Phát biểu bài toán:
Cho N điểm với khoảng cách dij. Tìm đƣờng đi khép kín ngắn nhất sao cho mỗi điểm chỉ đi qua một lần và trở về điểm xuất phát.
Lịch sử bài toán TSP: 1 2 3 4 Hình 1.8 Đồ thị phẳng 1 2 3 4 Hình 1.9 Đồ thị phẳng 1 2 3 4 đƣờng nối trên đƣờng nối dƣới
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Nguồn gốc của bài toán ngƣời du lịch đến nay vẫn chƣa rõ ràng. Một cuốn sách cho ngƣời du lịch từ năm 1832 đã đề cập tới vấn đề và bao gồm vài ví dụ về các đƣờng đi từ Đức qua Thụy Sỹ nhƣng không chứa đựng ý nghĩa toán học nào
Vấn đề toán học liên quan tới bài toán ngƣời du lịch đã đƣợc nhắc đến trong những năm 1800 bởi nhà toán học Ireland W. R. Hamilton và nhà toán học ngƣời Anh Thomas Kirkman. Trò chơi Icosian Game của Hamilton là một trò đố vui dựa trên cơ sở tìm chu trình Hamilton. Dạng tổng quát của bài toán TSP đƣợc nghiên cứu bởi các nhà toán học suốt những năm 1930 ở đại học Harvard, đáng chú ý là Karl Menger ngƣời đã định nghĩa bài toán, xem xét giải thuật brute-force và quan sát thấy tính không tối ƣu của heuristic dựa trên láng giếng gần nhất.
Hassler Whitney ở đại học Princeton University là ngừời đầu tiên đặt tên ngƣời du lịch cho bài toán không lâu sau đó.
Trong những năm 1950 và 1960, bài toán trở nên ngày càng phổ biến trong khoa học ở châu Âu và Mỹ. Những đóng góp đáng chú ý đƣợc kể đến nhƣ George Dantzig, Delbert Ray Fulkerson và Selmer M. Johnson tại RAND Corporation ở Santa Monica, những ngƣời đã trình bày bài toán nhƣ bài toán số nguyên tuyến tính và phát triển phƣơng thức cắt cho lời giải của nó. Với những phƣơng thức mới này họ đã giải đƣợc một thí dụ của bài toán với 49 thành phố để xây dựng một cách tối ƣu và chứng minh rằng không còn đƣờng đi nào ngắn hơn nữa. Trong những thập kỷ tiếp theo, bài toán đƣợc nghiên cứu bởi rất nhiều nhà nghiên cứ từ toán học, khoa học máy tính, hóa học, vật lý và những khoa học khác.
Richard M. Karp năm 1972 chỉ ra rằng bài toán chu trình Hamiltonian thuộc lớp NP-complete, và qua đó chỉ ra tính NP khó (NP-hardness ) của bài
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
toán TSP. Điều này giải thích một cách khoa học cho độ phức tạp tính toán của việc tìm lời giải tối ƣu cho bài toán.
Nhiều thành tựu đã đạt đƣợc trong suốt những năm cuối thập kỷ 1970 và 1980, khi Grötschel, Padberg, Rinaldi và những ngƣời khác cố gắng giải một cách chính xác một thể hiện của bài toán với 2392 thành phố, sử dụng phƣơng thức cắt và branch-and-bound.
Trong những năm 1990 Applegate, Bixby, Chvátal, và Cook đã phát triển chƣơng trình Concorde mà đã đƣợc sử dụng nhiều trong việc giải các bài toán TSP cho đến nay. Gerhard Reinelt đã công bố thƣ viện TSPLIB vào năm 1991, đó là một tập các thể hiện của bài toán TSP với nhiều độ khó khác nhau, và đã đƣợc sử dụng bởi nhiều nhóm nghiên cứu khác nhau để so sánh kết quả. Năm 2005, Cook và những ngƣời khác đã tính đƣợc độ dài tối ƣu cho chu trình với thể hiện của bài toán TSP lên tới 33,810 thành phố, đƣợc lấy ra từ bài toán xây dựng layout cho microchip, cho tới nay vẫn là thể hiện lớn nhất trong các thể hiện ở TSPLIB. Nhiều thể hiện khác với hàng triệu thành phố, lời giải tìm đƣợc có thể chứng minh nằm trong khoảng 1% của lời giải tối ƣu.
Mô hình đồ thị của bài toán
TSP có thể đƣợc mô hình nhƣ một đồ thị, các đỉnh của đồ thị tƣơng ứng với các thành phố và các cạnh thì tƣơng ứng với đƣờng nối giữa các thành phố, chiều dài của một cạnh tƣơng ứng với khoảng cách giữa 2 thành phố.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Một đƣờng đi trong bài toán TSP là một chu trình Hamilton trên đồ thị và một lời giải tối ƣu của bài toán là chu trình Hamilton ngắn nhất.
Thƣờng thì đồ thị là đồ thị đầy đủ, vì vậy mọi cặp đỉnh đều đƣợc nối bởi các cạnh. Đây là bƣớc đơn giản hóa bài toán vì việc tìm chu trình Hamilton trong một đồ thị đầy đủ là dễ. Các bài toán mà không phải 2 thành phố nào cũng đƣợc nối với nhau có thể đƣợc chuyển đổi thành đồ thị đầy đủ bằng cách thêm những cạnh có độ dài lớn giữa cách thành phố này, những cạnh sẽ không xuất hiện trong chu trình tối ƣu.