k m n 1 (Sum 2 , Su m 1 ) (Sum 1, Sum )
k n k 2 n 1 ... k m n 1 m 2 k m n 1 m 1 (Su 0 , Su1), k n k 2 n1 ... k m n 1m2 k m n m 1 (Su 0 , Su1) ,vì k 1 k n 1 k (k ) 2 ... (k )m n 2 (k )m n 1 (Su 0 , Su1) k n (Su , Su ). 1 k 0 1
Từ đó suy ra {Sun} là một dãy Cauchy trong S (E). Giả sử S (E) là không gian con đầy đủ của E . Khi đó tồn tại v S (E ) T (E) sao cho Sun v và cả
Tun v . Trong trường hợpT(E)đầy đủ, điều này cũng xảy ra với v T (E)
.Do đó {Sun} hội tụ đến v T (E). Lấy u E sao cho Tu v . Nếu Su v , thì sử dụng (2.3), ta có
(Tu n ,Tu ) max (Su n ,Tu ), (Su ,Tun )
(Su ,Tu ) 1(Su,Tu)
n n
Su n ,Tu .
1(Sun , Su)
Cho n, ta được
(v, v ) 1(Su , v)
(v, v )max 0, (Su ,Tv ) 1(v , Su) (v, Su) . Do đó (Su , v ) (v , Su) là mâu thuẫn vì 1 , với mọi , 0 .
Vậy Su v . Như vậy, Tu Su v và v là một điểm trùng của S và T . Đối với tính duy nhất của điểm trùng, ta giả sử ngược lại w là một điểm trùng khác của S và T , tức là Sz Tz w với z E nào đó. Sử dụng điều kiện (2.3), ta có
(Tz ,Tu )max (Sz ,Tu ), (Su ,Tz) (Sz ,Tz ) 1(Su ,Tu)
(Sz , Su) . 1(Sz , Su)
Suy ra
(w , w ) 1 (v, v) (w , v )max (w , v ), (v, w ) 1(w , v)
Do đó (1) (w , v ) (w , v), điều này là mâu thuẫn vì 1 , 0 . Do đó w v .
(w , v).
, với mọi
Vậy S và T có một điểm trùng duy nhất trong E . Hơn nữa, nếu S và T là tương thích yếu, thì theo Mệnh đề 1.3.10, S và T có một điểm bất động chung
duy nhất trong E . Định lí được chứng minh. Chú ý 2.1.6. Nếu đặt S I (ánh xạ đồng nhất) trong Định lý 2.1.5 ở trên, thì ta sẽ nhận được kết quả chính của S. K. Mohanta (Định lý 3.1 [5]).
Chú ý 2.1.7. Trong Định lí trên chúng ta đã loại bỏ tính liên tục của ánh xạ. Hơn nữa, tính đầy đủ của toàn bộ không gian E được thay thế bằng tính đầy đủ của một trong các không gian con. Định lý được chứng minh cho một cặp ánh xạ, thay vì một ánh xạ.
2.2. Điểm bất động đối với điều kiện T thác triển trong không gian b metric b metric
Định nghĩa 2.2.1 [4]. Cho (E, , k) là một không gian b metric với hằng số k 1 và {un } là một dãy tùy ý trong E . Ánh xạ T : E E được gọi là hội tụ theo dãy nếu dãy { Tun } hội tụ thì dãy { un } cũng hội tụ.
Sau đây là kết quả chính thứ ba đối với ánh xạ T thác triển trong không gian b metric:
Định lý 2.2.2. Cho (E, , k) là một không gian b metric đầy đủ với hằng số