5. Ký hiệu trong luận văn
2.2. Một số tính chất bất biến
Trong mục này chúng ta sẽ xét một số tính chất bất biến của lớp dàn véctơ hội tụ khối địa phương. Tính bất biến ở đây chính là cấu trúc hội tụ không gian véctơ đầu và cuối bởi khi chúng ta hình thành cấu trúc hội tụ khối địa phương mịn nhất và thô nhất trên dàn véctơ hội tụ khối địa phương thì hai cấu trúc này sẽ trùng với cấu trúc hội tụ đầu hoặc cuối. Vấn đề đặt ra là cấu trúc hội tụ không gian véctơ đầu hoặc cuối có đảm bảo được tính khối địa phương hay không? Câu trả lời là không, điều này được minh họa bởi hai ví dụ sau
Ví dụ 2.2.1. Cho 2
L= với với quan hệ thứ tự là
1 2 1 2 1 1 2 2 ( ,u u )≤( ,v v ) ⇔ ≤u v và u ≤v Cho 2 K = với quan hệ thứ tự là 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 ( ,u u )≤( ,v v ) ⇔ <u v or u =v và u ≤v
Để ý rằng L là dàn véctơ Archimedes, còn K thì không phải, xem ví dụ 1.2.1. Đặt
:
I K →L là ánh xạ đồng nhất. Xét trên L tôpô mêtríc thông thường thì nó là khối địa phương và trên K cấu trúc hội tụ đầu tương ứng với I . Vì I đơn ánh nên cấu trúc hội tụ đầu trên L là Hausdorff. Do đó, theo mệnh đề 2.1.3 thì cấu trúc hội tụ đầu này không là khối địa phương, dẫn đến K không là Archimedes.
Thực tế, không có cấu trúc hội tụ khối địa phương trên K làm cho I liên tục. Để thấy được điều này, giả sử λ là cấu trúc hội tụ khối địa phương trên K tương ứng với I liên tục. Để ý rằng, với f =(1;1)∈K thì khoảng A= − −[ f f; ] bị chặn trong K bởi mệnh đề
2.1.3. Vì I liên tục nên I A( )= A bị chặn trong L nhưng tập
không bị chặn trong L.
Ví dụ 2.2.2. Cho K = và L là dàn véctơ con của K gồm tất cả các hàm đồng nhất triệt tiêu ngoài tại (0;1). Xét cấu trúc hội tụ khối địa phương tùy ý trên L và cấu trúc hội tụ không gian véctơ đầu trên K tương ứng với ánh xạ bao hàm
:
L L f f K
ι ∈
cũng như G⊆L, điều này không thể xảy ra. Do vậy, lọc F không hội tụ đến 0 trong L dẫn đến K không là khối địa phương.
Qua hai ví dụ 2.2.1 và ví dụ 2.2.2 ta thấy rằng không phải cấu trúc đầu hoặc cuối bảo toàn được tính khối địa phương. Tuy nhiên, nó có thể hình thành cấu trúc hội tụ khối địa phương mịn nhất và thô nhất trên lớp dàn véctơ hội tụ khối địa phương. Đồng thời, cấu trúc này sẽ trùng với cấu trúc hội tụ không gian véctơ đầu và cuối.
Định lí 2.2.1. Cho {L ii: ∈I} là họ của các dàn véctơ hội tụ khối địa phương, L là dàn véctơ và họ các ánh xạ tuyến tính {T Li: i →L}. Khi đó, tồn tại cấu trúc hội tụ khối địa phương mịn nhất trên L tác động đến các Ti liên tục.
Chứng minh. Trước tiên, ta sẽ chứng minh tồn tại cấu trúc hội tụ khối địa phương λ trên
L sao cho mỗi Ti liên tục. Đặt λo là cấu trúc hội tụ không gian véctơ đầu đối với Ti, ta định nghĩa λ như sau
Khi đó λ là cấu trúc hội tụ không gian véctơ trên L. Vì tổng của các tập hợp khối là tập khối nên λ cũng là khối địa phương. Vì λo mịn hơn λ nên ánh xạ T Li: i →L liên tục đối với λ. Tiếp theo ta sẽ chứng minh λ là cấu trúc hội tụ khối địa phương mịn nhất trên L tác
động đến các Ti liên tục. Thật vậy, gọi λ1 là cấu trúc hội tụ khối địa phương trên L tương ứng tác động đến các Ti liên tục. Khi đó, λo là cấu trúc hội tụ không gian véctơ đầu
1(0)
G∈λ với cơ sở gồm các tập hợp khối sao cho G=s G( )⊆s F( )
Suy ra s F( )∈λ1(0)Vì λ1 là cấu trúc hội tụ không gian véctơ và từ \eqref{ct1} nên λ mịn hơn λ1.
Định lí 2.2.2. Cho {L ii: ∈I} là họ của các dàn véctơ hội tụ khối địa phương, L là dàn véctơ và họ các ánh xạ tuyến tính bị chặn thứ tự {T Li: →Li}. Khi đó, tồn tại cấu trúc hội tụ khối địa phương thô nhất trên L tác động đến các Ti liên tục.
Chứng minh.Giả sử λo là cấu trúc hội tụ đầu trên L đối với họ ánh xạ
{T Li: i →L i| ∈I}
Khi đó F∈λ(0) nếu và chỉ nếu s F( )∈λo(0) và với f ≠0 thì F∈λ( )f nếu và chỉ nếu
[ ] (0)
F− f ∈λ . Do đó λ là cấu trúc hội tụ không gian véctơ trên L.
Mặt khác λ mịn hơn λo nên Ti liên tục tương ứng với λ. Hơn nữa λ cũng là khối địa phương. Ta lại thấy s F( ) có một cơ sở gồm các tập hợp khối với mọi F∈λ(0) nhưng
( )
( ) và ( ) ( ) o(0)
s F ⊆F s s F =s F ∈λ Do vậy s F( )∈λ(0).
Tiếp theo ta sẽ chứng minh λ là cấu trúc hội tụ khối địa phương thô nhất trên L tác động đến các Ti liên tục. Thật vậy, xét cấu trúc hội tụ khối địa phương λ1 trên L tác động đến các Ti liên tục. Giả sử F∈λ(0) và không mất tính tổng quát lọc F có cơ sở gồm các tập hợp khối. Do đó s F( )= ∈F λo(0). Suy ra F∈λ(0)
Nếu như cấu trúc hội tụ đầu hoặc cuối không đảm bảo được tính khối địa phương thì điều kiện gì sẽ cho phép chúng ta kiểm tra được cấu trúc hội tụ đầu hoặc cuối đảm bảo được tính khối địa phương? Định lý sau sẽ cho chúng ta được cấu trả lời đó.
Định lí 2.2.3. Cho {L ii: ∈I} là họ của các dàn véctơ hội tụ khối địa phương, L là dàn véctơ và họ đồng cấu Riesz {T Li: →Li}. Khi đó, cấu trúc hội tụ đầu trên L đối với họ ánh xạ {T Li: →Li} là khối địa phương.
Chứng minh. Cho F hội tụ đến 0 trong L đối với cấu trúc hội tụ đầu. Cố định i∈I. Vì
( )
i
T F hội tụ đến 0 trong Li và Li là khối địa phương nên tồn tại lọc Gi với cơ sở gồm các tập hợp khối sao cho Gi hội tụ đến 0 trong Li và Gi ⊆T Fi( ), tức là
, : ( )
i i i
G G F F T F G
∀ ∈ ∃ ∈ ⊆ .
Do đó T s Fi( ( )) hội tụ đến 0 trong Li với mọi i∈I dẫn đến s F( ) hội tụ đến 0 trong L. Ta lại có s F( )⊆ F với cơ sở gồm các tập hợp khối nên cấu trúc hội tụ đầu trên L đối với họ ánh xạ Ti là khối địa phương.
Hệ quả 2.2.1.
Tích trực tiếp và không gian con của dàn véctơ hội tụ khối địa phương là khối địa phương.
Chứng minh.Giả sử K là tích trực tiếp của họ dàn véctơ hội tụ khối địa phương
{L ii: ∈I}
Để ý rằng K cũng là dàn véctơ đối với tọa độ theo thứ tự ( )i ( )i : i i
f = f ≤ =g g ⇔ ∀ ∈i T f ≤g
Vì ( ) ( )fi ∧ gi =(fi∧gi) nên ánh xạ chiếu πi:K ⇔Li là đồng cấu Riesz. Do đó cấu trúc hội tụ tích trực tiếp trên K là khối địa phương.
Hơn nữa, bất kỳ dàn véctơ con K của dàn véctơ hội tụ khối địa phương là khối địa phương. Vì ánh xạ bao hàm
K f f ∈L là đồng cấu Riesz nên cấu trúc hội tụ trên không gian con K là khối địa phương.