Nguyên lý bất biến của Lasalle tổng quát

Cho Z d,  là một không gian metric đầy đủ và  S t  t0 là một hệ động lực trên Z .

Định nghĩa 3.4.1. Một hàm  C Z R ,  được gọi là hàm Lyapunov cho

 

 S t t0 nếu có S t z     z ,   z Z, t 0 . (3.16)

Nhận xét 3.4.2. Bằng việc sử dụng tính chất của nữa nhóm S t  , ta thấy rằng

 

 

t  S t z thì không tăng.

Kết quả sau đây được gọi là nguyên lý bất biến LaSalle.

Định lý 3.4.3. Cho Φ là hàm Lyapunov cho  S t  t0, và z ∈ Z thỏa 0 ( ) 

t S t z

 

là compact tương đối trong Z . Khi đó

(i) lim  ( )  t c S t z    tồn tại. (ii)  y c,  y  z . Đặc biệt :  y   z , t 0, S t y    y . Chứng minh:

(i) S t z   không tăng và bị chặn vì 0 ( ) 

t S t z



 là compact tương đối. Suy ra tồn tại giới hạn c.

(ii) Nếu y z , tồn tại một chuỗi tn → + ∞ mà S(tn) z →y . Do đó

 

( (S tn)z) y

   và điều này hàm ý  y  c .

Tính chất cuối là một hệ quả trực tiếp của tính bất biến của  z (Định lý 1.1.8,(i)).

Nhận xét 3.4.4. Thực tế, Định lý 3.4.3 được sử dụng để biểu thị sự hội tụ của một số quỹ đạo của  S t  t0 đến một trạng thái cân bằng. Do đó, định nghĩa và định lý sau đây là cơ bản.

Định nghĩa 3.4.5. Một hàm Lyapunov  cho  S t  t0 được gọi là một hàm Lyapunov nghiêm ngặt nếu điều kiện sau được thoả mãn: bất kỳ z Z mà

 

S t z  z

   t 0 là một trạng thái cân bằng của  S t  t0.

Định lý 3.4.6. Cho  là một hàm Lyapunov nghiêm ngặt cho  S t  t0 , và

z Z thỏa 0 ( ) 

t S t z



 là compact tương đối trong Z. Đặt E là tập các điểm cân bằng của  S t  t0. Khi đó

(ii) d S t z E   ,   0 khi t → + ∞, nghĩa là  z E .

Chứng minh:

Do tính liên tục của S t  nên E đóng. Do Định lí 1.1.8 (i),  z  .Bây giờ lấy y z . Theo Định lý 3.4.3 suy ra S t y    y , ∀t0, Vf vì  là một hàm Lyapunov nghiêm ngặt nên y là một trạng thái cân bằng: ta có (i) và  z E.

Từ định lý 1.1.8 (iii) suy ra (ii).

Nhận xét 3.4.7. Định lý 3.4.6 có nghĩa là tập hợp các điểm cân bằng chứa tất cả các quỹ đạo của S t  t0.

3.4.8. Hệ quả Theo giả thiết của Định lý 3.4.6, lấy lim    

t

c S t z



  và c x ,  x c .

Khi đó c là một tập con đóng khác rỗng của Z và d S t z(   , c) → 0 khi t → + ∞. Nếu c rời rạc thì tồn tại y c mà (S t z)  y khi t → + ∞.

Chứng minh:

Vì E đóng và  là liên tục, nên c đóng. Phần còn lại của hệ quả là kết quả tất nhiên của Định lý 3.4.3, 3.4.6 và 1.1.8 (ii).

Chương 4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG