Các tiêu chuẩn Barbashin-Krasovskii-LaSalle cho sự ổn định tiệm cận

Định lý 3.3.1. Cho f C R1( N) và xét hệ (2.6). Cho a R N thỏa f a 0 và

U là tập mở bị chặn với a U thỏa

(i) Đối với bất kỳ x đủ gần a , nghiệm u của (2.6) với u 0  x là toàn cục và vẫn còn trong U.

(ii) ∃V C R 1( N) sao cho  u U , V u f u' , ( ) 0. .

(iii) Tập u U , V u f u'( ), ( ) 0 không chứa bất kì nghiệm nào của (2.6) trừ a. Khi đó, a là tối thiểu địa phương nghiêm ngặt của V , nó là điểm cân bằng trong

U và a là điểm cân bằng ổn định tiệm cận của (2.6).

Chứng minh:

Lấy một quỹ đạo u của (2.6) với u 0 đủ gần a mà u vẫn còn trong U , lấy

 

 u

Vì V u t   tiến tới l khi t → + ∞, nên ta có

∀t ≥ 0, V z t  l

Ngoài ra ∀t ≥ 0, z t  U và V z t' ( ) ,  f z t( ) d V z t ( ) 0

dt

 

Trường hợp đặc biệt một hệ quả của (iii), ta có  t 0, z t a, do đó   a . Vì vậy, u t  hội tụ tới a khi t →+ ∞. Hơn nữa, nếu u0 a, vì (iii) nên có một số

TR mà V u T' ( ) ,  f u T( ) 0 và khi đó V u(  0 )V a  . Vì vậy, a là tối thiểu địa phương nghiêm ngặt của V và từ 1.4.3 ta thu được kết luận mong muốn.

Ví dụ 3.3.2. Ta xét hệ

u ' ; ' v v   u g v   c trong đó c R và g tăng với g 0 0. Đặt

   2 2

,

V u v  u  c  v

Dễ thấy u v, R2, V u v f u v' , ,   ,  2 ( )g v v0. Lấy quả cầu U bất kỳ tâm tại  c,0 , điều kiện i) và ii) rõ ràng được thực hiện. Khi đó, nếu một quỹ đạo u v, 

thỏa mãn V u v f u v' , ,   , 0, từ 2 ( ) g v v0 ta suy ra v  0 , do đó ' 0v  và phương trình thứ hai u  c . Cuối cùng c, 0 chỉ cân bằng và ổn định tiệm cận toàn cục như là một hệ quả của Định lý 3.3.1.