Mục tiêu chính của phần này là chứng minh định lý 2.2.6. Vì vậy, ta luôn luôn giả sử R là vành địa phương với iđêan tối đại m, E là bao nội xạ
/ R m. Cho M là R-môđun, đặt 0 ( ) , R M =Hom M E và ( ) ( ) 1 i M i L M Ann m ∞ = =∑ . Tất
cả các tôpô điều là tôpô m-adic.
Mệnh đề 2.2.1. Cho M là môđun và các điều kiện sau là tương đương:
(i) M là coatomic. (ii) 0 M là m-nguyên sơ. (iii) 00 M là tách. Chứng minh. (i⇒ii⇒ iii) hiển nhiên.
(ii⇒i) Giả sử X là căn môđun thương của môđun M . Mà 0( ( )) ( ) 0 X Ann So X =Ra X và 0( ( )) ( ) 0 X Ann Ra X =So X .
Suy ra 0
X là đế của môđun con của 0
M . Do đó 0
0
X = suy ra X =0.
(iii⇒ ii) Chứng minh tương tự trên.
Hệ quả 2.2.2. Cho M = ⊕Mλlà môđun coatomic khi và chỉ khi tất cả Mλlà môđun coatomic và tồn tại e≥1 sao cho m Me λ =0 với mọi λ.
Chứng minh.
(⇐) Hiển nhiên.
(⇒) Giả sử M suy ra Mλlà môđun coatomic. Do đó ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại của e.
Giả sử hầu như Mλcó cấu trúc tôpô rời rạc và tồn tại λ λ1, 2,,λn sao cho Mλ
không rời rạc. Đặt ( )0 n n D = Mλ , suy ra môđun 1 n n D ∞ = ∏ là m-nguyên sơ. Khi đó, ta chọn n≥1 sao cho fn∈Dn n( )
n D
Ann m .
Suy ra f =(f f1, 2,)bị triệt tiêu bởi m nên tồn tại k
m với k ( )
k
k D
f ∈Ann m .
Suy ra tồn tại e sao cho m L Me ( )=0.
Mà Mλ ⊂L M( ) với mọi λ, ta được điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.2.3. Nếu M là môđun coatomic thì là Ass M( )hữu hạn.
Chứng minh.
Giả sử M là môđun coatomic suy ra Ass L M( ( ))có ít nhất một phần tử. Do đó M có chiều Goldie hữu hạn.
Suy ra tồn tại môđun con đối cốt yếu hữu hạn sinh A của M . Mà Ass M( )=Ass A( ) nên Ass M( )hữu hạn.
Mệnh đề 2.2.4. Cho R là vành các điều kiện sau là tương đương:
(i) Mỗi môđun thương của môđun hữu hạn chiều là môđun hữu hạn
chiều.
(ii) Mỗi môđun hữu hạn chiều là mở rộng của môđun Artin.
(iii) dim( )R ≤1.
Chứng minh.
(ii⇒i) Hiển nhiên.
(i⇒iii) Giả sử có một iđêan chính p sao cho dim(R p/ )>1. Khi đó, ta có Mcó chiều hữu hạn nhưng M =M /(R p/ )và Ass M
vô hạn.
Với mỗi iđêan chính q∈Ass M
sao cho p⊂qvà height(q/ p)=1.
Suy ra tồn tại s∈q p sao cho q=(p+( )s ):( )r và x∈M sao cho 1=sx. Suy ra sx ∈M sao choAnnR = rx q
.
(iii⇒ii) Giả sử M hữu hạn chiều.
Trường hợp 1: nếu p=m suy ra M là môđun Artin.
Trường hợp 2: nếu pmvà theo giả thiết ta có height( )p =0. Suy ra p( )n = p( )n+1 = với n≥1.
Do đó ( )n M
Ann p =M .
Suy ra môđun AnnM( )p có chiều hữu hạn.
Suy ra Nlà R p/ -môđun xoắn có bậc hữu hạng và dim(R p/ )=1 nênp=0. Giả sử N' là môđun con cốt yếu hữu hạn sinh của N .
Suy ra N N/ 'là m-nguyên sơ.
Do đó dãy ( ) 1 ( )
0→So N N/ ' →ExtR R/ ,m N' là khớp.
Suy ra So N N( / ') hữu hạn sinh nên N N/ 'là môđun Artin như yêu cầu bài toán.
Mệnh đề 2.2.5. Cho R là vành nguyên nhưng không phải là thể và M
xoắn và coatomic. Khi đó M là hữu hạn sinh.
Chứng minh.
Giả sử n=dim( )R . Trường hợp 1: nếu n=1.
Suy ra M Ra M/ ( ) hữu hạn chiều. Do đó M là hữu hạn sinh.
Trường hợp 2: nếu n>1.
Suy ra tồn tại 0≠ ∈x m và { 2 }
1, x, x ,
S= . Do dim( )R >1 nên RSvành nguyên Noether.
Suy ra MS làRS-môđun điạ phương hữu hạn sinh.
Với mỗi iđêan tối đại của RS, suy ra ( )MS là ( )RS -môđun coatomic xoắn.
Mà 1 dim≤ ( )Rp <n suy ra tồn tại iđêan p=∩R sao cho ( )RS ≅Rp. Suy ra (M U/ )S là môđun thương của MS .
Suy ra tập hợp iđêan nguyên tố liên kết là hữu hạn. Do đó MS là hữu hạn sinh nên ( ) 0
S
M A/ = với mọi môđun con hữu hạn sinh
A của M .
Với iđêan chính a=( )x thì M A/ là a-nguyên sơ. Nên tồn tại e≥1 sao cho a Me / =A 0.
Suy ra M là hữu hạn sinh.
Định lý 2.2.6. ChoR-môđun M là tương đương:
(i) M là coatomic.
(ii) Tồn tại e≥1, để M /AnnM ( )me là hữu hạn sinh. (iii) Tồn tại e≥1, để e
m M là hữu hạn sinh.
Chứng minh.
(ii⇒iii⇒i) Hiển nhiên.
(i⇒ii) Giả sử M là môđun coatomic và M ≠0. Cho bao nội xa M ⊂Itrong đó
1 k j j I I = = ⊕ là tổng trực tiếp của Ij. Với phép chiếu πj:I →Ij suy ra ( )
1 k j j M π M = ⊂ ⊕ . Do đó πj( )M là hữu hạn sinh.
Nên M là coatomic và R p/ môđun con cốt yếu Rsao cho pm. Suy ra tồn tại AnnM( )p , ( )1 ( ) ( )
/ , 1, 2,
i i
M M
Ann p+ Ann p i= là môđun coatomic xoắn trên vành số nguyên .
NênAnnM( )p , ( )1 ( ) ( )
/ , 1, 2,
i i
M M
Ann p+ Ann p i= hữu hạn sinh. Suy ra ( )i ,( 1, 2, )
M
Ann p i= là R-môđun hữu hạn sinh. Do đó M là p-nguyên sơ.
Suy ra tồn tại e≥1 sao cho ( )e M
Ann p =M .
Hệ quả 2.2.7 (Artin-Rees). Cho M là môđun coatomic, U là môđun con
của M và a là iđêan, khi đó tồn tại r≥1 sao cho n n r( r )
U∩a M =a − U∩a M với
mọi n r> .
Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: nếu a=R thì hiển nhiên.
Trường hợp 2: nếu aR suy ra tồn tại e≥1 sao cho e
a M hữu hạn sinh. Suy ra tồn tại f ≥1sao cho f e
U∩a M ⊂a U.
Ta có a Ue ⊂a Me .
Nên tồn tại r' 1≥ sao cho e i e i r'( e r' e)
a U∩a+ M =a− a U∩a + M với mọi i>r'. Suy ra tồn tại r' đủ lớn để r'+ ≥e f .
Đặt r= +r' e, ta được điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.2.8. Cho M là coatomic, và M^ và R^ là đầy đủ với tôpô m-adic.
Khi đó ^ M là R^ -môđun coatomic và ánh xạ chính tắc M : ^ ^ R R M M ω ⊗ → là song ánh. Chứng minh.
Đặt L=L M( ). Khi đó, ta có sơ đồ sau giao hoán
/ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 0 / 0 0 / 0 M L L M R R R i R L R M R M L L M M L ω ω ω ν → ⊗ → ⊗ → ⊗ → ↓ ↓ ↓ → → → → Ta có dòng trên cùng là khớp.
Ta có M L/ là hữu hạn sinh, cả hai ωLvà ωM L/ song ánh.
Vì L đóng đại số trong M , và ν^ là toàn ánh và ^ ( )
er M K ν ϕ= L , trong đó ^ : M M M ϕ → là phép nhúng.
Suy ra L,M có cấu trúc tôpô và ^i là đơn ánh nên ^ ( )
Imi=ϕM L
Vì ωM là song ánh nên dòng cuối là khớp. Suy ra L^ là R^ -môđun rời rạc và ^
/
Suy ra M^ là coatomic.
Hệ quả 2.2.9. Nếu M và N là coatomic thì Tor (iR M N, )và Ex (t M NRi , )là R-
môđun coatomic với mọi i≥0.
Chứng minh.
Cho dãy khớp
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
or (iR / L , L ) or (iR / L , ) or (iR / L , / L )
T M M N →T M M N →T M M N N
trong đó phần tử thứ nhất là rời rạc và thứ ba hữu hạn sinh. Suy ra Tor (iR M / L( )M ,N) là coatomic.
Trong dãy khớp Tor (LiR ( )M ,N)→Tor (iR M N, )→Tor (iR M / L( )M ,N) trong đó phần tử đầu tiên là rời rạc.
Suy ra Tor (iR M N, ) là R-môđun coatomic với mọi i≥0.
Tương tự, ta suy ra Ex (t M N RiR , ) -môđun coatomic với mọi i≥0.
Định nghĩa 2.2.10. R-môđun M được gọi là nửa Artin nếu và chỉ nếu
( )
L M =M.
Nhận xét 2.2.11.
(i) Với R-môđun M , ta có L M( )= ⊕Lm( )M , trong đó mlà iđêan tối đại của
R và ( ) ( ) 1 i m M i L M Ann m ∞ = =∑ .
(ii) Nếu R-môđun M là nửa Artin tương đương đương tất cả phần tử của
( )
Ass M đều là iđêan tối đại.
Mệnh đề 2.2.12 .
(i) Nếu ⊕Mλ là môđun coatomic với mọi λthì Mλcoatomic và với mỗi iđêan tối đại m tồn tại e≥1 sao cho m Me λ =m Me+1 λ với mọi λ.
(ii) Cho M và N là môđun coatomic, thì ToriR(M N, ) môđun coatomic với
1
i≥ . Hơn nửa, nếu Mlà hữu hạn sinh và N là môđun coatomic thì
( )
Chứng minh.
(i) Không mất tính tổng quát ta giả sử M( ) là môđun coatomic suy ra
M là nửa Artin.
Suy ra tồn tại pm sao chop∈Ass M( ). Do đó m Me =me+1M.
Màp∉Ass M m M( / e )nên p∈Ass m M( e )
Suy ra R p/ là m-chia nên Mmôđun coatomic. (ii) Hiển nhiên.
Mệnh đề 2.2.13. Cho m là iđêan tối đại của R. Khi đó Mm là Rm-môđun
coatomic nếu tồn tại môđun con coatomic Acủa Msao cho ( / ) 0
m
M A = .
Chứng minh.
Giả sử tồn tại môđun con coatomicA của M sao cho ( / ) 0
m
M A = . Suy ra tồn tại môđun con U của M và tồn tại e≥1 sao cho Umtriệt tiêu bởi
( )e m
mR và ( / )
m
M U là hữu hạn sinh.
Chọn môđun con tối đại A1 của U sao cho A1∩m Ue =0. Suy ra m Ae 1 =0 và ( / 1) 0
m
U A = .
Chọn môđun con hữu hạn sinh A2của M sao cho ( / A2 ) 0
m
M +U = . Chọn A= +A1 A2, ta được điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.2.14. Cho T là vành Noether giao hoán, đồng cấu vành R→T.
Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:
(i) Nếu M là R-môđun coatomic thì
R
T⊗Mlà T- môđun coatomic.
(ii) Nếu m là iđêan tối đại của Rthì vành T mT/ là Artin.
Chứng minh.
Suy ra R m/ ( ) là R-môđun nửa đơn trong T-môđun coatomic T mT/ ( ) . Do đó T mT/ là T-môđun nửa Artin.
Nên T mT/ có chiều dài hữu hạn suy ra vành T mT/ là Artin.
(ii⇒i) Giả sử M là môđun coatomic. Khi đó, ta có M L M/ ( ) là
( )
/
R
T⊗M L M điạ phương hữu hạn sinh suy ra M = ⊕Lm( )M .
Mà
R
T⊗Mlà T- môđun nửa Artin.
Suy ra với mỗi iđêan của T thì L(T⊗R M) là T- môđun coatomic. Trường hợp 1: nếu ∩R không là iđêan cực đại của R.
Khi đó, với mọi iđêan tối đại mcủaR sao cho mT ⊄ suy ra
( ) ( ) As T m R s T L M ∈ ⊗ . Suy ra ( ) 0 R L T⊗M = .
Trường hợp 2: nếu ∩R là iđêan cực đại của R, giống như m. Khi đó, ta có ( ) ( m( ))
R R
L T⊗M ≅L T⊗L M và Lm( )M bị triệt tiêu bới m ee( ≥1). Suy ra m( )
R
T⊗L M là môđun trên vành Artin T/(mT)e nên nó là coatomic.
Hệ quả 2.2.15. Cho M là coatomic, a là iđêan của R và M là tôpô a-
adic tách, và M^ là đầy đủ. Khi đó, ta có các khẳng định sau
(i) Ánh xạ chính tắc ^ ^ : M R R M M ω ⊗ → là đơn ánh.
(ii) Nếu ωMlà toàn ánh thì M^ là R^ -môđun coatomic.
Chứng minh.
(i) Giả sử tồn tại môđun con hữu hạn sinh U của M sao cho
( ) 0,
M ai xi xi U
Suy ra U : ^ ^
R
R U U
ω ⊗ → đơn ánh.
Mà ^i U: ^ →M^ và U có cấu trúc tôpô của M. Suy ra ∑ai⊗ =xi 0 trong ^ R R⊗U. Nên M : ^ ^ R R M M ω ⊗ → là đơn ánh. (ii) Giả sử đồng cấu vành ^ R→R.
Suy ra ImωM là R^ - môđun coatomic.
Ta có ImωM +a R M^ ^ =M^ và a R^ iđêan tối đại của R^ . Nên
^ ^
ImωM +Ra M =M
.
Suy ra M^ là môđun coatomic.