Định lý 3.3.1. Cho f C R1( N) và xét hệ (2.6). Cho a R N thỏa f a 0 và
U là tập mở bị chặn với a U thỏa
(i) Đối với bất kỳ x đủ gần a , nghiệm u của (2.6) với u 0 x là toàn cục và vẫn còn trong U.
(ii) ∃V C R 1( N) sao cho u U , V u f u' , ( ) 0. .
(iii) Tập u U , V u f u'( ), ( ) 0 không chứa bất kì nghiệm nào của (2.6) trừ a. Khi đó, a là tối thiểu địa phương nghiêm ngặt của V , nó là điểm cân bằng trong
U và a là điểm cân bằng ổn định tiệm cận của (2.6).
Chứng minh:
Lấy một quỹ đạo u của (2.6) với u 0 đủ gần a mà u vẫn còn trong U , lấy
u
Vì V u t tiến tới l khi t → + ∞, nên ta có
∀t ≥ 0, V z t l
Ngoài ra ∀t ≥ 0, z t U và V z t' ( ) , f z t( ) d V z t ( ) 0
dt
Trường hợp đặc biệt một hệ quả của (iii), ta có t 0, z t a, do đó a . Vì vậy, u t hội tụ tới a khi t →+ ∞. Hơn nữa, nếu u0 a, vì (iii) nên có một số
TR mà V u T' ( ) , f u T( ) 0 và khi đó V u( 0 )V a . Vì vậy, a là tối thiểu địa phương nghiêm ngặt của V và từ 1.4.3 ta thu được kết luận mong muốn.
Ví dụ 3.3.2. Ta xét hệ
u ' ; ' v v u g v c trong đó c R và g tăng với g 0 0. Đặt
2 2
,
V u v u c v
Dễ thấy u v, R2, V u v f u v' , , , 2 ( )g v v0. Lấy quả cầu U bất kỳ tâm tại c,0 , điều kiện i) và ii) rõ ràng được thực hiện. Khi đó, nếu một quỹ đạo u v,
thỏa mãn V u v f u v' , , , 0, từ 2 ( ) g v v0 ta suy ra v 0 , do đó ' 0v và phương trình thứ hai u c . Cuối cùng c, 0 chỉ cân bằng và ổn định tiệm cận toàn cục như là một hệ quả của Định lý 3.3.1.