Định nghĩa: Cho A là một bảng chữ cái. Một nửa nhóm với các phần tử
là dãy hữu hạn có thể có của các chữ cái trong A với phép toán là đặt dãy này nối tiếp dãy kia được gọi là một nửa nhóm tự do trên A, ký hiệu là A+
16
(hoặc là A*). Các phần tử trong một nửa nhóm tự do được gọi là các từ , và phép toán được gọi là nối. Để thuận tiện, từ rỗng 1 thường được nối với nhau (chiều dài của từ rỗng 1 được định nghĩa bằng không) bằng cách đặt 1w = w =
w1 với mọi từ w. Bảng chữ cái A cho nửa nhóm tự do A+ là tập hợp sinh bất khả quy duy nhất chỉ bao gồm những phần tử không thể rút gọn được. Một nửa nhóm tự do được xác định duy nhất theo đẳng cấu cho bởi tính chất cơ bản của bảng chữ cái của nó, lực lượng của bảng chữ cái A được gọi là hạng của nửa nhóm tự do.
Nửa nhóm tự do là vật tự do trong phạm trù các nửa nhóm, hay nói khác đi thì mọi nửa nhóm đều là ảnh đồng cấu của một nửa nhóm tự do.
Mệnh đề: Cho một nửa nhóm F , các điều kiện sau là tương đương:
i) F là nửa nhóm tự do.
ii) F có một tập hợp sinh A sao cho bất kỳphần tử nào của F đều cóthể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tích các phần tử của A . iii) F thỏa mãn luật giản ước (theo như 1.1.2), không chứa phần tử lũy
đẳng, mọi phần tử của F có một số hữu hạn các ước, và với mọi u , v
, u ', v ' F đẳng thứcuv=u'v'dẫn đếnu=u'hoặc là một tronguvà u’ là ước bên trái của từ còn lại.
Định nghĩa: Mỗi một nửa nhóm con H của một nửa nhóm tự do là nửa nhóm con có một tập hợp sinh bất khả quy duy nhất bao gồm các phần tử không thể phân tích được thành tích của các phần tử khác nhau trong H . Tuy nhiên, không phải mọi nửa nhóm con của nửa nhóm tự do đều tự do.
Mệnh đề: Cho một nửa nhóm con H của một nửa nhóm tự do F , các điều
kiện sau là tương đương:
i) H là nửa nhóm tự ii) w F : H wH iii) w F : H wH do. , H Hw w H Hw w H . .
Với bất kỳ các từ u, v
là các phần tử sinh tự do phần tử w sao cho w =
u.v = v.u .
khác nhau trong nửa nhóm tự do F thì hoặc là u và v
của nửa nhóm con sinh ra bởi chúng hoặc là có một
u
k
= v ; k,l
l
Mỗi một nửa nhóm con với 3 phần tử sinh trong một nửa nhóm tự do thì luôn được biểu diễn hữu hạn. Tuy nhiên tồn tại nửa nhóm con với 4 phần tử sinh không được biểu diễn hữu hạn.
2.1.5. Đại số nửa nhóm kH trong một vành không giao hoán có đơn vị
Cho H là nửa nhóm nhân, không giao hoán, có luật giản ước cả hai phía và cho k là miền nguyên giao hoán thì đại số nửa nhóm kH là tập hợp các tổng hình thức :
iH .
. Phép cộng theo nghĩa thông thường.
. Phép nhân : Phân phối với các tổng hình thức. . Nửa nhóm luôn có đơn vị.