như S-môđun là Noether. Xét dây chuyền tăng I(1) ⊆I(2) ⊆ của các iđêan phải trong A. Sự co lại của dây chuyền này
đến R phải dừng, do R là Noether phải. Mặt khác, sự co lại của dây chuyền đến
M ⊕Scũng phải dừng, do S-môđun M ⊕Slà Noether (vì R, S là Noether phải và theo Mệnh đề 1.4.6. nên S-môđun M ⊕Slà Noether). Nhắc lại rằng
( ) ( ) ( )
( ) ( ( )),
i i i
I = I ∩R ⊕ I ∩ M⊕S
Chúng ta thấy rằng (1) (2)
I ⊆I ⊆phải dừng, cho nên chúng ta chứng minh được rằng
A là Noether phải.
Ví dụ 2.2.2.4. (Ví dụ của Small) Chúng ta xét vành Tcác ma trận có dạng
,
trong đó là vành các số nguyên, là miền các iđêan chính; là trường các số hữu tỷ,
là trường các thương của .
Chúng ta biết rằng mọi iđêan chính của đều dạng < n > = n , n ∈ và vì không
(n ≠ 0), (n ≠ 0),
.
Hơn nữa, M1 còn là một iđêan trái của T. Chúng ta cần chỉ ra rằng đó là các T-môđun
xạ ảnh.
Do n≠ 0, với mọi ∈T, chúng ta có
∈M1.
Ngược lại, ∀ ∈ ,
= .
Vì vậy, chúng ta có , và đây là môđun tự do có hạng là 1. Suy ra theo Mệnh đề 1.3.9. là T-môđun xạ ảnh.
Mặt khác, M2 ∩ = (0) và M2 + = M1. Suy ra theo Định lý 1.1.1.
(trong đó V0 = (0) ⊕ , ),
cho nên và là các hạng tử trực tiếp của một môđun tự do . Do đó theo Định lý 1.3.11, và là các T-môđun xạ ảnh.
Sau cùng, chúng ta chứng minh là T-môđun xạ ảnh. Chúng ta xét đồng cấu vành ϕ : T
Hơn nữa, ϕ là toàn cấu vành. Thật vậy, chọn bất kỳ ∈ T thoả ' ' 0 0 ' r p r p q q = . Suy ra r = r′, p = p′, q = q′ ; hay . Do đó là ánh xạ. Dễ dàng kiểm tra chúng ta có ' ' 0 0 0 ' ' ' ' ; 0 0 ' ' ' ' 0 0 0 ' ' ' ' ; 0 0 ' r p r p r r p p q q q q q q r p r p q q r p r p rr rp pq q q qq qq r p r p q q ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + * + = + = + = + + * ⋅ = = = ⋅ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∈T. Hơn nữa, với mọi q∈ , chọn ∈ T, chúng ta có
= q.
Vì V là -không gian vector con của ⊕ xem như là -không gian vector thì V
cũng có thể xem như là T-môđun theo toàn cấu vành ϕ. Khi đó phép nhân vô hướng của mỗi x∈T với mỗi số hữu tỷ q là nhân x với ảnh của q qua toàn cấu vànhϕ. Khi đó
là T-môđun, vì lấy
Thế nhưng V xem như -không gian vector con chỉ có một trong ba dạng hoặc (0) hoặc hoặc ⊕ . Nếu V ≅ ≅ V0 thì theo (*) ≅ là T-môđun xạ ảnh. Do
, với luỹ đẳng trong T. Thật vậy, rõ ràng ,
và ∀x = 0 r p q ∈T, y = 0 0 0 q' ∈ , chúng ta có 0 0 0 0 0 . , 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 ' 0 1 0 ' V r p e x M q q y ey eT q q = ⋅ = ∈ = = ⋅ = ∈
Vì vậy là T-môđun tự do với hạng là 1, mâu thuẫn Định lý 1.3.12. Do đó khi
V ≅ ⊕ thì ≅ (do ≅ V0). Từ đó, theo Mệnh đề 1.3.9 và là T-
môđun xạảnh cho nên là T-môđun xạ ảnh. Do đó Tlà vành di truyền phải.
Hoàn toàn tương tự khi chúng ta chuyển sang các iđêan trái của T. Vành T cũng có ba dạng iđêan trái
= M1 (n ≠ 0), ,
,
trong đó N1 = M1 là iđêan 2-phía của T, là nhóm các số nguyên hữu hạn sinh, là
nhóm các số hữu tỷ vô hạn sinh. Do đó T có ba loại môđun trái, chúng ta cần chứng
minh Tkhông là vành di truyền tráinhưng là vành nửa di truyền trái.
Tương tự chứng minh trên, chúng ta có được N1 = T⋅ n là T-môđun trái tự do với hạng 1 và kiểm tra trực tiếp (với luỹ đẳng trong T) cũng là T-
môđun trái tự do. Vì vậy, theo Mệnh đề 1.3.9N1, N2 là các T-môđun trái xạ ảnh.
Bây giờ, xét . Lưu ý rằng G là nhóm cộng aben nên đương nhiên G là một môđun
trên . Khi đó, có cấu trúc của một môđun trái do toàn cấu vành µ : T→ cho bởi mỗi ∈ T thành thì tự động môđun trên chuyển thành môđun trên T. Do đó, phép nhân vô hướng mỗi x∈T với mỗi số hữu tỷ q là nhân x với ảnh của q qua
Xét trường hợp là T-iđêan trái hữu hạn sinh (tức là T-môđun trái hữu hạn sinh).
Khi đó, G phải là nhóm con hữu hạn sinh của nhưng G chỉ có một trong ba dạng hoặc (0) hoặc hoặc (do là nhóm con hữu hạn sinh của và là nhóm
vô hạn sinh). Chúng ta có các khả năng sau
+ Nếu G = G0 thì trong đó là
phần tử luỹ đẳng trong T. Do đó là T-môđun trái tự do với hạng là 1. Vậy là
T-môđun trái xạ ảnh.
+ Nếu G = thì tương tự chứng minh trên chúng ta có và cũng là
T-môđun trái xạ ảnh (do là T-môđun trái xạ ảnh và theo Định lý 1.3.6).
Tóm lại, mọi môđun trái hữu hạn sinh của T đều là T-môđun trái xạ ảnh. Vì vậy T là
vành nửa di truyền trái.
Cuối cùng, lấy G = (0) ⊕ ≅ và G không phải là môđun trái hữu hạn sinh trên
(vì không là môđun trái hữu hạn sinh trên ). Khi đó NG không là iđêan trái hữu hạn sinh trên T. Bằng phản chứng, chúng ta giả sử NG là T-môđun trái xạ ảnh. Lấy môđuloKerµ =I, với đồng cấu vành µ : T → chúng ta có . Nên là -môđun trái xạ ảnh, mâu thuẫn với Hệ quả 1.4.37. Do đó không là T-môđun
trái xạ ảnh. Vậy Tkhông là vành di truyền trái.
Tóm lại, trong ví dụ này có T là vành di truyền phải và không là vành di truyền trái nhưng là vành nửa di truyền trái.
Hoàn toàn tương tự, chúng ta xét tập . Chúng ta sẽ nhận được một vành di truyền bên trái, không là vành di truyền bên phải nhưng lại là vành nửa di truyền bên phải.
2.3. CÁC VÀNH ARTIN DI TRUYỀN
Trong việc học cấu trúc của các vành di truyền phải, lớp các vành di truyền phải mà là vành Artin phải đóng vai trò khá quan trọng. Chúng ta chỉ ra rằng có một cách đơn giản để nhận ra liệu vành Artin phải R là vành di truyền phải: người ta chỉ cần kiểm tra liệu rad R, radical Jacobson của R, là R-môđun xạ ảnh. Trong kết quả này, chúng ta sẽ
sử dụng khái niệm của luỹ đẳng nguyên thuỷ và vài thực tế cơ sở về luỹ đẳng như trên.
Tuy nhiên, chúng ta có thể không biết các luỹ đẳng nguyên thuỷ sử dụng trong chứng minh và đơn giản làm việc với tất cả các luỹ đẳng. Kết quả này cho chúng ta định lý bên dưới. Trong trường hợp này, chúng ta chứng minh các điều kiện tương đương với
nhau bởi sử dụng chu kì (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (5) ⇒ (1).
Định lý 2.3.1. Cho R là vành Artin phải với J = rad R, các điều sau đây là tương đương
(1)R là vành di truyền phải.
(2)J là R-môđun xạ ảnh.
(3)eJ là R-môđun xạ ảnh, với mọi luỹ đẳng e ∈ R.
(4)eJ là R-môđun xạ ảnh, với mọi luỹ đẳng nguyên thuỷ e ∈ R.
(5)Mọi iđêan phải tối đại của R là R-môđun xạ ảnh.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Hiển nhiên đúng theo định nghĩa.
(2) ⇒ (3) Chúng ta có sự phân hoạch iđêan phải J = eJ ⊕ (1 - e)J với mọi luỹ đẳng
e∈R. Do J là R-môđun xạ ảnh nên theo Mệnh đề 1.3.11 eJ là R-môđun xạ ảnh với mọi luỹ đẳng e∈R.
(3) ⇒ (4) Hiển nhiên.
Với hai điều suy ra còn lại, chúng ta sẽ sử dụng Bổ đề 1.3.14. Các lý luận sau đây cung cấp một minh hoạ rất tốt về Bổ đề 1.3.14. được áp dụng trong thực tế.
(4) ⇒ (5). Cho = R/J và xét bất kỳ iđêan phải tối đại của R. Khi đó, theo Mệnh đề
1.4.28. R/ là R-môđun đơn và nó là đẳng cấu với với luỹ đẳng nguyên thuỷ
e= +e Jcủa . Theo Định lý 1.4.18. J là nil, chúng ta luôn luôn tìm được luỹ đẳng e ∈
R sao cho e + J =e. Khi đó, theo Mệnh đề 1.4.25. e là luỹ đẳng nguyên thuỷ của R.
Chúng ta có hai dãy khớp ngắn sau
0 → →R→R/ → 0, 0 →eJ → eR → eR/eJ → 0,
ở đây R/ . Do R = eR ⊕ (1 - e)R và RR là môđun xạ ảnh nên theo Hệ quả 1.3.11. (eR)R là môđun xạ ảnh. Vậy theoBổ đề 1.3.14. chúng ta suy ra rằng
(*),
như R-môđun. Bởi (4), cả hai vế của (*) là các môđun xạ ảnh, cho nên chúng ta suy ra
rằng cũng là xạ ảnh.
(5) ⇒ (1). Để chứng minh rằng mọi iđêan phải I ⊆ R là R-môđun xạ ảnh, chúng ta áp dụng quy nạp theo n = length(R/I).
+ Nếu n = 0, I = Rthì tất nhiên I là R-môđun xạ ảnh.
+ Nếu n > 0, chọn iđêan phải ⊃ I sao cho I là R-môđun phải đơn và đẳng cấu với
R/ , ở đây là iđêan phải tối đại thích hợp. Khi đó lenght(R/ ) = n – 1, cho nên bởi giả thiết quy nạp, là R-môđun xạ ảnh. Áp dụng Bổ đề 1.3.14. với các dãy khớp ngắn
0 →I → → → 0, 0 → →R→ R/ → 0,
trong đó I ≅ R/ . Chúng ta có đẳng cấu . Sử dụng (5), chúng ta thấy rằng là môđun xạ ảnh, cho nên cũng là môđun xạ ảnh. Vậy theo Hệ quả 1.3.11. chúng ta suy ra rằng cũng là môđun xạ ảnh. Vậy R là vành di truyền
phải.
Chúng ta chú ý ngẫu nhiên rằng (1) ⇔ (2) trong định lý hiện nay đúng nói chung với mọi vành nửa nguyên thuỷ.
Nhận xét 2.3.2. Từ Định lý 2.3.1., chúng ta thấy rằng chỉ cần J là R-môđun xạ ảnh
thì R là vành di truyền phải. Mặt khác, do theo Nhận xét 1.4.14. R cũng là vành di truyền trái.
Như một sự áp dụng, chúng ta sẽ đưa ra một ví dụ cổ điển của các vành di truyền bên dưới.
Ví dụ 2.3.3.Cho k là vành chia bất kỳ, và R là vành các ma trận vuông cấp n mà là ma trận tam giác trên trên k. Khi đó R là vành di truyền phải (và cũng là vành di truyền trái).
KẾT LUẬN
Qua đề tài này, chúng tôi đãđưa ra
+ Khái niệm, tính chất của vành di truyền phải (trái) và vành nửa di truyền phải (trái).
+ Khái niệm của vành Artin di truyền cùng với điều kiện tương đương của vành Artin di truyền.
Đồng thời, chúng tôi cũng nêu ra những ví dụ mô tả cụ thể đối với từng vành và mối liên hệ giữa các vành, tiêu biểu là ví dụ của Small. Và cho chúng ta thấy lớp các vành di truyền phải và lớp các vành di truyền trái là không trùng nhau cũng như lớp các
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Tp.HCM.
2. Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Bài tập Đại số đồng điều, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Tp.HCM.
3. Bùi Xuân Hải, Trịnh Thanh Đèo (2013), Đại số hiện đại, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Tp.HCM.
Tiếng Anh
4. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra,
Addison – Wesley, Reading, Masachusetts.
5. N. Herstein (1968), Noncommutative rings, The Mathematical Association of America.
6. T. Y. Lam (1991), A First Course in Noncommutative Rings, Graduates Texts in Mathematic, Springer-Verlag.
7. T. Y. Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Graduates Texts in Math, Springer - Verlag.