Một trong những đại số có mối quan hệ mật thiết với đại số Lie là đại số đối xứng trái. Định nghĩa của nó như sau:
Định nghĩa 2.28. Một đại số N cùng với phép toán N N N, ( , )x y xy được gọi là đại số đối xứng trái nếu phép toán thỏa mãn tính chất:
(xy z) x yz( )(yx z) y xz( ), x y z, , N (hoặc viết là ( , , )x y z ( , , )y x z , x y z, , N). Nó được gọi là đại số Novikov nếu có thêm điều kiện (xy z) (xz y) , x y z, , N. Trong trường hợp này giao hoán tử [ , ]x y xy yx- sẽ xác định cho ta một cấu trúc đại số Lie trên N, kí hiệu là g N và được gọi là cấu trúc đại số Lie liên kết với N.
Định nghĩa 2.28. Đại số Novikov N được gọi là đối xứng nếu N được trang bị một dạng song tuyến tính đối xứng kết hợp không suy biến.
Benayadi và Ayadi chứng minh trong [2] rằng, đối với một đại số Novikov đối xứng
g N là một đại số Lie toàn phương lũy linh bậc 2. Hơn nữa, phép toán trên N thỏa mãn tính chất kết hợp, đó là:
(xy z) x yz( ), x y z, , N. Ở đây chúng tôi chứng minh được những kết quả như sau.
Định lý 2.29. Cho N là một đại số Novikov đối xứng rút gọn. Khi đó ta có
2
3dim Ann( )N dim N dim( ) 3N .
Trong [2], mọi đại số Novikov đối xứng có số chiều 5 đều giao hoán. Nhờ kết quả trên, ta có
Định lý 2.30.
- Mọi đại số Novikov đối xứng không giao hoán 6 chiều đều lũy linh bậc 2.
- Mọi đại số Novikov đối xứng không giao hoán 7 chiều đều khả phân hoặc lũy linh bậc 3.
28 Ngoài ra ví dụ về những đại số Novikov đối xứng không giao hoán giải được không lũy linh hoặc không giải được sẽ bắt đầu ở 8 chiều.
Kết quả cuối cùng chúng tôi muốn đề cập đối với đại số Novikov đối xứng như sau.
Định lý 2.31. Cho N là một đại số Novikov đối xứng. Kí hiệu g N và J N lần lược là đại số Lie và đại số Jordan liên kết với N. Khi đó nếu g N hoặc J N rút gọn thì N rút gọn.
29