a) Chứng minh AHB = AHC.
b) Từ H kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại D. Chứng minh AD = DH c) Gọi E là trung điểm AC, CD cắt AH tại G. Chứng minh B, G, E thẳng hàng. d) Chứng minh: chu vi ABC > AH + 3BG
Bài 207: Cho ABC cân tại A (A�900); các đường cao BD; CE (D AC; E AB) cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: ABD = ACE. b) BHC là tam giác gì, vì sao? c) So sánh đoạn HB và HD?
d) Trên tia đối của tia EH lấy điểm N sao cho NH < HC; Trên tia đối của tia DH lấy điểm M sao cho MH = NH. Chứng minh các đường thẳng BN; AH; CM đồng quy.
Bài 208: (3,5 điểm) (Học sinh được sử dụng chứng minh tương tự trong bài làm) Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AM.
a) Chứng MB = MC
b) Kẻ MH AB H AB ;MK� AC K AC� . Chứng minh MH = MK và AM là đường trung trực củađoạnt HK đoạnt HK
c) Lấy điểm E sao cho H là trung điểm của đoạn EM, lấy điểm F sao cho K là trung điểm của đoạn thẳng FM. Chứng minh AEF cân
d) Chứng minh FE // BC
Bài 209: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác BD của góc B cắt AC tại D. Trên BC lấy điểm E sao cho AB = BE.
a) Chứng minh BC – BA > CD – DA
b) Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). So sánh EH và EC.
Bài 210: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác BD (D � AC). Kẻ DE vuông góc với BC (E � BC). a) Chứng minh ABD = EBD
b) Chứng minh ADE cân c) So sánh AD và DC
d) Kẻ đường cao AF của ABC. Chứng minh AE là tia phân giác của góc FAC.
e) Kẻ CI vuông góc với BD tại I, cắt BA kéo dài ở K. Chứng minh E, D, K thẳng hàng.
Bài 211: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ AD là tia phân giác của HAB� (D thuộc BC). Kẻ DK vuông góc AB.
a/ Chứng minh AKD = AHD
b/ Gọi giao điểm của AH và DK là I. Chứng minh: IH = KB. c/ Chứng minh HK // IB.
d/ Các đường phân giác của ACH cắt nhau tại M. Gọi N là giao điểm của CM và AH. Chứng minh N là trực tâm của ACD.
Bài
212: Cho tam giác MNP vuông tại M. Trên NP lấy E sao cho NE = NM. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc
với NP cắt MP ở I.
a) Chứng minh MNI = ENI b) Chứng minh IME cân c) So sánh IM và IP
d) Kẻ đường cao MK của MNP. Chứng minh ME là tia phân giác của góc KMP. e) Kẻ PH vuông góc với NI tại H cắt NM kéo dài ở F. Chứng minh E, I, F thẳng hàng.
Bài 213:Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC (H � BC). Gọi M là trung điểm của BH. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.
b) Chứng minh rằng: AH = NB, từ đó suy ra NB < AB. c) Chứng minh rằng: góc BAM < góc MAH.
d) Gọi I là trung điểm của NC. Chứng minh rằng: Ba điểm A, H, I thẳng hàng.
Bài 214: Cho ABC vuông tại B có A = 60� o
. Vẽ đường phân giác AD (D � BC). Qua D dựng đường thẳng vuông góc với AC tại M và cắt đường thẳng AB tại N. Gọi I là giao điểm của AD và BM. Chứng minh:
a, BAD = MAD.
b, AD là đường trung trực của đoạn thẳng BM. c, ANC là tam giác đều.
d, BI < ND.
Bài 215: Cho tam giác ABC cân ở A có đường cao AH (H thuộc BC). a) Chứng minh: H là trung điểm của BC và BAH = HAC� �
b) Kẻ HM vuông góc với AB tại M, HN vuông góc với AC tại N. Chứng minh: Tam giác AMN cân ở A.
c) Vẽ điểm P sao cho điểm H là trung điểm của đoạn thẳng NP. Chứng minh: Đường thẳng BC là đường trung trực của đoạn thẳng MP.
d) MP cắt BC tại điểm K. NK cắt MH tại điểm D. Chứng minh: Ba đường thẳng AH, MN, DP cùng đi qua một điểm.
Bài 216 :Cho ABC vuông tại A có AB < AC, kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HD = HA.
a) Chứng minh ABH = DBH
b) Chứng minh CB là tia phân giác của góc ACD
c) Qua A kẻ đường thẳng song song với BD, cắt cạnh BC tại E. Chứng minh DE // AB d) Đường thẳng AE cắt đường thẳng CD tại K. Chứng minh HK =
12 AD. 2 AD.
Bài 217: Cho tam giác ABC vuông tại B có �A60o. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC ở D. Kẻ DE
vuông góc với AC (E�AC). Chứng minh: a) Chứng minh: ABD AED.
b) Chứng minh: AD là đường trung trực của BE. c) Chứng minh: DC > AB
d) Từ C kẻ CM vuông góc với đường thẳng AC. Giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng MC là N. Chứng minh: D cách đều ba cạnh của ANC và ba điểm N, D, E thẳng hàng.
Bài 218: Cho ABC vuông tại B có A = 60� o
. Vẽ đường phân giác AD (D � BC). Qua D dựng đường thẳng vuông góc với AC tại M và cắt đường thẳng AB tại N. Gọi I là giao điểm của AD và BM. Chứng minh:
a, BAD = MAD.
b, AD là đường trung trực của đoạn thẳng BM. c, ANC là tam giác đều.
Bài 219: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD
a) Chứng minh MAB MDC và DC // AB
b) Gọi K là trung điểm của AC. Chứng minh BKD cân c) DK cắt BC tại O. Chứng minh 2 CO CM 3 d) BK cắt AD tại N. Chứng minh MKNO
Bài 220: Cho tam giác ABC vuông tại B, đường phân giác AD (D thuộc BC). Kẻ BO vuông góc với AD (O �
AD), BO cắt AC tại E. Chứng minh:
a) Hai tam giác ABO, AEO bằng nhau. b) Tam giác BAE cân.
c) AD là đường trung trực của BE.
d) Kẻ BK vuông góc với AC (K �AC). Gọi M là giao điểm của BK với AD. Chứng minh rằng ME song song với BC.
Bài 221: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC H AC ,� kẻ CK vuông góc với AB K AB�
a) Chứng minh AH = AK
b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh AI là trung trực của HK
c) Kẻ Bx vuông góc với AB tại B, gọi E là giao điểm của Bx với AC. Chứng minh BC là phân giác của �
HBE
d) So sánh CH với CE
Bài 222: Cho ABC vuông cân tại C. Tia phân giác của BAC� cắt cạnh BC tại E. Kẻ EK vuông góc với AB (K thuộc AB). Kẻ BDAE D AE�
a) Chứng minh rằng ACE AKE b) Chứng minh rằng AE CK
c) So sánh độ dài BE và EC
d) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm.
Bài 223: Cho ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D và trên cạnh AC lấy điểm E sao cho BD = CE a) Chứng minh CD = BE
b) Gọi I là giao điểm của CD và BE. Chứng minh AI là đường trung trực của BC c) Chứng minh BC // DC
d) Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BF = BD, EF cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của EF.
Bài 224: Cho MNP có M 90� o, kẻ MINP I NP� . Vẽ MK là phân giác của IMP,� K IP� . KẻKAMP A MP� KAMP A MP�
a) Chứng minh MKA MKI
b) Gọi giao điểm của AK và MI là B. Chứng minh MKBP và IA // BP. c) So sánh hai đoạn thẳng KP và BP
d) Các tia phân giác của �NMI
và MIN�
cắt nhau tại C; NC cắt MI ở D. Chứng minh D là trực tâm của MNK.