Cho H1 và H2 là các không gian Hilbert thực, cho T : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn và cho f : H1 −→ H1 là một ánh xạ co trên H1. Cho Ai : H1 −→2H1, i = 1,2, ..., r, và Aj : H2 −→ 2H2, j =r+ 1, r+ 2, ..., N, là các toán tử đơn điệu cực đại thỏa mãn
S :=∩ri=1A−i 10∩T−1(∩Nj=r+1A−j10)6=∅.
Từ Định lý 2.3.3, ta có định lý hội tụ mạnh dưới đây để tìm một phần tử x∗ ∈S. Định lý 2.4.1. Nếu γi ∈ 0, 2 kTk2 với mọi i = 1,2, ..., N −r, γj ∈ (0,2) và mọi j =N−r+ 1, ..., N−1, và {αn}, {βi,n}, i = 1,2, ..., N, là các dãy số dương thỏa mãn các điều kiện C2) và C3) trong Định lý 2.3.3, thì dãy {xn} xác định bởi x0 ∈H1 và y1,n =xn −γ1T∗(IH2 −JAN βN,n)T xn, y2,n =y1,n−γ2T∗(IH2 −JAN−1 βN−1,n)T y1,n .. . yN−r,n =yN−r−1,n −γN−rT∗(IH2 −JAr+1 βr+1,n)T yN−r−1,n yN−r+1,n =yN−r,n −γN−r+1(IH1−JAr βr,n)yN−r,n .. . yN−1,n =yN−2,n−γN−1(IH1 −JA2 β2,n)yN−2,n,
yN,n =JA1
β1,n(yN−1,n),
xn+1 =αnf(xn) + (1−αn)yN,n, hoặc xn+1 =αnf(yN,n) + (1−αn)yN,n, n≥0,
hội tụ mạnh về một phần tử x∗ ∈S, là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
h(IH1 −f)x∗, y−x∗i ≥ 0 ∀y ∈ S.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 2.3.3 với Hi =H1 với mọi i = 1, ..., r, Hj =H2, j = r + 1, ..., N, Ti = IH1, i = 1,2, ..., r −1, Tr = T và Tj = IH2 với mọi j =r+ 1, ..., N −1, ta nhận được điều phải chứng minh.
Từ Định lý 2.4.1, ta có hệ quả dưới đây cho bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn toán tử đơn điệu cực đại.
Hệ quả 2.4.2. Cho H là một không gian Hilbert thực, f : H −→ H là một ánh xạ co trên H và cho Ai : H −→ 2H, i= 1,2, ..., N, là các toán tử đơn điệu cực đại thỏa mãn S :=∩N
i=1A−i 106=∅. Nếu γi ∈(0,2) với mọi i = 1,2, ..., N−1, γN = 1 và nếu {αn}, {βi,n}, i = 1,2, ..., N, là các dãy số dương thỏa mãn các điều kiện C2) và C3) trong Định lý 2.3.3, thì dãy {xn} xác định bởi x0 ∈H và
yn =VNVn−1...V1xn,
xn+1 = αnf(xn) + (1−αn)yn, hoặc xn+1 = αnf(yn) + (1−αn)yn, n≥0, trong đó Vi := IH − γi(IH −JAN−i+1
βi,n ) với mọi i = 1,2, ..., N, hội tụ mạnh về một phần tử x∗ ∈S, là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
h(IH −f)x∗, y−x∗i ≥0 ∀y ∈S.
Chứng minh. Hệ quả này được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.4.1 khi H1 =H2 =
H và T = IH.