Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Cho F là một song hàm trên C ×C vào R. Bài toán cân bằng được phát biểu như sau:
Để nghiên cứu về bài toán cân bằng, người ta thường giả sử song hàm F có các tính chất sau:
(A1) F(x, x) = 0 với mọi x∈C;
(A2) F đơn điệu, tức là, F(x, y) +F(y, x) ≤0 với mọi x, y∈ C; (A3) với mỗi x, y, z ∈ C, ta có limt↓0F(tz+ (1−t)x, y) ≤F(x, y); (A4) với mỗi x ∈C, ánh xạ y 7−→F(x, y) là lồi và nửa liên tục dưới.
Tiếp theo, ta cần bổ đề dưới đây.
Bổ đề 2.4.6. [13] Cho F là một song hàm từ C×C vào R thỏa mãn các điều kiện (A1)–(A4) và cho AF là ánh xạ đa trị trên H được xác định bởi
AFx := {z ∈ H : F(x, y) ≥ hy −x, zi ∀y ∈ C}, x∈C, ∅, x /∈C.
Khi đó AF là toán tử đơn điệu cực đại và D(AF) ⊂ C, EP(F) = A−F10, trong đó EP(F) là tập nghiệm của Bài toán (2.28) và toán tử giải Tr = (IH+rAF)−1
được xác định bởi
TrFx:= {z ∈ C : F(z, y) + 1
rhy−z, z −xi ≥0 ∀y ∈C}
với mọi x∈H.
Từ Định lý 2.3.3, ta có kết quả dưới đây.
Định lý 2.4.7. Cho Hi, i = 1,2, ..., N, là các không gian Hilbert thực. Cho Fi : Hi ×Hi −→ R, i = 1,2, ..., N, là các song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1)–(A4) và cho Ti : Hi −→ Hi+1, i = 1,2, ..., N − 1, là các toán tử tuyến tính bị chặn, sao cho
S := EP(F1)∩T1−1(EP(F2))∩...∩T1−1(T2−1...(TN−−11(EP(FN))))6=∅. Nếu các điều kiện C1), C2) và C3) trong Định lý 2.3.3 đúng, thì dãy {xn} xác định bởi x0 ∈H1 và
y1,n =xn −γ1T1∗T2∗...TN∗−1(IHN −TAN
y2,n =y1,n −γ2T1∗T2∗TN∗−2(IHN−1 −TAN−1 βN−1,n)TN−2TN−3...T1y1,n, .. . yN−1,n =yN−2,n−γN−1T1∗(IH2 −TA2 β2,n)T1yN−2,n, yN,n =TA1 β1,n(yN−1,n), xn+1 =αnf(xn) + (1−αn)yN,n, hoặc xn+1 =αnf(yN,n) + (1−αn)yN,n, n≥ 0,
hội tụ mạnh về một phần tử x∗ ∈S, là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
h(IH1 −f)x∗, y−x∗i ≥ 0 ∀y ∈ S.
2.4.5 Bất đẳng thức biến phân tách tổng quát
Cho H là một không gian Hilbert thực và C là một tập con lồi đóng của H. Cho A : C −→ H là một toán tử đơn trị, đơn điệu và h-liên tục. Khi đó một điểm u∈ C được gọi là nghiệm của bất đẳng thức biến phân tương ứng với A trên C nếu bất đẳng thức
hy −u, Aui ≥0
đúng với mọiy ∈ C. Ta ký hiệuV I(C, A)là tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân. Nếu V I(C, A) chỉ gồm một phần tử, thì V I(C, A) được dùng để ký hiệu phần tử đó.
Định lý 2.4.8. Cho Hi, i = 1,2, ..., N, là các không gian Hilbert thực và Ci, i = 1,2, ..., N, là các tập con lồi, đóng của Hi, tương ứng. Cho Ai : Ci −→ Hi, i = 1,2, ..., N, là các toán tử đơn trị, đơn điệu, h-liên tục, và cho Ti : Hi −→
Hi+1, i= 1,2, ..., N −1, là các toán tử tuyến tính bị chặn, sao cho
S := V I(C1, A1)∩T1−1(V I(C2, A2))∩...∩T1−1(T2−1...(TN−−11(V I(CN, AN))))6= ∅. Nếu các điều kiện C1), C2) và C3) trong Định lý 2.3.3 đúng, thì dãy {xn} xác định bởi x0 ∈H1 và
y1,n =x1,n−γ1T1∗T2∗...TN∗−1(TN−1TN−2...T1xn−z1,n), z2,n =V I(CN−1, βN−1,nAN−1+IHN−1 −TN−2TN−3...T1y1,n), y2,n =y1,n−γ2T1∗T2∗TN∗−2(TN−2TN−3...T1y1,n−z2,n), .. . zN−1,n =V I(C2, β2,nA2+IH2−T1yN−2,n), yN−1,n =yN−2,n−γN−1T1∗(T1yN−2,n−zN−1,n), zN,n =V I(C1, β1,nA1+IH1 −yN−1,n), yN,n =zN,n, xn+1 =αnf(xn) + (1−αn)yN,n, hoặc xn+1 =αnf(yN,n) + (1−αn)yN,n, n ≥0,
hội tụ mạnh về một phần tử x∗ ∈S, là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân h(IH1 −f)x∗, y−x∗i ≥ 0 ∀y ∈ S. Chứng minh. Ta xác định ánh xạ TAN ⊂ HN ×HN bởi TANx:= ANx+NCN(x), x∈CN, ∅, x /∈CN,
trong đó NCN(x) := {z ∈ HN : hy−x, zi ≤0 với mọi y ∈CN}.
Rockafellar [10] đã chỉ ra TA1 là một toán tử đơn điệu cực đại TA−1 N(0) =V I(CN, AN). Chú ý rằng z1,n =V I(CN, βN,nAN +IHN −TN−1TN−2...T1xn) khi và chỉ khi hy−z1,n, βN,nAN(z1,n) +z1,n−TN−1TN−2...T1xni ≥ 0 với mọiy ∈CN, tức là,−βN,nAN(z1,n)−z1,n+TN−1TN−2...T1xn ∈βN,nNCN(z1,n). Điều này suy ra z1,n =JβTAN
Tương tự, nếu ta xác định ánh xạ TAi ⊂Hi×Hi với mỗi i = 1,2, ..., N, bởi TAix := Aix+NCi(x), x∈Ci ∅, x /∈ Ci, thì TAi là đơn điệu cực đại, TA−1
i (0) =V I(Ci, Ai) và zi,n = JTAN−i+1
βN−i+1,n(TN−i...T1yi−1,n)
với mọi i = 2,3, ..., N.
Do đó, áp dụng Định lý 2.3.3, ta nhận được điều phải chứng minh.
2.5 Ví dụ số minh họa
Xét bài toán chấp nhận tách tổng quát được đề cập trong Định lý 2.4.4 với N = 5, Hi = Rni, trong đó ni = 5i, các tập con lồi và đóng Ci được xác định bởi Ci = {x ∈ Rni : hai, xi ≤ bi}, ở đây tọa độ của ai được sinh ngẫu nhiên trong đoạn[3,5], bi được lấy ngẫu nhiên trong đoạn[1,2]với mọi i= 1,2, . . . ,5, và Ti : Rni → Rni+1, i = 1,2,3,4 là các toán tử tuyến tính bị chặn có ma trận với các phần tử được lấy ngẫu nhiên trong đoạn [−5,5].
Áp dụng Định lý 2.4.4 với các tham số được chọn như sau: αn = 1/n, γi = 1/Π5j−=1iMi, với Mi= max k=1,2,...,ni+1 ni X l=1 (tikl)2 , i = 1,2,3,4,
trong đó (tikl)ni+1×ni là ma trận của toán tử tuyến tính bị chặn Ti với mọi i = 1,2,3,4.
Dễ thấy rằng kTik2 ≤ Mi với mọi i = 1,2,3,4. Do đó γi = 1
Π5j=1−iMi ≤
1 Π5j=1−ikTik2, và vì vậy γi thỏa mãn điều kiện γi ∈ 0, kT 2
1k2...kTN−ik2
với mọi i = 1,2, ...,4.
Chú ý 2.5.1. Trong ví dụ này ta sử dụng điều kiện dừngσn <err với err là sai số cho trước, với hàm σn được xác định bởi
σn := 1 5 kxn −PR5 C1xnk2+kT1xn −PR10 C2 T1xnk2+kT2T1xn −PR15 C3 T2T1xnk2
+kT3T2T1xn −PR20
C4 T3T2T1xnk2 +kT4T3T2T1xn−PR25
C5 T4T3T2T1xnk2
. Dễ nhận thấy rằng nếu σn = 0 thì xn là một nghiệm của bài toán.
Khi tọa độ của x0 được lấy ngẫu nhiên trong đoạn [2,4] và f(x) = x/5, ta thu được bảng kết quả số dưới đây:
err σn Số bước lặp Thời gian (giây)
10−5 9.223511×10−6 143 0.047
10−6 7.481049×10−7 151 0.062
10−7 7.629998×10−8 154 0.063
Bảng 2.1: Kết quả số
Dáng điệu của hàm σn được mô tả trong hình dưới đây:
0 20 40 60 80 100 120 140 160 10−8 10−6 10−4 10−2 100 102 104 106 108 TOL Number of iterations σn=10−7
Kết luận
Luận văn đã trình bày lại một cách khá chi tiết và hệ thống về các vấn đề sau:
• Một số tính chất đặc trưng của không gian Hilbert, ánh xạ không giãn và toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert;
• Phương pháp lặp Halpern và phương pháp xấp xỉ mềm tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn;
• Bài toán chấp nhận tách và phương pháp CQ trong không gian Hilbert;
• Các kết quả của Reich S. và Tuyen T.M. trong tài liệu [14] cho bài toán không điểm chung tách tổng quát trong không gian Hilbert;
• Xây dựng một ví dụ số đơn giản dựa trên phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho các phương pháp.
Tài liệu tham khảo
[1] Agarwal R. P., O’Regan D., Sahu D. R. (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[2] Bauschke H.H., Combettes P.L. (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert spaces, Springer.
[3] Censor Y., Elfving T. (1994), “A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space”, Numer. Algorithms, 8 (2-4), pp. 221–239. [4] Goebel K., Kirk W.A. (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cam-
bridge Stud. Adv. Math. 28, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK. [5] Halpern B.(1967), "Fixed points of nonexpanding maps", Bull. Math. Soc.,
73, pp. 957–961.
[6] P. E. Maingé,Strong convergence of projected subgradient methods for nons- mooth and nonstrictly convex minimization, Set-Valued Anal.,16, pp. 899– 912 (2008).
[7] Moudafi A. (2000), “Vicosity approximation methods for fixed point prob- lems”, J. Math. Anal. Appl., 241, pp. 45-55.
[8] Nakajo K., Takahashi W. (2003), “Strong convergence theorems for non- expansive mappings and nonexpansive semigroups”, J. Math. Anal. Appl., 279, pp. 372-379.
[9] Nakajo K., Shimoji K., Takahashi W. (2007), “Strong convergence to com- mon fixed points of families of nonexpansive mappings in Banach spaces”, J. Nonlinear Convex Anal., 8, pp. 11-34.
[10] Rockaffelar R. T. (1970), “On the maximality of sums of nonlinear mono- tone operators”, Trans. Amer. Math. Soc., 149, pp. 75-88.
[11] R. T. Rockafellar, On the maximal monotonicity of subdifferential map- pings, Pacific J. Math., 33, 209–216 (1970).
[12] Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R. (2008), “Strong convergence theo- rems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces”, J. Math. Anal. Appl., 341, pp. 276-286.
[13] S. Takahashi, W. Takahashi, M. Toyoda, Strong convergence theorems for maximal monotone operators with nonlinear mappings in Hilbert spaces, J. Optim. Theory Appl., 147, pp. 27–41 (2010).
[14] Reich S., Tuyen T.M. (2020), “Iterative methods for solving the generalized split common null point problem in Hilbert spaces”, Optimization, 69, 5, pp. 1013–1038.
[15] Xu H.K. (2006), “A variable Krasnosel’skii-Mann algorithm and the multiple-set split feasibility problem”,Inverse Problems,22, pp. 2021–2034. [16] Xu H.K. (2006), “Strong convergence of an iterative method for nonexpan-
sive and accretive operators”, J. Math. Anal. Appl., 314, pp. 631–643. [17] Xu H.K. (2010), “Iterative methods for the split feasibility problem in infi-