5. Ký hiệu trong luận văn
3.2. Đối ngẫu của không gian Riesz khối địa phương
Cho E là không gian véctơ hội tụ. Ta ký hiệu Ec′ là đối ngẫu tôpô của E được trang bị cấu trúc hội tụ liên tục và Ec′′ là đối ngẫu tôpô của Ec′ được trang bị cấu trúc hội tụ liên tục. Khi đó, ánh xạ jE :E→Ec′′ trong đó với x∈E thì j xE( ) :Ec′ϕ ϕ( )x ∈ luôn xác định, tuyến tính và liên tục. Ánh xạ jE đơn ánh nếu và chỉ nếu Ec′ tách được các điểm của E. Nếu
E là không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff thì ta có một số kết quả sau
Định lí 3.2.1.Cho E là không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff. Khi đó, Ec′′ là không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, đầy đủ và jE là đẳng cấu lên không gian con trù mật của Ec′′. Đặc biệt, nếu E đầy đủ thì j EE( )=Ec′′.
Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày những ứng dụng của định lí 3.2.1, mệnh đề 2.3.1 và định lí 2.3.1.
Định lí 3.2.2.Cho L là không gian Riesz khối địa phương, lồi địa phương Hausdorff, đầy đủ. Khi đó, Lc′ là không gian Riesz khối địa phương, lồi địa phương, đầy đủ và ánh xạ
:
L c
j L→L′′ là đẳng cấu không gian hội tụ và đẳng cấu Riesz lên ~
(Lc′) ⊇Lc′′.
Chứng minh.Áp dụng định lí 2.3.1, mệnh đề 2.3.1 thì Lc′′ là dàn véctơ hội tụ khối địa
phương. Theo định lí 3.2.1 thì Lc′′ đầy đủ, phủ địa phương và jL là đẳng cấu không gian hội tụ. Vì Lc′ là ideal trong L nên Lc′ tách được các điểm của L nên jL là đẳng cấu không gian Riesz.
Chú ý 3.2.1.Nếu L là dàn Banach phản xạ thì ánh xạ tự nhiên jL:L→L′′ đẳng cấu Riesz lên ~
(Lc′) ⊇Lc′′. Tổng quát hơn nữa, nếu L không gian lồi địa phương, khối địa phương mà nó phản xạ đối với tôpô trên L’ và L’’ thì ánh xạ jL:L→L′′ là đẳng cấu Riesz lên
~
( )L′ ⊇L′′. Để ý rằng, với L không gian lồi địa phương, khối địa phương thì có thể ánh xạ :
L
j L→L′′ là đẳng cấu dàn hoặc có thể đẳng cấu không gian tôpô đặc trưng cho không gian này.
KẾT LUẬN
Với mục đích đặt ra của luận văn là tìm hiểu “Sự hội tụ trong lý thuyết dàn véctơ”, tôi đã trình bày một số kiến thức chuẩn bị; các khái niệm và kết quả của dàn véctơ hội tụ khối địa phương. Đặc biệt là hai ứng dụng của dàn véctơ hội tụ khối địa phương. Cụ thể từng chương như sau
• Chương 1 Trình bày các kiến thức chuẩn bị về Sự hội tụ trong không gian tôpô; Không gian Riesz khối địa phương; Không gian hội tụ.
• Chương 2 Trình bày một số khái niệm và kết quả của dàn véctơ hội tụ khối địa phương, đây đuợc xem là sự tổng quát hóa của không gian Riesz khối địa phương đó là khái niệm và các kết quả cơ bản của dàn véctơ hội tụ khối địa phương; một số tính chất không đổi, trong đó cấu trúc hội tụ đầu hoặc cuối không đảm bảo được tính khối địa phương nhưng khi có thêm họ đồng cấu Riesz thì cấu trúc hội tụ đầu đối với họ ánh xạ này lại là khối địa phương; cấu trúc đối ngẫu, trong đó hai cấu trúc đối ngẫu này có mối liên hệ với nhau theo nghĩa ideal. Hơn nữa, khi ta trang bị cấu trúc hội tụ liên tục thì đối ngẫu tôpô Lc′ lại là dàn véctơ hội tụ khối địa phương; tính đầy đủ và sự làm đầy, trong đó sự làm đầy Llà dàn véctơ nhưng không là khối địa phương}.
• Chương 3 Trình bày hai ứng dụng quan trọng của dàn véctơ hội tụ khối địa phương đó là định lí đồ thị đóng đối với các tóan tử tuyến tính trên lớp dàn véctơ hội tụ khối địa phương; các kết quả đối ngẫu của không gian Riesz khối địa phương, phủ địa phương.
Từ những kết quả đạt được trong luận văn, ta thấy rằng lý thuyết về sự hội tụ trong tôpô là một vấn đề thời sự, được nhiều nhà toán học quan tâm và nghiên cứu như E. T .Ordman (1966), M. Moore - H. Smith (1922), R. W .May - C. W. McArthur (1977), R. Anguelov (2005),... đặc biệt là J. H. van der Walt (2013).
Trong quá trình thực hiện luận văn tôi đã viết thư trao đổi với GS. van der Walt về đề tài mà tôi đang nghiên cứu và đã được GS góp ý, chia sẽ các tài liệu quí liên quan tới nội dung của luận văn. Đặc biệt là các kết quả nghiên cứu mới nhất của GS về lý thuyết dàn véctơ hội tụ khối địa phương trong năm 2013 đã đăng trên tạp chí TOPOLOGY PROCEEDINGS.
Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn và sự kính trọng đối với GS. van der Walt. Chúc GS luôn sức khỏe và có nhiều cống hiến cho toán học.
Hy vọng rằng, trong tương lai không xa tôi sẽ có cơ hội tiếp tục nghiên cứu và mở rộng được nhiều kết quả, ứng dụng hơn đối với sự hội tụ trong lý thuyết dàn véctơ. Do còn nhiều hạn chế khách quan và chủ quan, luận văn đã dừng lại trong những khuôn khổ nhất định.
Sau cùng, mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc soạn thảo nhưng những sai sót là không thể tránh khỏi, tôi xin chân thành lắng nghe và chia sẽ ý kiến của quý thầy trong hội đồng về đề tài của luận văn này. Xin chân thành cám ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. C. D. Aliprantis and O. Burkinshaw, Locally solid Riesz spaces, Academic Press, New York, San Francisco, London, 1978.
2. R. Anguelov and J. H. van der Walt, Order convergence structure on C(X), Quaestiones Mathematicae 28 no. 4 (2005), 425–457.
3. R. Beattie and H.-P. Butzmann, Convergence structures and applications to functional analysis, Kluwer Academic Plublishers, 2002.
4. S. Gähler W. Gähler and G. Kneis, Completion of pseudo-topological vector spaces, Math Nachr 75 (1976), 185–206.
5. J. Kelley, General topology, Van Nostrand, Princeton, 1955.
6. W. A. J. Luxemburg and A. C. Zaanen, Riesz spaces I, North Holland, Amsterdam, 1971.
7. R. W. May and C. W. McArthur, Comparison of two types of convergence with 8. topological convergence in an ordered topological vector space, Proceedings of the
AMS 63 (1977), 49–55.
9. M. Moore and H. Smith, A general theory of limits, American Journal of Mathematics 44, (1922) 102–121.
10. E. T. Ordman, Convergence almost everywhere is not topological, Am Math Mon 73, (1966) 182–183.
11.J. H. van der Walt, The completion of uniform convergence spaces and an application to nonlinear PDEs, Quaestiones Mathematicae 32 (2009), 371–395. 12. J. H. van der Walt, The order convergence structure, Indagationes Mathematicae 21
(2011), 138–155.
13.J. H. van der Walt, A closed graph theorem for order bounded operators, Technical Report UPWT2009/12, University of Pretoria, 2009.
14.A. C. Zaanen, Riesz spaces II, North Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1983. 15.Beattie, R., Butzmann, H. -P., Herrlich,.., Filter convergence via sequential
convergence, Comm Math Univ Carol 27 (1986), 69-81. 16. K. Kuratowski, Topology vol 1, 1966.
19. N. Bourbaki, General Topology chapter 5-10, Springger, 1966. 20. S. Shirali and H. L. Vasudeva, Metric spaces, Springger, 2006. 21. H. H. Schaefer, Topological vector spaces, Springger, 1999.
22. A. P. Robertson - W. J. Robertson, Topological vector spaces, Cambridge university, 1973.
23.H. Tụy, Real function and equation analystiC, Nhà xuất bản ĐHQGHN, 2003. 24. H. Q. Vu, Lecture notes on Topology and Geometry, 2003.