Trong mục này chúng ta xem xét nghiệm của phương trình Diophant gồm hai số mà tổng của tất cả các số tự nhiên cho đến số lớn hơn bằng bình phương của số bé hơn.
Định lý dưới đây cho ta trường hợp số lớn hơn là số chẵn.
Định lý 3.2.1. Các nghiệm của phương trình Diophant
1 + 2 +· · ·+ 2x=y2
là
x= P22n = 4Bn2 vày =P2nQ2n =B2n, n= 1,2, . . . .
Chứng minh. Phương trình Diophant
1 + 2 +· · ·+ 2x=y2
tương đương với
x(2x+ 1) = y2.
Vìxvà2x+ 1là nguyên tố cùng nhau, nênxvà2x+ 1phải là bình phương. Đặt
2x+ 1 = (2l+ 1)2,
ta tìm
x= 4· l(l+ 1)
2 .
Vìxlà bình phương nênl(l+ 1)/2là bình phương của mộ số tam giác. Do đó
Theo Định lý 2.1.1 ta có y =px(2x+ 1) =p4B2 n(8B2 n+ 1) =p4B2 nC2 n = 2BnCn =B2n =P2nQ2n.
Bây giờ ta xét trường hợp số lớn hơn là số lẻ.
Định lý 3.2.2. Các nghiệm của phương trình Diophant
1 + 2 +· · ·+ (2x−1) =y2
là
x =P22n−1 vày =B2n−1, n= 1,2, . . . .
Chứng minh. Phương trình Diophant
1 + 2 +· · ·+ (2x−1) =y2
tương đương với
x(2x−1) =y2.
Vìxvà2x−1là nguyên tố cùng nhau nên cảxvà2x−1phải là các số chính phương. Ta đặt 2x−1 = (2k+ 1)2 ta có x= 2k2+ 2k+ 1 =k2 + (k+ 1)2. Đặtx=l2 thì phương trình trở thành k2+ (k+ 1)2 =l2.
Theo [4, trang 1199] các nghiệm của phương trình Diophant này là k =bn +rn =Bn−1+Rn, n = 1,2, . . . , và
l =p2k2+ 2k+ 1.
Áp dụng các công thức Binet củaBn vàbn trong (1.11), ta có thể thấy rằng
l=P2n−1. Do đó x =P22n−1. Áp dụng Định lý 2.1.1 và do 2P22n−1−1 =Q22n−1, nên y = q P2 2n−1(2P2 2n−1−1) =P2n−1Q2n−1 =B2n−1. Định lí được chứng minh.
Định lý sau đây cho chúng ta nghiệm của phương trình đang xét mà không có hạn chế đối với số lớn hơn.
Định lý 3.2.3. Các nghiệm của phương trình Diophant
1 + 2 +· · ·+x= y2
làx=Bn+Rn, xấp xỉ bằng vớiQ2n, vày =PnQn =Bn.
Chứng minh. Phương trình Diophant
1 + 2 +· · ·+x= y2
là tương đương với
x(x+ 1) 2 =y
suy ray2 là một số tam giác. Lấyy = Bn và áp dụng các công thức Binet trong (1.8) và (1.11) ta có thể kiểm tra được rằng
x=Bn+Rn = Q2n nếunlẻ, Q2n−1 nếunchẵn. 3.3 Phương trình1+2+· · ·+(y−1)+(y+1)+· · ·+x = y2
Tương tự ở mục trước chúng ta sẽ xét phương trình
1 + 2 +· · ·+ (y −1) + (y+ 1) +· · ·+x=y2
trong ba trường hợp:xlà số chẵn;xlà số lẻ và trường hợp tổng quát. Tuy nhiên, ta sẽ xét trường hợp tổng quát ngay trong định lý sau đây.
Định lý 3.3.1. Các nghiệm của phương trình Diophant
1 + 2 +· · ·+ (y −1) + (y+ 1) +· · ·+x=y2
là
x=bn +rn vày =bn, n= 1,2, . . . .
Chứng minh. Phương trình Diophant
1 + 2 +· · ·+ (y −1) + (y+ 1) +· · ·+x=y2
là tương đương với
x(x+ 1)
2 =y(y + 1),
suy ra y(y + 1) là một số tam giác. Từ đó suy ra y là một số đối cân bằng. Giả sử y =bn. Áp dụng Định lý 1.3.3 ta có
x= −1 +p8b2
n+ 8bn + 1
2 =bn+rn, n = 1,2, . . . .
Định lý 3.3.2. Phương trình Diophant
1 + 2 +· · ·+ (y−1) + (y+ 1) +· · ·+ 2x =y2
không có nghiệm nếuxlà lẻ. Nếuxchẵn, các nghiệm được cho bởi
x= b2n+r2n
2 vày =b2n, n = 1,2, . . . .
Chứng minh. Phương trình Diophant
1 + 2 +· · ·+ (y −1) + (y+ 1) +· · ·+x=y2
là tương đương với
x(x+ 1)
2 =y(y + 1).
Nếuxlà lẻ, thì vế trái cũng là lẻ, nhưng vế phải là chẵn. Do đó trong trường hợp này nghiệm không tồn tại. Nếuxlà chẵn, thì giải phương trình ở trên đối vớixta có
x = −1 +p8y2+ 8y + 1
4 .
Vìy(y+ 1)là số tam giác, nêny là số đối cân bằng , tức lày =bn và vì
rn = −(2bn+ 1) +p8b2 n+ 8bn + 1 2 nên ta có x = bn+rn 2 .
Nhưngbn+rn là chẵn nếunlà chẵn. Do đó, nghiệm tổng quát được cho bởi
x = b2n+r2n
2 , y =b2n, n = 1,2, . . . .
Định lý 3.3.3. Phương trình Diophant
1 + 2 +· · ·+ (y−1) + (y+ 1) +· · ·+ (2x−1) = y2
không có nghiệm nếuxlà lẻ. Nếuxchẵn, các nghiệm được cho bởi
x = b2n−1+r2n−1+ 1
Chứng minh. Phương trình Diophant
1 + 2 +· · ·+ (y−1) + (y+ 1) +· · ·+ (2x−1) = y2
là tương đương với
x(2x−1)
2 =y(y + 1).
Nếuxlà lẻ, thì vế trái cũng là lẻ, nhưng vế phải là chẵn. Do đó trong trường hợp này nghiệm không tồn tại. Nếuxlà chẵn, thì giải phương trình ở trên đối vớixta có
x= 1 +
p
8y2+ 8y+ 1
4 .
Vìy(y+ 1)là số tam giác, nêny là số đối cân bằng, tức lày =bn và khi đó
x= bn +rn + 1 2 .
Nhưngbn+rn + 1là chẵn nếunlà lẻ. Do đó, nghiệm tổng quát được cho bởi
x= b2n−1+r2n−1+ 1
2 , y = b2n−1, n= 1,2, . . . .
3.4 Một số phương trình Pythagore
Phương trình Diophant dạngx2+y2 = z2trong đóx, y, z ∈ Z+là các ẩn chưa biết thường được gọi là phương trình Pythagore. Trường hợp đặc biệtx2 + (x+ 1)2 =y2 đã được nghiên cứu trong [2, 4], ở đó, nghiệm được biểu diễn qua các số cân bằng và các số đối cân bằng. Phương trình có dạngx2+y2 =z2±1được gọi làphương trình hầu Pythagore. Trong các định lý sau, ta xét một số phương trình hầu Pythagore đặc biệt, cụ thể là phương trình ở dạngx2+ (x+ 1)2 =y2±1.
Định lý 3.4.1. Phương trình hầu Pythagore
x2+ (x+ 1)2 =y2+ 1
có các nghiệm làx=Bn +bn vày = 2Bn = P2n, n = 1,2, . . .trong khi đó phương trìnhx2+ (x+ 1)2 =y2−1không có nghiệm.
Chứng minh. Phương trình Diophant
x2+ (x+ 1)2 =y2+ 1
tương đương với
x(x+ 1) 2 =
y2
4 ,
điều này chứng tỏ rằng x(x+ 1)
2 là số tam giác. Từ đó suy ra x(x+ 1) 2 =B 2 n. Do đóy = 2Bn =P2n và x= −1 +p8B2 n+ 1 2 .
Từ định nghĩa của các số cân bằng và hệ số cân bằng Rn = −1 +p8B2
n+ 1
2 ,
và theo Định lí 1.3.3,Rn =bn với mỗinnênx =Bn +bn. Phương trình
x2+ (x+ 1)2 =y2−1
tương đương với
2(x2+x+ 1) = y2.
Do đóy2 là một số chẵn và do đó y2 chia hết cho4.Điều này chỉ ra rằngx2+x+ 1
là số chẵn. Nhưng vì sốx2+xluôn là số chẵn nênx2 +x+ 1luôn là số lẻ. Do đó, trong trường hợp này phương trình không tồn tại nghiệm.
Định lý 3.4.2. Phương trình Pythagore x2+ (x+ 2)2 = y2có nghiệm là
x = 2(Bn−1+bn) =cn −1vày = 2P2n+1, n = 1,2, . . . .
Chứng minh. Phương trình Diophant
tương đương với
2(x2+ 2x+ 2) = y2
từ đó suy ray là chẵn và do đóx2 + 2x+ 2cũng là chẵn, và do vậy xcũng là chẵn. Lấyx= 2uvày = 2vở phương trình trên trở thành
2u2+ 2u+ 1 =v2,
đây là phương trình Pythagore
u2+ (u+ 1)2 =v2.
Các nghiệm của phương trình này được xác định bởi [4, trang 1199] u =bn+rn, v =p2u2+ 2u+ 1.
Áp dụng các công thức Binet củabn, rn vàPn ta có
2(bn+rn)2+ 2(bn+rn) + 1 =P22n+1. Vìrn =Bn−1theo Định lý 1.3.3, nên các nghiệm của phương trình
u2+ (u+ 1)2 =v2
là
u =Bn−1 +bn, v =P2n+1, n= 1,2, . . . .
Do đó, các nghiệm của phương trình Diophantx2+ (x+ 2)2 = y2được cho bởi
x = 2(Bn−1+bn), y = 2P2n+1, n = 1,2, . . . . Áp dụng các công thức Binet đối vớibn, rn vàcn ta có
2(bn +rn) + 1 =cn.
Từ đó,xcó thể được đưa ra bởi cách khác làx=cn−1.Định lí được chứng minh. Thay xbởix−1trong định lí trên, ta có kết quả thú vị sau:
Hệ quả 3.4.3. Phương trình Pythagore (x−1)2 + (x+ 1)2 = y2 có các nghiệm là x=cn =Q2n−1vày = 2P2n+1, n = 1,2, . . . . Định lý 3.4.4. Phương trình Pythagore x(x−1) 2 2 + x(x+ 1) 2 2 =y2 có các nghiệm làx=Q2n−1 =cn vày =B2n−1, n= 1,2, . . . .
Chứng minh. Phương trình Pythagore
x(x−1) 2 2 + x(x+ 1) 2 2 =y2
tương đương với
x(x+ 1) 2 =y
2, (3.1)
phương trình này chứng tỏ rằngy2là một số tam giác, do đóylà một số cân bằng, tức lày = Bn vớin nào đó. Bây giờ, ta giải phương trình (3.1) vớix2 và do mối liên hệ giữaBn vàRn, ta có
x2 = −1 +p8B2
n + 1
2 =Bn +Rn.
Trong chứng minh của Định lý 3.2.3, ta đã chỉ ra rằngBn +Rn là số chính phương chỉ khinlà một số lẻ và bằng vớiQ2n.Do đó, nghiệm của phương trình Pythagore
x(x−1) 2 2 + x(x+ 1) 2 2 =y2 là x=Q2n−1vày = B2n−1, n = 1,2, . . . .
Kết luận
Luận văn đã trình bày lại các kết quả trong [5]. Cụ thể, qua ba chương, luận văn đã trình bày được về một số vấn đề sau:
1. Nhắc lại các khái niệm về các số cân bằng, số đối cân bằng, số Lucas-cân bằng, số Lucas-đối cân bằng, số Pell và số Pell liên kết;
2. Trình bày các kết quả rất thú vị về mối liên hệ giữa các số nêu trên;
3. Trình bày về nghiệm của một số phương trình Diophant được biểu diễn thông qua các loại số nêu trên.
Tài liệu tham khảo
Tiếng việt
[1] Hoàng Thị Hường (2015), Số cân bằng và số đối cân bằng, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
Tiếng Anh
[2] Behera A., Panda G.K. (1999), “On the square roots of triangular numbers”,The Fibonacci Quarterly37(2), pp. 98–105.
[3] Koshy T. (2001),Fibonacci and Lucas numbers with Applications, John Wiley & Sons, Inc., Toronto.
[4] Panda G.K., Ray P.K. (2005), “Cobalancing numbers and cobalancers”,Interna- tional Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 2005(8), pp. 1189– 1200.
[5] Panda G.K., Ray P.K. (2011), “Some links of balancing and cobalancing num- bers with Pell and associated Pell numbers",Bulletin of the Institute of Mather- matics Academia Sinica6(1), pp. 41–72.
[6] Ray P.K. (2009),Balancing and cobalancing numbers, PhD thesis, National In- stitute of Technology Rourkela, India.