Định nghĩa 2.20. Một đại số (không nhất thiết kết hợp) J được gọi là một đại số Jordan nếu phép toán của nó thỏa mãn tính chất sau (Đồng nhất thức Jordan):
2 2
(xy x) x yx( ), x y, J.
Nói cách khác, nếu đặt ( , , )x y z (xy z) x yz( ) thì Đồng nhất thức Jordan tương đương với:
2
( , ,x y x )0, x y, J.
Ví dụ 2.21. Mọi đại số giao hoán với một tích kết hợp là một đại số Jordan. Một trường
hợp tầm thường khác là khi tích xy0 với mọi x y, J. Khi đó ta nói J Abel.
Thật ra đại số Jordan là kiểu đại số khá quen thuộc giống như đại số Lie. Xét đại số ( )
Mat n các ma trận vuông cấp n. Với A B, Mat n( ) ta định nghĩa tích [ , ]A B AB BA- và ( , )A B ABBA.
Khi đó Mat n( ) cùng với phép toán .,. là một đại số Lie và Mat n( ) cùng với phép toán (.,.) là một đại số Jordan.
Định nghĩa 2.22. Cho J là một đại số Jordan. Một dạng song tuyến tính B:J J
được gọi là kết hợp nếu B xy z( , )B x yz( , ), x y z, , J. Trong trường hợp nếu thêm điều kiện B song tuyến tính không suy biến thì J được gọi là một đại số Jordan giả Euclide.
Ví dụ 2.23. Xét q là một không gian vectơ trên trường và B:q q là một dạng song tuyến tính đối xứng. Định nghĩa tích trên J eq bởi
2
e e, euueu và uvB u v e( , ) , u v, q. Đồng thời ta mở rộng B lên B' trên J bởi
'( , ) 1, '( , ) '( , ) 0, ' |
B e e B eq B qe B q q B. Khi đó J cùng với B' trở thành một đại số Jordan giả Euclide.
Ở ví dụ trên nếu ta định nghĩa J khác một chút bởi J e q f với tích: 2
e e, euueu, ef fe f , uvB u v f( , ) , 2
0
26 và dạng song tuyến tính B': B'(e u ' ,f e v ' )f ' ' B u v( , ) thì J cũng trở thành một đại số Jordan giả Euclide. Ví dụ này gợi ý cho chúng ta đến những kiểu mở rộng như sau.
Định lý 2.24. Cho q,Bq là một không gian vectơ toàn phương. Ta xét không gian vectơ t 2 chiều sinh bởi cơ sở x y1, 1 với một dạng song tuyến tính đối xứng Bt được xác định bởi: B x xt 1, 1B y yt 1, 10,B x yt 1, 11. Gọi C:qq là một ánh xạ đối xứng khác 0
và xét trên không gian vectơ J q t phép toán giao hoán như sau :
1 ( ), ( ( ), ) 1
y xC x xyB C x y x và 2
1 1 0
y xJ , x q. Khi đó J trở thành một đại số Jordan giải Euclide nếu và chỉ nếu 3
0
C . Trong trường hợp này J là một đại số Jordan lũy linh có bậc k3 và ta gọi J là một mở rộng lũy linh của q bởi C.
Định lý 2.25. Giữ các giả thiết ở định lý trên và thay đổi phép toán trên J q t như sau : 2 1 1, 1 1 1, 1 ( ), ( ( ), ) 1 y y y x x y xC x xyB C x y x và 2 1 1 0 x x x , x q. Khi đó J trở thành một đại số Jordan giải Euclide nếu và chỉ nếu 2 3
3C 2C C. Trong trường hợp này ta gọi J là một mở rộng chéo hóa của q bởi C.
Định nghĩa 2.26. Một đại số J cùng với tích ( , )x y xy được gọi là đại số Jordan lũy linh bậc 2 nếu tích thỏa mãn xy yx và (xy z) 0 với mọi x y z, , J.
Phương pháp mở rộng kép vẫn tiếp tục là phương pháp hiệu quả trong mô tả cấu trúc của các đại số Jordan giả Euclide, nhất là các đại số Jordan giả Euclide lũy linh bậc 2. Vì tính chất giao hoán của phép toán trên các đại số Jordan giả Euclide nên phương pháp mở rộng kép cần phải cải tiến cho thích hợp. Điều này đã được Baklouti và Benayadi thực hiện trong bài báo [5] và họ gọi đó là Mở rộng kép được tổng quát hóa. Áp dụng phương pháp này cùng với phương pháp mở rộng T* được đưa ra trong [11] chúng tôi thu được kết quả sau:
Định lý 2.27. Cho ( , )J B là đại số Jordan giả Euclide lũy linh bậc 2. Nếu J không Abel thì J nhận được từ một đại số Abel từ một chuỗi các mở rộng kép được tổng quát hóa. Hơn nữa phân loại đúng đến đẳng cấu đẳng cự các đại số Jordan giả Euclide lũy linh bậc
27 2 rút gọn (trong trường hợp này dim J là số chẵn) tương đương với phân loại các 3- dạng đối xứng trên không gian vectơ V với 1
dim( ) dim 2
V J .