Với α > 0 cố định cho trước, xét bài toán giá trị riêng
F/(u) = λG/(u), u∈Nα , λ∈R với Nα đ/n{u∈X: G(u) = α}. (4.2.1) với các giả thiết sau đây:
(H1) F, G: X → R (X là không gian Banach thực tách, phản xạ, dimX = +∞) là các phiếm hàm chẵn sao cho F, G∈C1(X, R) và F(0) = G(0) = 0. Vậy F/, G/ là các toán tử thế vị lẻ.
(H2) Toán tử F/ liên tục(theo chuẩn) và nếu F(u)≠ 0, u∈coNα thì F/(u) ≠ 0. (H3) Toán tử G/ liên tục đều trên các tập bị chặn và thỏa (S)1, nghĩa
là: un yếu u; G/(un)→ v dẫn đến un→ u khi n→ ∞. (H4) Tập hợp mức Nα bị chặn.Và nếu u ≠ 0 thì
〈G/(u), u〉 > 0, tlim G tu→+∞ ( )= +∞, /( )
u Ninf G u , u 0
α
∈ > .
Nhận xét:
a) F liên tục (theo chuẩn). Hơn nữa; F, F/ và G/ bị chặn và liên tục đều trên các tập bị chặn.
b) Tính bị chặn của Nα sẽ có nếu ta giả thiết G(u)→ +∞ khi u → +∞. c) Từ (H4) suy ra 0∉Nα.
d) Từ (H2) suy ra mỗi vectơ riêng u của (4.2.1) thỏa F(u) ≠ 0 tương ứng với một giá trị riêng λ ≠ 0.
e) Từ (H4) suy ra G/(u) ≠ 0 trên Nα. Do đó, G là 1 phép nhúng,∀u∈Nα. f) Ta có kết quả sau:
u là nghiệm của (4.2.1) ⇔ u là điểm tới hạn của F đối với Nα. g) Ta xây dựng các giá trị sau đây:
u K( ( )) K m sup inf F u c 0 khi ∈ ± ∈ ± ± ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ± ± = ∅ = đ/n m m K K khi m = 1, 2, 3…… (4.2.2) trong đó ta định nghĩa m±
K = {K⊆Nα/Κ đối xứng, compact, genK≥ m, ± F(u)> 0 trên K} và sup m / c{ m 0} 0 0 ± ⎧⎪ ± ⎨ ⎪⎩ ± > χ = = đ/n 1 nếu c .
Thí dụ: Các giả thiết (H1)−(H4) được thỏa trong trường hợp có các điều kiện sau đây:
i) X là không gian Hilbert tách với dimX = +∞. Ta đồng nhất X với X∗. ii)A: X → X là một toán tử tuyến tính, compact và đối xứng.
Ta đặt F(u) = 2−1(Au/u) và G(u) = 2−1(u/u). Vậy F/ = A, G/ = I, Nα là mặt cầu.
Khi đó (4.2.1) thành Au = λu, λ∈R với điều kiện G(u)=α, nghĩa là u∈Nα.
Định lý:
(1) Sự tồn tại của giá trị riêng: Nếu ± cm±>0 ( + hoặc − ) thì (4.2.1)
sẽ có cặp vectơ riêng (um±; u− m±) ứng với giá trị riêng λm± ≠0
và F(um±)=cm±.
Nếu F/ và G/ thuần nhất dương (Nghĩa là F/(tu) = t.F/(u) và G/(tu) = t.G/(u), ∀u∈X,∀t > 0) thì cm± = λa. m±.
(2) Sự vô hạn: (4.2.1) có ít nhất (χ+ + χ− ) cặp vectơ riêng (u; −u) với các giá trị riêng khác không.
Nếu ± cm±= ± cm 1+ ± = ……… = ± cm p+ ± > 0 với p ≥ 1(+ hoặc −) thì tập hợp
tất cả các vectơ riêng của (4.2.1) thỏa F(u) = cm± sẽ có số đặc trưng ≥ p + 1. Đặc biệt, đây là 1 tập hợp vô hạn.
(3) Các giá trị tới hạn: ±∞≥ ± c1±≥ ± c2±≥ …≥ 0 và cm±→ 0 khi m → ∞.
(4) Các giá trị riêng nhiều vô hạn: Nếu χ+ = ∞ hoặc χ− = ∞ và
( F(u) = 0, u∈coNα dẫn đến 〈F/(u),u〉 = 0 ) thì sẽ có dãy vô hạn (λm) các giá trị riêng phân biệt của (4.2.1) sao cho λm→ 0 khi m →∞. (5) Các vectơ riêng hội tụ yếu: Giả sử (F(u) = 0, u∈coNα dẫn đến u =0).
Khi đó max(χ+ , χ− ) = ∞ và sẽ có 1 dãy các nghiệm riêng (um, λm) sao cho um→ 0, λm→ 0 khi m →∞ và λm≠ 0, ∀m.
Ta lần lượt giải quyết các bước sau đây:
Bước 1: Xây dựng ánh xạ đối ngẫu J. Theo định lý Kadec−Troyanski, mọi không gian Banach phản xạ X đều có một chuẩn tương đương sao cho X và X∗ là lồi đều địa phương.
Vì chứng minh sẽ không đổi trên các chuẩn tương đương, nên ta có thể giả sử từ đầu X & X∗ là lồi đều địa phương.
Vì X∗∗ = X nên sẽ có 1 ánh xạ lẻ liên tục J: X∗→ X sao cho: 2
w, Jw = w ; Jw = w , w∀ ∈X * (4.2.3) J chính là ánh xạ đối ngẫu của X∗vào X∗∗.
Bước 2: Nghiên cứu mặt mức Nα với α > 0 cố định cho trước.
1) Tồn tại các số 0 < Ro < R1 sao cho 0 < Ro ≤ v ≤ R1 ; ∀v∈Nα.
2) Với mỗi u ≠ 0 trong X, tồn tại duy nhất r(u)> 0 sao cho G(r(u)u) = α. Do đó, r(u) = 1 trên Nα. 3) Ánh xạ r: X\{0}→ R chẵn và F− khả vi liên tục; ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ( ) ) / / / r u r u G r u u u 0 G r u u ;r u u − = ∀ ≠ (4.2.4)
(Vì r(u)∈Nα , ∀u≠0 & (H4) thỏa nên mẫu số ≠ 0 ).
4) r, r/ liên tục đều và bị chặn trên các tập bị chặn bên ngoài lân cận 0. 5) Ánh xạ xuyên tâm u → r(u).u từ mặt cầu đơn vị S lên Nα là một phép đồng phôi lẻ.
Chứng minh:
1) Do (H4), Nα bị chặn. Từ đó ta có sự tồn tại của R1.
Mặt khác, phiếm hàm G liên tục tại điểm 0 và G(0) = 0 nên suy ra sự tồn tại của Ro.
2) Đặt ϕ(t, u)đ/n= G(tu). Do (H4) ta có ( ) /( )
t t, u G tu , u 0
ϕ = > với u ≠ 0, t >0.
khi t → + ∞ và u ≠ 0. Điều này dẫn đến phương trình G(tu) = α có nghiệm duy nhất t = r(u) > 0 với u ≠ 0.
3) Do các kết quả chương 2, ta có ϕ khả vi liên tục.
Ngoài ra, do ϕ(r(u), u)= α và ϕt( )t, u >0 với u ≠ 0 nên theo định lý hàm ẩn, r khả vi liên tục trên X \ {0} và ( ) ( )/ ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) / / / 0=G r u u = G r u u ;u r u +r u G r u u . Từ đó suy ra (4.2.4). Mà G chẵn nên r cũng chẵn.
4) Từ 1) suy ra r bị chặn trên các tập hợp bị chặn bên ngoài lân cận 0. Do (4.2.4), (H3), (H4) dẫn đến r/ cũng có tính chất trên.
Lấy ρ > 0 cố định. Với mọi u, v∈X sao cho u , v > ρ u− ≤v ρ 2
, ;
theo định lý giá trị trung bình, sẽ có μ∈(0, 1) sao cho:
( ) ( ) ( ( ))
r u −r v ≤ r/ u+ μ −v u , v u− ≤ r/(u+ μ −(v u)) . v−u
Vì u+ (v u− ) ≥ρ 2
μ nên ta sẽ có r liên tục đều trên các tập bị chặn có dạng {u∈X: u >ρ}.
Do (4.2.4), (H3), (H4) dẫn đến r/ cũng có tính chất trên. 5) Xét ánh xạ ngược 1
v v − v từ Nα vào S , ta có đpcm.
Bước 3: Xây dựng phép biến dạng L − S trên Nα .
Tồn tại ánh xạ liên tục d: Nαx [0, 1]→ Nα và số τ1>0 sao cho: F(d(u, 1)) ≥ F(u) + τ1. 2
Hơn nữa, d(u, 0) = u trên Nα và d lẻ theo u.
Chứng minh:
Với mỗi u∈Nα , ta đặt:
( ) ( ) ( ) / / Duđ/n= F u − λ u G u , ( ) ( ) / / F u ;u (u) , G u ;u λ đ/n= ( ) ( ) / / . G u ;JDu Eu JDu u G u ;u = − đ/n
Từ (4.2.4), các đẳng thức sau thỏa trên Nα:
( )
/
Du, u = G u , Eu =0, r u , Eu/( ) =0,
( ) 2
/
F u , Eu = Du, Eu = Du, JDu = Du .
Các toán tử D, E: Nα→X liên tục và bị chặn. Theo 1) trong bước 2, sẽ tồn tại τo>0 sao cho:
u Ninf u Eu 0 , o, o . α
∈ + τ > ∀τ∈ −τ τ⎡⎣ ⎤⎦ Bây giờ, xem các định nghĩa quan trọng sau đây:
( ) ( )( ) g u,τ =đ/nr u+ τEu u+ τEu , ( )u, F g u,( ( )), ψ τ =đ/n τ ( ) ( o ) o o . d u,τ = ψđ/n u,τ t u∀ ∈N , α τ∈ −τ τ⎡⎣ , ⎤⎦, t∈⎣⎡0, 1⎦⎤
• Trước tiên, ta thấy g là một ánh xạ từ Nα x [−τo, τo] vào Nα và:
( ) /( ) ( ) ( )
g u,τ τ = r u+ τEu , Eu u+ τEu +r u+ τEu Eu, g(u, 0) = u , gτ(u, 0) = Eu,
( )u, F g u,/( ( )),g ( )u, , τ τ ψ τ = τ τ ( )u,0 F u ,( ) ψ = ( ) /( ) 2 u,0 F u , Eu Du τ ψ = = . • Theo bước 2, ta có: i) g, gτ bị chặn.
ii) F, F/ bị chặn & liên tục đều trên các tập bị chặn. iii) Các ánh xạ τ → ψ(u, τ) và τ → ψτ(u, τ) liên tục đồng bậc trên [−τo, τo], ∀u∈Nα.
Vậy với τo đủ nhỏ, theo định lý giá trị trung bình:
( o) ( ) o ( ) 1 u, u,0 u,0 u N 2 τ α ψ τ ≥ ψ + τ ψ ∀ ∈ . Suy ra kết quả (4.2.5). Hệ quả 4.2.1:
Với các giả thiết (H1) − (H4) ta có 2 kết quả sau đây:
1) Nếu X1là không gian con tuyến tính của X sao cho ± F > 0 trên Nα∩X1 ( + hoặc −) thì χ >± dim X1.
2) Nếu ± F > 0 trên Nα( + hoặc −) thì χ = ∞± .
Chứng minh:
1) Đặt K đ/n Nα∩X1. Theo bước 2, K đồng phôi với mặt cầu đơn vị S trong X1. Vì phép đồng phôi này là ánh xạ lẻ nên theo hệ quả trong mục 4.1.3, ta có genK = dimX1.
Do ± F > 0 trên K nên ±cm± >0. Suy ra đpcm. 3) Áp dụng 1) với X1 = X và chú ý rằng dimX = +∞.
Hệ quả 4.2.2:
Nếu F(u) ≥ c −ε, u∈(Nα \ U) thì F(d(u, 1)) ≥ c + ε.
Chứng minh:
* Việc chứng minh trong bước 4 cho thấy, với mỗi c ≠ 0, F thỏa điều kiện (PS)c đối với Nα. Hơn nữa, sẽ có hằng số c1>0 sao cho:
( ) ( 1) ( )
TF u ≤ Du ≤ +1 c TF u trên Nα .
* Điều ta cần chứng minh được suy trực tiếp từ (4.2.5) và mệnh đề trong mục 4.1.4.
Bước 4: Điều kiện (PS)c.
Với mỗi c≠ 0, F thỏa điều kiện (PS)c đối với Nα.
Chứng minh:
(I) Sự liên hệ giữa TF(u) và Du: Với mỗi u cố định trong Nα , đặt
( ) ( / ) { /( ) } N G u đ/n= h∈X : G u , h =0 . Khi đó: Pu: X→ N(G/(u)) với ( ) ( ) / u / G u , v P v v u G u , u = − đ/n
là toán tử chiếu tuyến tính liên tục. Từ các kết quả: /( ) /( ) 1 G u , u ≥ β >0, G u ≤ γ và u ≤R ∀ ∈u Nα ta có: ( 1 ) u 1 P v ≤ + β γ1 − R v (với β, γ , R1 là các hằng số thích hợp). Từ đó: Pu ≤const ∀ ∈u N .α Ta có: TMu = N(G/(u)).
Ta có thể chứng minh Du là mở rộng của TF(u) lên X và TF u( ) ≤ Du c≤ . TF u( ) .
(II) (PS)c :
Theo (I), ta cần chứng minh: Nếu (un) là 1 dãy trong Nα thỏa Dun→ 0, F(un)→ c ≠ 0 khi n→∞ thì (un) có một dãy con hội tụ.
Thật vậy: • Dun = F/(un) −λ(un)G/(un) → 0, • ( ) ( ) ( ) / n n n / n n F u ;u u G u ;u λ = , mà (un) bị chặn nên các dãy (F/(un)), (G/(un)), λ(un) cũng bị chặn do (H4) & do nhận xét a). Vậy sẽ có dãy con (un/ ) sao cho:
/
n
u → u, λ(un/) →λo.
Nghĩa là: F/(un/)→ F/(u) và F( /)→ F(u) ( do nhận xét a) )
n
u
Vì F(u) = c ≠ 0, u∈coNα nên do (H2): F/(u) ≠ 0. Và λo≠ 0 do F/(u) −λoG/(u) = 0.
Vậy: un/→ u, G/(un/)→λo−1F/(u). Và do (S)1 trong (H3): un/→ u.
Bước 5: Xây dựng toán tử chiếu trực giao phi tuyến.
Cho X là 1 không gian Banach thực−tách−phản xạ.
Khi đó, với mỗi n∈N, tồn tại không gian con tuyến tính hữu hạn chiều Xn
của X và 1 toán tử lẻ− liên tục Pn: Xn→ X sao cho:
Nếu un yếu u thì Pnun yếu u khi n→∞ và P un ≤ u ∀u∈X, n∈N.
Hệ quả 4.2.3:
Nếu (n/ ) là 1 dãy con của dãy số tự nhiên thì từ un/ yếu u dẫn đến
/ n P / n u yếu u khi n/→∞. Chứng minh: Đặt um = un/ với m = n/
= u trong các trường hợp còn lại. Bước 6: Chứng minh định lý. Xét đại diện trường hợp “+ ”. • (1) và (2): Dùng nguyên lý mạnh Ljusternik với indKđ/n= genK. Từ đây về sau, ta sẽ dùng các giả thiết đã cho trong mục 4.1.2. Vì F bị chặn nên 0 ≤ cm+< +∞.
Áp dụng điều kiện (PS)cm+ với cm+ >0: là tập compact
m
N ,c
crit + F
α
(Theo mệnh đề trong mục 4.1.4). Phép biến dạng L−S đã được xây dựng trong Hệ quả 4.2.2. Cuối cùng, từ F(d(u, 1)) ≥ F(u) trên Nα cho ta:
“ K∈Km+ ⇒ d(K,1)∈Km+ ”. Nếu F/ và G/ là các dạng thuần nhất dương thì
( ) 1 /( ) /( ) ( ) /( )
0
F u =∫ F tu , u dt = F u , u ; G u = G u , u . Ngoài ra, từ F/(u) = λ G/(u), G(u) = α ta có λ = F(u)/ G(u) = α− 1F(u).
• (3): Để chứng minh cm+→ 0 khi m →∞, ta dùng toán tử Pn trong bước 5. (I) Với mỗi ε > 0, có δ(ε) > 0 và no(ε)∈N sao cho:
( )
(F u ≥ ε, u∈Nα)⇒( Pnou ≥ δ). Thật vậy, nếu trái lại: tồn tại εo>0 và dãy (un)⊂ Nα sao cho:
( ) 1
n o n .
F u ≥ ε uvà Pn ≤n − , ∀ ∈n N
Khi đó nếu chọn dãy con (un/) sao cho /
n u yếu u thì do hệ quả 4.2.3: / n P / n u yếu u. Vậy u = 0.
(II) Từ giả thiết K ⊆ Nαvà genK ≥ mo + 1, với o ( ), ta có:
o
n
m đ/n= dim X ε infu K∈ F u( ) < ε.
Thật vậy, nếu trái lại ta có: do (I) thì Pno( )u >0 trên K.
Mà tập hợp Pno ( )K compact và đối xứng nên theo hệ quả trong mục 4.1.3 sẽ đưa đến kết quả mâu thuẫn với genPno( )K ≤mo.
(III) Từ (II) dẫn đến ( ) o m 1 . 0 c+ , 0 ε + ≤ ≤ ε ∀ε >
Mà (cm+) giảm nên suy ra cm+→ 0 khi m→+∞. • (4): Xét χ+ = ∞. Từ (1), với mỗi m∈N, sẽ có um sao cho
F/(um)= λmG/(um) với um∈Nα , F(um) = cm+ và λm≠ 0. Vậy (um) bị chặn.
Chọn dãy con (um/) sao cho /
m
u yếu u. Vì cm+→ 0 nên F(u) = 0. Hơn nữa, u∈coNα . Vậy theo giả thiết F u , u/( ) =0. Từ đó:
( ) ( ) / / / / / / m m m / m m F u , u 0 G u , u λ = → .
• (5): Nếu F(u) = 0 và (u∈coNα dẫn đến u = 0) thì F ≠ 0 trên Nα. Tuy nhiên, vì Nα liên thông nên sẽ có F > 0 hoặc F < 0 trên Nα. Hệ quả 4.2.1 cho ta χ+ = ∞ hoặc χ− = ∞.
KẾT LUẬN
Trên đây, chúng tôi đã trình bày một trong các ứng dụng của phương pháp minimax để nghiên cứu một số lớp phương trình toán tử . Ngoài ra còn rất nhiều ứng dụng khác mà nếu có điều kiện, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và trình bày trong một dịp khác.
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
1. Dương Minh Đức (2000), Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia, Thành phố Hồ Chí Minh.
Tiếng Anh
2. Alves C.O., Berfon A.M., Goncalves J.V. (2002), “A Variational Approach to Discontinuous Problems with Critical Sobolev
Exponents”, Journal of Mathematical Analysis and Applications 265, pp. 103 −127.
3. Mawhin J., Willem M. (1989), Critical Point Theory and Hamiltonian systems, Springer Verlag, Berlin/ New York.