không giao hoán
Luận văn này không đi sâu vào việc xây dựng vành các thương của các vành không giao hoán nên các định nghĩa và định lý về vành các thương chỉ mang tính chất giới thiệu cho tiện việc sử dụng.(không chứng minh tất cả).
a) Định nghĩa vành S – khả nghịch:
Cho S là một tập con đóng nhân của vành R, tức là một tập con
cho S được đóng bởi phép nhân , 0 S ,1 S . Một đồng cấu : R →R ' được gọi là một S – khả nghịch nếu ( S ) U(R') . (U (R') là nhóm các phần tử khả nghịch của vành R’).
b) Định nghĩa vành các thương phải:
Một vành R' được gọi là một vành các thương phải (tương ứng với
S R ) nếu có một đồng cấu : R→R ' sao cho: (i) là S – khả nghịch.
(ii) Mọi phần tử của R ' có dạng: (r). ( s)−1 , khi r R, s S . (iii)ker( )= r R s S : rs =0. (là một ideal trongR)
phân số bằng cách nhân tử số và mẫu số.
* Lưu ý: Từ iii) ta có R ' 0 , tuy nhiên với một vành kỳ vọng là sẽ luôn tồn tại các vành thương phải R' . Nếu định nghĩa trên, ta có hai điều kiện cần theo S như sau:
c) Định lí:
Cho R tồn tại vành các thương phải, khi đó với mọi
s S ta đều có aS sR (với tính chất này S được gọi làbên phải hoặc S là một tập Ore phải) .
a R và
khả hoán
Chứng minh:
Với mọi a R và s S , ( s) ( s )
Do đó theo iii) ta được: (as'−sr)s "=0 , với s "S . Vậy as' s"= srs"a S sR .
và s
' S sao cho:
d) Định lí:
Cho R tồn tại vành các thương phải, khi đó cho a R , nếu s' a= 0 , với s '
S nào đó thì as =0với s S ( S thỏa mãn tính chất này nên S còn được gọi là khả nghịch phải).
Chứng minh:
s ' a =0suy ra ( s ') ( a) = 0 . Do đó ( a) = 0 , theo iii) ta được as =0với
s S . e) Định nghĩa: Tập con nghịch phải thì đóng nhân S được gọi
S R vừa là tập khảhoán bên phải, vừa là khả là tập mẫu số phải.
26
f) Định lí:
Vành R có vành thương phải tương ứng với S , kí hiệu là chỉ khi S là một tập mẫu số phải.
Tương tự như định nghĩa vành các thương phải, ta cũng có khả hoán bên trái ”, “ khả nghịch trái ” và vành các thương trái
RS
khái niệm “ , kí hiệu là
S−1R .
g) Định lí:
Cho R tồn tại vành các thương trái, khi đó với mọi có Sa Rs (với tính chất này S được gọi là khả hoán một tập Ore trái) . a R bên và trái sS ta đều hoặc S là h) Định lí: Cho R tồn tại vành s ' S nào đó thì sa =0vớilà khả nghịch trái).
các thương trái, khi đó cho a R , nếu as' =0 , với s S ( S thỏa mãn tính chất này nên S còn được gọi
i) Định nghĩa:
Tập con đóng nhân nghịch trái thì S được gọi là
S
tập
R vừa là tập khảhoán bên trái, vừa là khả mẫu số trái.
j) Định lí:
Vành R có vành thương trái tương ứng với chỉ khi S là một tập mẫu số trái.
S , kí hiệu làS−1R, khi và
k) Hệ quả:
3.3.1. Mệnh đề
Cho S R như trên, khi đó R đến một số vành , kí hiệu là RS ,
đồng cấu S – khả nghịch : R → R
vành f:RS →R' sao cho =fo .
tồn tại một đồng cấu S – khả nghịch với tính chất phổ dụng sau: Cho bất kỳ ' , khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu
đi từ
Cố mỗi s
Chứng minh:
định một số trình bày của R bằng các phần tử sinh và các quan hệ : Cho
S , gắn liền với một phần tửsinh mới s* và thêm vào hai quan hệ:
, khi s là một phần tử trong - đại số tùy ý sao cho có ánh xạ đến s
trong sự trình bày đã cho. Tập hợp mới của các phần tử sinh và các quan hệ theo định nghĩa trên là một vành RS , cùng với một đồng cấu vành : R → RS . Cho mỗi s S , hình ảnh của s * trong RS cung cấp một nghịch đảo cho ( s) , vì vậy ( S) U(RS ) . Việc khẳng định tính chất phổ dụng của có thể được xem xét nhanh chóng từ định nghĩa của RS .
Tính chất phổ dụng ở trên đảm bảo tính duy nhất của : R→ RS . Đó là lý do chúng ta có lý khi sử dụng kí hiệu RS cho việc nhận vành của “ đồng cấu
S – khả nghịch phổ dụng ”.
*Ghi chú: mệnh đề trên thực tế là đúng cho bất kỳ tập con S R . Các giả thiết mà ta đưa ra trên S chỉ được áp dụng cho thuận tiện và để tránh các tình huống tầm thường. (Ví dụ như : nếu 0 S , khi đó RS sẽ là vành không).