Biểu diễn yij, i đỉnh (i = 1,2, ..., N) nên đƣợc chia thành các nhóm tập hợp đỉnh j (j = 1,2, trong đó hai bộ đỉnh đƣợc miêu tả khác nhau). Ví dụ, trạng thái (yi1 = 1, yi2 = 0) chỉ ra rằng đỉnh i là đỉnh đầu tiên chia thành các nhóm thiết lập. Các trạng thái sau đây (yi1 = yi2 = 0) và (yi1 = yi2 =1) biểu hiện không có phân vùng, và hai phân vùng tách biệt. Những phân vùng vi phạm điều kiện có thể đƣợc thể hiện bởi:
1 2 3 5 4 1 2 3 5 4
Hình 3.1 (a ) Một đồ thị vô hƣớng đơn giản bao gồm 5 đỉnh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 𝑦𝑖𝑗 2 𝑗 =1 − 1 2 𝑁 𝑖=1 = 0 (3.13)
Tình trạng cắt giảm tối đa đƣợc thể hiện bởi:
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒 𝑑𝑖𝑘𝑦𝑖𝑗𝑦𝑘𝑗 2 𝑗 =1 𝑁 𝑘≠𝑖 𝑁 𝑖=1 (3.14)
Trong đó dik là trọng số của cạnh có đỉnh đầu là đỉnh i và đỉnh cuối là đỉnh k, và là ma trận đối xứng.
Khi chúng ta tuân theo quy trình ánh xạ của Hopfield và Tank[5], chức năng năng lƣợng cho vấn đề cắt giảm tối đa đƣợc cho bởi:
𝑒 = 𝐴 2 𝑦𝑖𝑗 − 1 2 𝑗=1 2 𝑁 𝑖=1 + 𝐵 2 𝑑𝑖𝑘𝑦𝑖𝑗𝑦𝑘𝑗 2 𝑗 =1 𝑁 𝑘≠𝑖 𝑁 𝑖=1 (3.15)
Tuy nhiên, các thông số A và B phải đƣợc điều chỉnh và một giải pháp hợp lệ có thể không phải luôn luôn đƣợc đảm bảo [5][17]. Vấn đề cắt giảm tối đa N đỉnh có thể đƣợc ánh xạ vào Maximum neural network (MNN ) với 2xN nơ ron, trong đó nó bao gồm N cụm của hai nơ ron. Các nơ ron thứ j trong cụm thứ i có đầu vào là xij và đầu ra là yij với (i=1,2, ..., N, j=1,2 ). Chức năng năng lƣợng, có thể đảm bảo giải pháp hợp lệ và tránh vấn đề tham số tunning cho vấn đề cắt giảm tối đa, đƣợc cho bởi:
𝑒 = 𝐵 2 𝑑𝑖𝑘𝑦𝑖𝑗𝑦𝑘𝑗 2 𝑗 =1 𝑁 𝑘≠𝑖 𝑁 𝑖=1 (3.16)
Phƣơng trình động học (cho C=1 ) của nơ ron thứ j trong cụm thứ i mà không có giới hạn phân rã đƣợc cho bởi:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 𝑑𝑥𝑖𝑗 𝑑𝑡 = − 𝜕𝑒 𝜕𝑦𝑖𝑗 = − 𝑑𝑖𝑘𝑦𝑘𝑗 𝑁 𝑘≠𝑖 (3.17)
Tuy nhiên, trong thực tế, chúng đƣợc xấp xỉ bởi phƣơng pháp Euler cấp một trong dạng
∆𝑥𝑖𝑗 = − 𝑑𝑖𝑘𝑦𝑘𝑗
𝑁 𝑘≠𝑖
(3.18)
Nhƣ vậy, đầu vào 𝑥𝑖𝑗 cho mỗi nơ ron của mạng MNN đƣợc cập nhật dựa trên phƣơng pháp Euler cấp 1
𝑥𝑖𝑗(𝑡 + 1) = 𝑥𝑖𝑗(𝑡) + ∆𝑥𝑖𝑗(𝑡) (3.19)
cho đến khi mạng đạt đến trạng thái cân bằng, và hàm đầu vào/đầu ra của nơ ron thứ j trong nhóm i đƣợc cho bởi:
𝑦𝑖𝑗 = 1 𝑛ế𝑢 𝑥𝑖𝑗 = 𝑚𝑎𝑥 𝑥𝑖1, 𝑥𝑖2
0 𝑛ế𝑢 𝑘á𝑐 (3.20)
Hàm 𝑚𝑎𝑥 trả về đối số với giá trị tối đa.
Ở đây, chúng ta đề xuất một thuật toán song song mới bằng cách thêm một tự phản hồi phi tuyến vào mạng MNN, nhƣ đƣợc xác định nhƣ sau:
𝑥𝑖𝑗(𝑡 + 1) = 𝑥𝑖𝑗(𝑡) + 𝛼∆𝑥𝑖𝑗(𝑡) − 𝑧(𝑡) 𝑦𝑖𝑗 (𝑡) − 1
2 (3.21)
Và
𝑧(𝑡 + 1) = (1 − 𝛽)𝑧(𝑡) (3.22)
Trong đó,
𝛼 là tham số dương tỷ lệ với đầu vào.
𝑧(𝑡) là trọng số kết nối tự phản hồi (𝑧(𝑡) ≥ 0). Cùng một z(t) đƣợc sử dụng cho tất cả các nơ ron ở thời điểm t trong quá trình cập nhật.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Công thức (3.21) là tƣơng tự với những công bố toán học đƣợc sử dụng trong tài liệu tham khảo [10], nhƣng công thức (3.21) sử dụng mô hình nơ ron tối đa và không có hạn phân rã. Trong thuật toán đề xuất, việc cập nhật đầu vào 𝑥𝑖𝑗 của mỗi nơ ron có liên quan đến đầu ra 𝑦𝑖𝑗 của chính nó. Cơ cấu của MNN với tự phản hồi phi tuyến đƣợc hiển thị trong hình (3.2). Trong hình này, các mối liên kết giữa các nơ ron đƣợc cho bởi phƣơng trình động học(3.17) đƣợc biểu thị bằng các vòng tròn màu trắng, và các kết nối tự phản hồi đƣợc ghi nhận của các vòng tròn màu đen. Thành phần tự phản hồi
− 𝑧(𝑡) 𝑦𝑖𝑗 (𝑡) − 1
2 , trở thành âm sau khi nơ ron 𝑥𝑖𝑗 kích hoạt tại thời điểm t ( nghĩa là 𝑦𝑖𝑗 (𝑡) = 1). Tự phản hồi âm ngăn chặn sự gia tăng giá trị đầu vào của các nơ ron trong thời gian tiếp theo ( t+1). Mặt khác, thành phần tự phản hồi trở thành dƣơng nếu nơ ron xij không cháy (không kích hoạt) tại thời điểm t (nghĩa là 𝑦𝑖𝑗 (𝑡) = 0). Tự phản hồi dƣơng tạo nên sự gia tăng đầu vào các nơ ron tại thời điểm tiếp theo, (t+1).
Vì vậy, có thể nói rằng thuật toán đề xuất bao gồm các hiệu ứng bị kích thích, mà là một trong những đặc tính của các nơ ron sinh học [11]. Trong mô hình nơ ron tối đa nhƣ mô tả ở công thức (3.20), các giá trị đầu vào của hai nơ ron trong cùng một nhóm, ví dụ, x21 và x22 trong cùng nhóm 2 nhƣ trong hình 3.2, đƣợc so sánh với nhau để chọn ra một nơ ron tối đa. Nói cách khác, các nơ ron trong cùng một nhóm cạnh tranh với nhau để đƣợc chọn. Từ khi tự phản hồi có thể ức chế hoặc thúc đẩy sự tăng trƣởng của giá trị đầu vào của nơ ron trong cách đề cập ở trên, nó khuyến khích sự cạnh tranh và dễ dàng dẫn đến sự chuyển đổi của trạng thái đầu ra của tất cả các nơ ron. Cơ chế này góp phần vào việc ngăn chặn các sa thải liên tục và khuyến khích các nơ ron khác để cuối cùng bị sa thải. Do đó mạng có thể dễ dàng thoát ra từ một điểm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
cố định hoặc tối thiểu cục bộ bằng cách thay đổi trạng thái đầu ra của các nơ ron trong mạng MNN.
Trong phƣơng trình động học (3.21), tham số 𝛼 ó ý nghĩa làm giảm giá trị hàm mục tiêu, mà cho giải pháp tốt hơn, tức là gần hơn với tối thiểu cục bộ. Với thông tin tự phản hồi gây ra một bƣớc nhẩy từ một vùng tìm kiếm đến các vùng khác để tránh bị mắc kẹt trong một tối thiểu cục bộ duy nhất, do đó hệ thống có thể tạo ra một giải pháp mới. Các tham số 𝛼 biểu diễn ảnh hƣởng
của hàm năng lƣợng lên động học của các no ron. Các tham số 𝛽 có thể đƣợc
coi là tốc độ suy giảm của các kết nối tự phản hồi 𝑧(𝑡).