( ) m m u K K c sup inf F∈ ∈ = K u , m = 1, 2, …… (4.1.6)
trong đó Km là lớp tất cả tập con K compact của M thỏa indK≥ m với indK là một chỉ số tôpô mà ta sẽ định nghĩa một cách tiên đề.
Định nghĩa:
Cho X là 1 không gian Banach thực. Một tập con K của X gọi là đối xứng khi và chỉ khi nếu u∈K thì (−u)∈K. Ta ký hiệu symX là lớp các tập con K đóng và đối xứng của X sao cho 0∉K.
Giả sử có:
(Ao) Mỗi tập K∈symX được gắn với 1 số tự nhiên m (0 ≤ m <+∞), ký hiệu indK sao cho với mọi K, K1, ….,Kk∈symX các điều kiện sau được thỏa: (A1) indK = 0 ⇔ K = ∅.
(A2) Nếu K là 1 tập hợp hữu hạn & khác rỗng thì indK = 1. (A3) ind(K1∪….∪Kk) ≤ indK1 + …+ indKk.
(A4) Nếu K1 ⊆ K2 thì indK1≤ indK2 .
(Hay tổng quát hơn: tồn tại một ánh xạ lẻ liên tục ϕ : K1→ K2) (A5) Nếu K là tập compact thì indK< + ∞ và tồn tại tập mở U sao cho K ⊆ U; U∈symX và indK = indU.
(Bo) F: M⊆X→ R là 1 phiếm hàm chẵn trên tập M đối xứng khác rỗng của không gian Banach thực X.
(B1) Với m∈N cố định, Km ≠ ∅ và −∞ < cm < +∞. (B2) critM,c F là tập compact và không chứa điểm 0.
trong (4.1.2) với c = cm là hàm lẻ theo biến u.
Mệnh đề: (Ljusternik 1930)
Với các giả thiết (A) và (B) như trên, ta có: a) critM,cmF ≠ ∅.
b) Nếu cm = cm+1 =…..= cm+p với p ≥ 1 thì ind critM,cmF ≥ p +1. Đặc biệt: critM,cmF chứa vô hạn cặp (u, − u).
(Trong kết quả b), ta giả sử rằng Km, …, Km+p ≠ ∅).
Chứng minh:
a) Suy từ mệnh đề trong mục 4.1.1. Điều kiện (H4) có được nhờ vào (B3), (A4) và định nghĩa Km.
b) Xét K đ/n critM, c F. Tập K đối xứng vì M đối xứng và F chẵn. Giả sử indK ≤ p. Nếu chọn U như trong (A5) thì đặc biệt ta có indU= indK ≤ p, và do (B3), ta có:
F(u) ≥ cm − ε, u∈(M \ U) dẫn đến F(d(u, 1)) ≥ cm + ε. (4.1.7) Vì cm = cm+p nên có L∈Km+p thỏa:
inf F uu L∈ ( )≥cm− ε, hay
( ) ( ) m u d L\U,1inf F u c
∈ ≥ + ε khi L \ U ≠ ∅. (4.1.8) Từ (A3), vì L⊆ (L \ U) ∪ U nên: ind(L \ U)≥ indL− ind U ≥ m + p− p = m,
do đó, (L \ U)∈Km hay (L \ U) ≠ ∅ (do (A1)). Điều kiện (B3) và (A4) cho d(L \ U; 1)∈Km , nghĩa là:
( ) ( ) m u d L\U, 1inf F u c
∈ ≤ (do (4.1.6)) Kết quả trên mâu thuẫn với (4.1.8). Ta có đpcm.
u Ta có kết quả tương tự mệnh đề trên cho ( )
m m K u K c inf sup F ∈ ∈ =
K khi thay điều kiện (4.1.2) trong (B3) bằng (4.1.5) với c = cm.