Định nghĩa 2.3.1. Vành Rđược gọi là K-vành nếu tất cả các môđun con là môđun đối cốt yếu ( nhỏ) coacomic.
Để mô tả K-vành, đầu tiên chúng ta thấy sự bảo toàn “nhỏ” trong địa phương hóa bởi một iđêan tối đại như sau
Mệnh đề 2.3.2. Nếu U là đối cốt yếu trong M và ( ) 0
m
M U = thì Mm =0
với mọi iđêan tối đại m của R.
Chứng minh.
Thật vậy, nếu Elà bao nội xạ của R m và lấy bất kì f ∈HomR(M E, ). Suy ra ( ( ) ( )) 0
m
f M f U =
Do đó f M( ) ( )f U là m- nguyên sơ nên f U( )= f M( ). Vì U là đối cốt yếu trong M suy ra f =0.
Suy ra HomR(M E, )=0nên Mm =0 với mọi iđêan tối đại mcủa R.
Mệnh đề 2.3.3. Cho U là môđun con của M . Khi đó, nếu U là đối cốt yếu trong M thì Um là đối cốt yếu trong Mmvới mọi iđêan tối đại mcủa R.
Chứng minh.
Giả sử U là môđun con của M và H V+ m=Mm sao cho H =Vm. Suy ra (M V +U)m =0 và (V+U V) là đối cốt yếu trong M V .
Do đó (M V)m =0 nên H =Mm. Suy ra Um là đối cốt yếu trong Mm.
Hệ quả 2.3.4. Nếu U là môđun con đối cốt yếu và nửa Aritn của M , Slà tập đóng nhân trong R thì US là nhỏ trong MS.
Chứng minh.
Giả sử(M U)S =0và cần chứng minhMS =0. Giả sử ngược lại MS ≠0.
Do đó, tồn tại x∈U sao cho AnnR( )x ∩ = ∅S và một iđêan nguyên tố psao cho
( ) ,
R
Ann x ⊂ p p∩ = ∅S .
Theo giả thiết về U nên p là iđêan tối đại. Suy ra ( ) 0
p
M U =
Do đóMp =0 mâu thuẩn với 0
1 p
x M
≠ ∈ . Ta được điều phải chứng minh.
Định nghĩa 2.3.5. Cho R-môđun M được gọi là rút gọn yếu nếu có căn môđun con đối cốt yếu của M là bằng không.
Định lý 2.3.6.
(ii) Vành địa phương của Rlà K-vành nếu và chỉ nếu ^
R là đầy đủ.
(iii) ChoRlà vành địa phương và đầy đủ. Khi đó, Rlà K-vành nếu
( )
dim R ≤1và căn 0 của Rcó chiều dài hữu hạn.
Chứng minh.
(i) “⇐” Giả sử Rmlà K-vành và U là môđun con đối cốt yếu của M . Suy ra tất cả Um là môđun coatomic.
Suy ra U là môđun coatomic.
“⇒” Giả sử Rlà K-vành và mlà iđêan tối đại của R, E là bao nội xạ của
R m. Khi đó ta có ánh xạ , ' m R E E r x rx s × → sao cho x=sx'. Suy ra E là Rm-môđun con liên kết.
Do đó E là Rm-môđun rút gọn yếu. Suy ra Rmlà K-vành.
(ii) Cho vành địa phương (R m, )và E là bao nội xạ của R m.
Suy ra tồn tại { } ( ) ^ , n e R E E r x r x × → sao cho 1 n n n r+ − ∈r m với n≥1và ( )e E x∈Ann m .
Suy ra R-môđun E và R^ -môđun với môđun con liên kết. Do đó ^
R có cấu trúc đầy đủ, ta được điều phải chứng minh.
(iii) Cho vành địa phương Rvà đầy đủ, E là bao nội xạ của R. Suy ra E rút gọn yếu nên Rlà K-vành.
Suy ra iđêan nguyên tố cốt yếu và iđêan tối đại là như nhau. Khi đó, ta cóp1 p2 m là không thể (vì p2cốt yếu trong R).
Vì dim( )R ≤1 và p∈Ass N( )là cốt yếu trong Rnên p=m.
Suy ra căn 0của N là nửa Artin. Ta được điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.3.7. Nếu R là K-vành và Slà tập nhân con đóng đại số trong R
thì RS là K-vành.
Chứng minh.
Với mỗi iđêan tối đại của vành RS, ta có ( )RS ≅Rp với p=∩R, là một K-vành.
Trường hợp plà iđêan tối đại của R, thì suy ra Rp là một K-vành.
Trường hợp plà không là iđêan tối đại của R, vì dim( )R ≤1 iđêan nguyên tố
p tối tiểu nên RSlà Artin.
Mệnh đề 2.3.8. Cho dim( )R =1 và {p1,,pk}tập hợp cái iđêan nguyên tố,
không phải iđêan tối đại và
1 k i i S R p =
= . Khi đó, các điều kiện sau là tương
đương:
(i) Các căn 0 của N của R có chiều dài hữu hạn.
(ii) Mỗi iđêan nguyên tố cốt yếu là iđêan tối đại.
(iii) RSlà vành nửa đơn.
(iv) RSlà môđun rút gọn yếu.
Chứng minh.
(i) ⇔(ii) Hiển nhiên.
(i⇒iii) Từ RSlà Artin suy ra N là nửa Artin nên NS =0. Do đó RS là vành nửa đơn.
(iii⇒iv) Giả sử N làR-môđun đối cốt yếu của RS và U =rad(N). Suy ra ⊕ =U RS, với là iđêan của RS.
Do đó U =0 nên RSlà môđun rút gọn yếu. (iv⇒i) Giả sử r∈N. Khi đó, ta có 1 S r R ⊂
là một R-môđun con đối cốt yếu.
Suy ra tồn tại V sao cho
1 S r V + =R . Do đó 2 1 S r V R + = và 3 1 S r V R + = nên V =RS.
Theo giả thiết, suy ra 0 1
r
=
nên sr=0suy ra s∈S, ta được điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.3.9. Nếu Rlà K-vành và U là môđun con cốt yếu của M thì
M U là nửa Artin.
Chứng minh.
Giả sử dim( )R ≤1và U là môđun con cốt yếu của M . Suy ra U ⊂M và p∈Ass M U( ).
Suy ra p= AnnR( )x với x∈M . Nên h R: →M sao cho h( )1 =x. Suy ra 1( )
p=h− U là cốt yếu trong R, ta được điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.3.10. Nếu Rlà K-vành và Mlà môđun coatomic thì tồn tại một
môđun hữu hạn sinh U của sao choM U là nửa Artin.
Chứng minh.
Giả sử V là một phần tử tối đại trong tập hợp đế của môđun con của M . DoL M( )là cốt yêu nênM V là nửa Artin.
Vì dim( )R ≤1và V có chiều Goldie hữu hạn. Suy ra tồn tại môđun con lớn hữu hạn sinh U . Khi đó, V U là nửa Artin, suy ra M U là nửa Artin.
KẾT LUẬN
Luận văn đạt được một số kết quả như sau:
1. Trình bày một cách hệ thống các khái niệm và chứng minh một số tính chất cơ bản của môđun coatomic và cấu trúc đại số của môđun coatomic. Mối quan hệ giữa môđun coatomic và dãy khớp ngắn, cũng như môđun con đối cốt yếu. Bên cạnh đó đưa ra các ví dụ minh họa cụ thể như sau:
+ Ví dụ về môđun coatomic và môđun không phải môđun coatomic. + Ví dụ hợp hai môđun coatomic chưa hẳn là môđun coatomic.
2. Trình bày một vài ví dụ làm rỏ mối tương quan giữa các lớp môđun Noether, môđun hữu hạn sinh và môđun coatomic.
3. Trình bày một cách hệ thống các khái niệm và chứng minh một số tính chất cơ bản của môđun trên một vành địa phương hóa.
4. Trình bày chi tiết và chứng minh về khái niệm và chứng minh một số tính chất cơ bản về môđun đối cốt yếu coatomic.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Nguyễn Viết Đông , Trần Huyên (2006), Đại số Đồng Điều, Nxd Đại Học Quốc Gia, Hồ Chí Minh.
2. Mỵ Vinh Quang (1998), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục.
3. Nguyễn Xuân Tuyến, Lê Văn Thuyết (2006), Đại số đồng điều, Nxd Giáo dục.
4. Dương Quốc Việt (2008), Lý thuyết chiều, Nxd Đại Học Sư Phạm.
Tiếng Anh
5. Atiyah M.F., Macdonald I.G. (1956), Introduction to Commutative
Algebra, Addison – Wesley.
6. Kaplansky I. (1970),Commutative rings, Boston. 7. Matlis F. (1977),Moduln und Ringe, Teubner.
Tiếng Đức
8. Güngöroğlu, G. and Harmanci (1999), “ Coatomic Modules over Dedekind Domains”, Hacettepe Bulletin of Natural Sciences 28, pp.25-29.
9. Zöschinger H. (1980), “Koatomare Moduln”, Mathematische Zeitschrift 170, pp.221-232.