Phương trình Diophant dạngx2+y2 = z2trong đóx, y, z ∈ Z+là các ẩn chưa biết thường được gọi là phương trình Pythagore. Trường hợp đặc biệtx2 + (x+ 1)2 =y2 đã được nghiên cứu trong [2, 4], ở đó, nghiệm được biểu diễn qua các số cân bằng và các số đối cân bằng. Phương trình có dạngx2+y2 =z2±1được gọi làphương trình hầu Pythagore. Trong các định lý sau, ta xét một số phương trình hầu Pythagore đặc biệt, cụ thể là phương trình ở dạngx2+ (x+ 1)2 =y2±1.
Định lý 3.4.1. Phương trình hầu Pythagore
x2+ (x+ 1)2 =y2+ 1
có các nghiệm làx=Bn +bn vày = 2Bn = P2n, n = 1,2, . . .trong khi đó phương trìnhx2+ (x+ 1)2 =y2−1không có nghiệm.
Chứng minh. Phương trình Diophant
x2+ (x+ 1)2 =y2+ 1
tương đương với
x(x+ 1) 2 =
y2
4 ,
điều này chứng tỏ rằng x(x+ 1)
2 là số tam giác. Từ đó suy ra x(x+ 1) 2 =B 2 n. Do đóy = 2Bn =P2n và x= −1 +p8B2 n+ 1 2 .
Từ định nghĩa của các số cân bằng và hệ số cân bằng Rn = −1 +p8B2
n+ 1
2 ,
và theo Định lí 1.3.3,Rn =bn với mỗinnênx =Bn +bn. Phương trình
x2+ (x+ 1)2 =y2−1
tương đương với
2(x2+x+ 1) = y2.
Do đóy2 là một số chẵn và do đó y2 chia hết cho4.Điều này chỉ ra rằngx2+x+ 1
là số chẵn. Nhưng vì sốx2+xluôn là số chẵn nênx2 +x+ 1luôn là số lẻ. Do đó, trong trường hợp này phương trình không tồn tại nghiệm.
Định lý 3.4.2. Phương trình Pythagore x2+ (x+ 2)2 = y2có nghiệm là
x = 2(Bn−1+bn) =cn −1vày = 2P2n+1, n = 1,2, . . . .
Chứng minh. Phương trình Diophant
tương đương với
2(x2+ 2x+ 2) = y2
từ đó suy ray là chẵn và do đóx2 + 2x+ 2cũng là chẵn, và do vậy xcũng là chẵn. Lấyx= 2uvày = 2vở phương trình trên trở thành
2u2+ 2u+ 1 =v2,
đây là phương trình Pythagore
u2+ (u+ 1)2 =v2.
Các nghiệm của phương trình này được xác định bởi [4, trang 1199] u =bn+rn, v =p2u2+ 2u+ 1.
Áp dụng các công thức Binet củabn, rn vàPn ta có
2(bn+rn)2+ 2(bn+rn) + 1 =P22n+1. Vìrn =Bn−1theo Định lý 1.3.3, nên các nghiệm của phương trình
u2+ (u+ 1)2 =v2
là
u =Bn−1 +bn, v =P2n+1, n= 1,2, . . . .
Do đó, các nghiệm của phương trình Diophantx2+ (x+ 2)2 = y2được cho bởi
x = 2(Bn−1+bn), y = 2P2n+1, n = 1,2, . . . . Áp dụng các công thức Binet đối vớibn, rn vàcn ta có
2(bn +rn) + 1 =cn.
Từ đó,xcó thể được đưa ra bởi cách khác làx=cn−1.Định lí được chứng minh. Thay xbởix−1trong định lí trên, ta có kết quả thú vị sau:
Hệ quả 3.4.3. Phương trình Pythagore (x−1)2 + (x+ 1)2 = y2 có các nghiệm là x=cn =Q2n−1vày = 2P2n+1, n = 1,2, . . . . Định lý 3.4.4. Phương trình Pythagore x(x−1) 2 2 + x(x+ 1) 2 2 =y2 có các nghiệm làx=Q2n−1 =cn vày =B2n−1, n= 1,2, . . . .
Chứng minh. Phương trình Pythagore
x(x−1) 2 2 + x(x+ 1) 2 2 =y2
tương đương với
x(x+ 1) 2 =y
2, (3.1)
phương trình này chứng tỏ rằngy2là một số tam giác, do đóylà một số cân bằng, tức lày = Bn vớin nào đó. Bây giờ, ta giải phương trình (3.1) vớix2 và do mối liên hệ giữaBn vàRn, ta có
x2 = −1 +p8B2
n + 1
2 =Bn +Rn.
Trong chứng minh của Định lý 3.2.3, ta đã chỉ ra rằngBn +Rn là số chính phương chỉ khinlà một số lẻ và bằng vớiQ2n.Do đó, nghiệm của phương trình Pythagore
x(x−1) 2 2 + x(x+ 1) 2 2 =y2 là x=Q2n−1vày = B2n−1, n = 1,2, . . . .
Kết luận
Luận văn đã trình bày lại các kết quả trong [5]. Cụ thể, qua ba chương, luận văn đã trình bày được về một số vấn đề sau:
1. Nhắc lại các khái niệm về các số cân bằng, số đối cân bằng, số Lucas-cân bằng, số Lucas-đối cân bằng, số Pell và số Pell liên kết;
2. Trình bày các kết quả rất thú vị về mối liên hệ giữa các số nêu trên;
3. Trình bày về nghiệm của một số phương trình Diophant được biểu diễn thông qua các loại số nêu trên.
Tài liệu tham khảo
Tiếng việt
[1] Hoàng Thị Hường (2015), Số cân bằng và số đối cân bằng, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
Tiếng Anh
[2] Behera A., Panda G.K. (1999), “On the square roots of triangular numbers”,The Fibonacci Quarterly37(2), pp. 98–105.
[3] Koshy T. (2001),Fibonacci and Lucas numbers with Applications, John Wiley & Sons, Inc., Toronto.
[4] Panda G.K., Ray P.K. (2005), “Cobalancing numbers and cobalancers”,Interna- tional Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 2005(8), pp. 1189– 1200.
[5] Panda G.K., Ray P.K. (2011), “Some links of balancing and cobalancing num- bers with Pell and associated Pell numbers",Bulletin of the Institute of Mather- matics Academia Sinica6(1), pp. 41–72.
[6] Ray P.K. (2009),Balancing and cobalancing numbers, PhD thesis, National In- stitute of Technology Rourkela, India.