Ta đã có mô hình I/O thuần túy được giới thiệu ở Chương 1 với phương trình cơ bản nhất:
X = AX + Y Khi áp dụng lý thuyết số mờ vào mô hình này, ta có một số định nghĩa sau: Khi áp dụng lý thuyết số mờ vào mô hình này, ta có một số định nghĩa sau:
𝐴 ̅ = [𝑎̅𝑖𝑗]
𝑚×𝑚 là ma trận vuông cỡ 𝑚 × 𝑚 gồm các số mờ 𝑎̅𝑖𝑗 = (𝑎𝑖𝑗1, 𝑎𝑖𝑗2, 𝑎𝑖𝑗3, 𝑎𝑖𝑗4) trong đó 0 ≤ 𝑎𝑖𝑗1 ≤ 𝑎𝑖𝑗2 ≤ 𝑎𝑖𝑗3 ≤ 𝑎𝑖𝑗4 ≤ 1 đại diện cho ma trận mờ hệ số chi phí trung gian trực tiếp. Ví dụ, nếu chính xác là 0.7 hay 70% có thể thay bởi số mờ dạng tam giác (0.6 , 0.7, 0.8). Nếu là con số nằm giữa 0.3 và 0.4 có thể thay bởi số mờ dạng hình thang (0.2, 0.3, 0.4, 0.5).
Véc tơ 1 chiều 𝑌 ̅ = [𝑦̅𝑖]𝑚×1 là véc tơ nhu cầu cuối cùng dạng số mờ hình thang. Véc tơ 1 chiều 𝑋 ̅ = [𝑥̅𝑖]𝑚×1 là véc tơ giá trị sản xuất dạng số mờ hình thang. Khi đó, ta có phương trình cơ bản của bảng I/O dạng số mờ sẽ là:
𝑋 ̅ = 𝐴 ̅ . 𝑋 ̅ + 𝑌̅
Từ đó, để áp dụng được mô hình bảng I/O, ta tìm ma trận hệ số chi phí toàn phần (ma trận Leontief) bởi ma trận nghịch đảo dạng số mờ:
𝑋 ̅ = (𝐼 − 𝐴 ̅ )−1. 𝑌̅ (*)
𝐴̅(•)𝐵̅
27
Để tính toán được ma trận nghịch đảo này, ta dựa vào việc tính toán các tập mức 𝛼
của các số mờ. Tuy nhiên, vì các phần tử của ma trận 𝐴 ̅ là các số mờ dạng hình thang hoặc tam giác nên việc tính toán thường sẽ là xấp xỉ dựa trên tâp mức 𝛼 của các số mờ đó.
Cụ thể hơn, với mỗi mức 𝛼 , ta đặt:
𝑎̅𝑖𝑗𝛼 = [𝑎𝑖𝑗𝑙𝛼 , 𝑎𝑖𝑗𝑢𝛼 ]
𝑌̅𝑖𝛼 = [𝑦𝑖𝑙𝛼 , 𝑦𝑖𝑢𝛼]
𝑋̅𝑖𝛼 = [𝑥𝑖𝑙𝛼 , 𝑥𝑖𝑢𝛼]
Dễ thấy, 𝑌̅𝑖0 = [𝑦𝑖1 , 𝑦𝑖4] và 𝑋̅𝑖0 = [𝑥𝑖1 , 𝑥𝑖4]. Còn khi 𝛼 thay đổi, ta sẽ được các giá trị khoảng 𝑌̅𝑖𝛼 và 𝑋̅𝑖𝛼 theo từng mức khác nhau.
Đặt 𝐴𝑙𝛼 = [𝑎𝑖𝑗𝑙𝛼 ], 𝐴𝑢𝛼 = [𝑎𝑖𝑗𝑢𝛼 ], 𝑌𝑙𝛼 = [𝑦𝑖𝑙𝛼], 𝑌𝑢𝛼 = [𝑦𝑖𝑢𝛼], 𝑋𝑙𝛼 = [𝑥𝑖𝑙𝛼], 𝑋𝑢𝛼 = [𝑥𝑖𝑢𝛼]. Khi đó, ta sẽ xấp xỉ phương trình ma trận Leontief dạng số mờ (*) ở trên bởi hai phương trình sau:
𝑋𝑙𝛼 = (𝐼 − 𝐴𝛼𝑙)−1. 𝑌𝑙𝛼 (3.1) và 𝑋𝑢𝛼 = (𝐼 − 𝐴𝛼𝑢)−1. 𝑌𝑢𝛼. (3.2)
Việc tồn tại ma trận 𝑋 ̅ là do ma trận (𝐼 − 𝐴 ̅ ) phải khả nghịch. Trong ma trận hệ số dạng số mờ, điều kiện để ma trận này khả nghịch dựa trên định lý sau:
Định lý : (J.J.Buckley)
Nếu ∑𝑚𝑖=1𝑎𝑖𝑗4 < 1 với mọi j thì ma trận (𝐼 − 𝐴 ̅ ) là khả nghịch và từ đó, ma trận 𝑋 ̅ là tồn tại.
Chứng minh của định lý ( xem trong Buckley, J.J., "Fuzzy input output Analysis")