(Tu,Tv)(TSu,TSv), u , v E,u v , ở đâyk , (2.4) trong đó T :E E là đơn ánh, liên tục và hội tụ theo dãy. Khi đó S có một điểm bất động duy nhất z E và limn T nu z , với mọi u E .
Chứng minh. Lấy u0 là một điểm tùy ý của không gian bmetric đầy đủ E .
Vì S (E)E và T (E ) E , nên có thể xây dựng hai dãy {un} và {vn} trong E , được xác định bởi
Su 0 u1, Su1 u2 , Su 2 u 3 ,..., Sun un 1,…
Tu0 v0 , Tu1 v1 ,Tu2 v2,...,Tun vn,...
Ta sẽ chỉ ra {vn} là một dãy Cauchy trong E . Đặt u un1,v un trong (2.4), ta có
(Tun 1,Tun ) . (TSun 1,TSun ), suy ra
(v n 1, v n ) . (Tu n ,Tu n 1 ) (v n , v n 1), n m .
Do đó
(v n , vn 1 ) s . (v n 1, vn ), (2.5) trong đó s 1 / , với s 0,1 / k .
Theo Bổ đề 1.3.13, {vn } là một dãy Cauchy trong E . Vì E đầy đủ, nên tồn tại một điểm w E sao cho
lim n vn lim n Tu n limn TS n u 0 w .
Vì T là hội tụ theo dãy, nên {u n } {S n u0 } hội tụ đến một điểm z E . Do tính liên tục của T , ta có Tz w . Vì TS liên tục, nên ta cũng có
w lim n vn 1 limn TSun TSz . Như vậy, ta được TSz Tz . Vì T là đơn ánh nên Sz z .
Cuối cùng, ta sẽ chỉ ra z là điểm bất động duy nhất của S . Giả sử ngược lại, tồn tại w E sao cho w z và Sw w . Khi đó, (z,w) 0 và vì T là đơn ánh nên (Tz,Tw) 0 .
(Tz,Tw) (TSz,TSw) (Tz,Tw) k. (Tz,Tw), vì k . Điều này là mâu thuẫn. vậy w z . Điều này chỉ ra z là điểm bất động duy nhất của S , trong đó