Bài 135: Cho ABC, trung tuyến BM, trọng tâm I. Trên tia M lấy K sao cho I là trung điểm BK. Gọi E là trung điểm KC.
a) Chứng minh M là trung điểm IK
b) Kẻ NI // KC N BC .� Chứng minh IN = KE = EC c) Chứng minh A, I, N thẳng hàng
d) Đường thẳng IE cắt AC tại D. Chứng minh
1CD AC CD AC
3
Bài 136: Cho ABC vuông cân tại A, có đường phân giác BD D AC� . Gọi H là hình chiếu của C trên đường thẳng BD. Lấy điểm E trên BD sao cho H là trung điểm của DE. Gọi F là giao điểm của CH và AB. đường thẳng BD. Lấy điểm E trên BD sao cho H là trung điểm của DE. Gọi F là giao điểm của CH và AB. Chứng minh rằng:
a) CDE là tam giác cânb) ABD ACF b) ABD ACF
c) So sánh các góc CBF và CFB d) DF // CE
Bài 137: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ trung tuyến AM .Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA .
a) Chứng minh : . Suy ra góc ACD vuông. b) Gọi K là trung điểm của AC . Chứng minh : KB = KD . c) KD cắt BC tại I, KB cắt AD tại N . Chứng minh : KNI cân.
Bài 138: Cho ABCvuông tại A, đường phân giác của góc B cắt AC tại D. Vẽ DH BC H BC � . a) Chứng minh: ABD HBD
b) Trên tia đối của AB lấy điểm K sao cho AK = HC. Chứng minh ba điểm K, D, H thẳng hàng.
Bài 139: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác góc B cắt AC tại E. Vẽ EH vuông góc với BC (H ∈BC) Gọi K là giao điểm của BA và HE. Chứng minh rằng:
a) ΔABE = ΔHBE
b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH c) EC = EK
Bài 140: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 6cm; AC = 8cm, phân giác B D.Kẻ DE ⊥ BC ( E ∈BC). Gọi F là giao điểm của BA và ED.
a) Tính độ dài cạnh BC? b) Chứng minh DF =DC
c) Chứng minh D là trực tâm của ∆BFC.
Bài 141: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm.
MAB MDC
a) Tính độ dài đoạn BC.
b) Vẽ AH ⊥ BC tại H. Trên HC lấy D sao cho HD = HB. Chứng minh: AB = AD.
c) Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho EH = AH. Chứng minh: ED ⊥ AC. d) Chứng minh BD < AE.
Bài 142: Cho ΔABC vuông tại A, kẻ phân giác BD của góc B (D thuộc AC), kẻ AH ⊥ BD, (H thuộc BD), AH cắt BC tại E.
a) Chứng minh: ΔBHA = ΔBHE. b) Chứng minh: ED ⊥ BC . c) Chứng minh: AD < DC.
d) Kẻ AK ⊥ BC (K thuộc BC). Chứng minh: AE là phân giác của góc CAK.
Bài 143: Cho ∆ABC vuông tại A, vẽ trung tuyến AM (M BC). Từ M kẻ MHAC, trên tia đối của tia MH lấy điểm K sao cho MK = MH.
a)Chứng minh ∆MHC = ∆MKB. b)Chứng minh AB // MH.
c)Gọi G là giao điểm của BH và AM, I là trung điểm của AB. Chứng minh I, G, C thẳng hàng.
Bài 144: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác góc B cắt AC tại I. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA
1. C/m tam giác ABI = tam giác EBI và suy ra góc BEI = 90o
2. Hai tia BA và EI cắt nhau tại D. C/m tam giác AID = tam giác EIC và suy ra tam giác IDC cân 3. C/m AE // DC.
Bài 145: Cho ∆ ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA a) C/m góc BAD = góc ADB
b) C/m Ad là phân giác của góc HAC
c) Vẽ DK vuông góc AC ( K thuộc AC). C/m AK = AH d) C/m AB + AC < BC + 2AH
Bài 146: Cho tam giác ABC vuông tại A,đường phân giác BD. Kẻ DEBC (EBC).Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE Chứng minh:
a/ABD =EBD
b/BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE c/ AD < DC
d/ADˆF EDˆC và E,D,F thẳng hàng
Bài 147: Cho ABC cân tại A (A) 900). Kẻ BDAC (D�AC), CE AB (E �AB),BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh: BD = CE
b) Chứng minh: BHCcân
d) Trên tia BD lấy điểm K sao cho D là trung điểm của BK. So sánh: ECB� và DKC�
Bài 148: Cho ABC có AB = 3 cm; AC = 5 cm; BC = 4 cm. a) Chứng tỏ tam giác ABC vuông tại B.
b) Vẽ phân giác AD ( D thuộc BC). Từ D, vẽ DE AC ( E AC). Chứng minh DB = DE.
c) ED cắt AB tại F. Chứng minh BDF = EDC rồi suy ra DF > DE. d) Chứng minh AB + BC > DE + AC.
Bài 149: Cho ABC vuông tại A có . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BA = BD. Tia phân giác của cắt AC tại I a/ Chứng minh BAD đều
b/ Chứng minh IBC cân
c/ Chứng minh D là trung điểm của Bc d/ ChoAB = 6cm. Tính BC, AC
Bài 150: Cho ABC vuông tại A và �ABC = 600
a) So sánh AB và AC ?
b) Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Qua D dựng đường thẳng vuông góc với BC cắt tia đối tia AB tại E. Chứng minh : ABC = DBE?
c) Gọi H là giao điểm của ED và AC . Chứng minh: tia BH là tia phân giác của �ABC? d) Qua B dựng đường vuông góc với AB cắt đường thẳng ED tại K.
Chứng minh : HBK đều ?
Bài 151: Cho ABC cân tại A (A) 900). Kẻ BDAC (D�AC), CE AB (E �AB), BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh: ABD ACE
b) Chứng minh: BHCcân c) Chứng minh: ED // BC
d) AH cắt BC tại K, trên tia HK lấy điểm M sao cho K là trung điểm của HM. Chứng minh: ACMvuông.
Bài 152: Cho ABC vuông tại C . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Kẻ qua D đường thẳng vuông góc với AB cắt BC tại E. AE cắt CD tại I.
a) Chứng minh AE là phân giác góc CAB b) Chứng minh AD là trung trực của CD c) So sánh CD và BC
d) M là trung điểm của BC, DM cắt BI tại G, CG cắt DB tại K. Chứng minh K là trung điểm của DB.
Bài 153: Cho tam giác ABC có BC = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của BM. Trên tia đối của tia NA lấy điểm E sao cho AN = EN. Chứng minh:
a) tam giác NAB = tam giác NEM ( 1 đ) b) Tam giác MAB là tam giác cân ( 1 đ) c) M là trọng tâm của tam giác AEC ( 1 đ)
d) AB > 2 3 AN
Bài 154: Cho ABC vuông tại A . Biết AB = 3cm, AC = 4cm. a) Tính BC.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ BH vuông góc với AM tại H, CK vuông góc với AM tại K. Chứng minh BHM = CKM
c) Kẻ HI vuông góc với BC tại I. So sánh HI và MK d) So sánh BH + BK với BC
Bài 155: Cho ABC cân tại A. Kẻ AH BC tại H. a) Chứng minh: ABH = ACH.
b) Vẽ trung tuyến BM. Gọi G là giao điểm của AH và BM. Chứng G là trọng tâm của ABC. c) Cho AB = 30cm, BH = 18cm. Tính AH, AG.
d) Từ H kẻ HD song song với AC ( D thuộc AB ). Chứng minh ba điểm C, G, D thẳng hàng.
Bài 156: Cho ABC vuông tại A. Đường phân giác BD. Vẽ DH BC (H � BC) a/ABD = HBD
b/ Gọi K là giao điểm của BA và HD.
Chứng minh : BD là đường trung trực của AH c/ Chứng minh : DK = DC
d/ Cho AB = 6cm; AC = 8cm. Tính HC ?
Bài 157: Cho ABC có AB = 9 cm , AC = 12 cm, BC = 15 cm. a) Chứng minh:ABC vuông.
b) Vẽ trung tuyến AM, tại M kẻ MH AC . trên tia đối của tia MH lấy điểm K sao cho MK = MH. Chứng minh: MHC = MKB.
BH cắt AM tại G. Chứng minh: G là trọng tâm của tam giác ABC
Bài 158: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC =4cm, BC = 5cm a. Tam giác ABC là tam giác gì ?
c. Chứng minh AE BD
d. Kéo dài BA cắt ED tại F. Chứng minh AE//FC.
Bài 159: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D. Từ D kẻ DE vuông góc với BC . Đường thẳng ED cắt BA tại F
a/. Chứng minh. Từ đó suy ra ?
b/. Chứng minh BD là đường trung trực của AE c/. So sánh AD và CD
d/. Chứng minh BD vuông góc với CF.
Có nhận xét gì về tam giác BCF ? (Hãy chứng minh)
Bài 160: Cho tam giác ABC (AB < AC) có AM là phân giác của góc A (M BC). Trên AC lấy D sao cho AD = AB.
a. Chứng minh: BM = MD
b. Gọi K là giao điểm của AB và DM. Chứng minh: DAK = BAC c. Chứng minh: AKC cân
d. So sánh: BM và CM.
Bài 161: Cho ABC cân tại A (A) 900). Kẻ BDAC (D�AC), CE AB (E �AB), BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh: BD = CE
b) Chứng minh: BHCcân
c) Chứng minh: AH là đường trung trực của BC
d) Trên tia BD lấy điểm K sao cho D là trung điểm của BK. So sánh: ECB�
và DKC�
Bài 162: Cho ABC có AB = 3 cm; AC = 5 cm; BC = 4 cm. a) Chứng tỏ tam giác ABC vuông tại B.
b) Vẽ phân giác AD ( D thuộc BC). Từ D, vẽ DE AC ( E AC). Chứng minh DB = DE.
c) ED cắt AB tại F. Chứng minh BDF = EDC rồi suy ra DF > DE. d) Chứng minh AB + BC > DE + AC.
Bài 163: Cho ABC vuông tại A có . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BA = BD. Tia phân giác của cắt AC tại I a/ Chứng minh BAD đều
b/ Chứng minh IBC cân
c/ Chứng minh D là trung điểm của Bc d/ ChoAB = 6cm. Tính BC, AC
Bài 164: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao cho BK = BC. Vẽ KH vuông góc với BC tại H và cắt AC tại E.
a) Vẽ hình và ghi GT – KL ? b) KH = AC
c) BE là tia phân giác của góc ABC ? d) AE < EC ?
Bài 165: Cho ABC cân tại A (�A900).
Kẻ BDAC (D�AC), CE AB (E � AB), BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh: BD = CE
b) Chứng minh: BHCcân
c) Chứng minh: AH là đường trung trực của BC
d) Trên tia BD lấy điểm K sao cho D là trung điểm của BK. So sánh: ECB�
và �DKC
Bài 166: Cho ABC vuông tại A có C = 300 . Vẽ đường phân giác góc B cắt AC tại M. Từ M kẻ ME vuông góc BC (E thuộc BC)
a) Chứng minh: ABM = EBM b) Chứng minh: ABE là tam giác đều
c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = CE. Chứng minh: D, M, E thẳng hàng
Bài 167: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm a) Tam giác ABC là tam giác gì ?
b) Vẽ BD là phân giác góc B. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho AB = BE. Chứng minh AD = DE.
c) Chứng minh AE BD
d) Kéo dài BA cắt ED tại F. Chứng minh AE//FC.
Bài 168: Cho ABC cân tại A, kẻ AHBC. Biết AB = 5cm, BC = 6cm a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH?
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A, G, H thẳng hàng? c) Chứng minh: ABG = ACG?
Bài 169: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB < AC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Kẻ AH vuông góc với BC, lấy K trên AC sao cho AH = AK.
a) Chứng minh BDA và DAC phụ nhau ; b) Chứng minh AD là phân giác của góc HAC. c) Chứng minh DK AC .
Bài 170: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA.
a/ Chứng minh: AC = EB và AC // BE
b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng.
c/ Từ E kẻ EHBC (H � BC). Biết góc HBE bằng 500; góc MEB bằng 250, tính các góc HEM và BME ?
Bài 171: Cho ABC cân tại A (A�900); các đường cao BD; CE (D AC; E AB) cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: ABD = ACE. b) BHC là tam giác gì, vì sao? c) So sánh đoạn HB và HD?
d) Trên tia đối của tia EH lấy điểm N sao cho NH < HC; Trên tia đối của tia DH lấy điểm M sao cho MH = NH. Chứng minh các đường thẳng BN; AH; CM đồng quy.
Bài 172: Cho tam giác ABC cân tại A có A = 130� 0. Trên cạnh BC lấy một điểm D sao cho CAD = 50� 0 . Từ C kẻ tia Cx song song với AD , tia Cx cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh rằng AEC là tam giác cân.
b) Trong AEC, cạnh nào là cạnh lớn nhất, vì sao ?
Bài 173: Cho ΔABC vuông tại A có trung tuyến CK. Trên tia đối của tia KC lấy D sao cho K là trung điểm của CD.
a) Chứng minh : AB vuông góc với DB.
b) Vẽ AMCD tại M, BNCD tại N. Chứng minh : AM = BN. c) Chứng minh : 2
AC BC CK
.
d) Vẽ đường cao KH của ΔBKC. Chứng minh các đường thẳng CA, HK, BN đồng qui.
Bài 174: Cho ΔABC vuông tại A có AB =8 cm; BC = 10 cm. a) Tính độ dài cạnh AC và so sánh các góc của ΔABC.
b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng BD.Chứng minh ΔBCD cân. c) Gọi H là trung điểm của cạnh BC, đường thẳng DH cắt cạnh AC tại M. Tính MC.
d) Đường trung trực d của đoạn thẳng AC cắt đường thẳng DC tại P. Chứng minh ba điểm B, M, P thẳng hàng.
Bài 175: Cho tam giác ABC cân ở A, kẻ BD vuông góc với AC; CE vuôn góc với AB (D thuộc AC ; E thuộc AB). Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh :
b) AI là tia phân giác của góc BAC
c) Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh 3 điểm A, I, M thẳng hàng.
Bài 176: Cho tam giác ABC cân ở A, kẻ BD vuông góc với AC; CE vuôn góc với AB (D thuộc AC ; E thuộc AB). Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh :
a) BD = CE
b) AI là tia phân giác của góc BAC
c) Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh 3 điểm A, I, M thẳng hàng.
Bài 177: Cho ABC có cạnh AB = AC, M là trung điểm của BC. a) Chứng minh ABM = ACM.
b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh AC = BD. c) Chứng minh AB // CD
d) Trên nửa mặt phẳng bờ là AC không chứa điểm B, vẽ tia Ax // BC lấy điểm I� Ax sao cho AI = BC. Chứng minh 3 điểm D, C, I thẳng hàng.
Bài 178: Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn, AB > BC). Gọi H là trung điểm của BC. a) Chứng minh DAHB = DAHC và AH vuông góc với BC tại H.
b) Gọi M là trung điểm của AB. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt tia HM tại D. Giả sử AB =20cm,
12
AD = cm. Chứng minh AD = BH. Tính độ dài đoạn AH.
c) Tia phân giác của góc BAD cắt tia CB tại N. Kẻ NK vuông góc với AD tại K, NQ vuông góc với AB tại Q. Chứng minh AQ = AK và � 0 1� 45 4 ANQ = + BAC . d) CD cắt AB tại S. Chứng minh BC <3.AS.
Bài 179: Cho ABCcân tại A, kẻ AM BC tại M. Kẻ ME AB tại E, MF AC tại F.