B. PHẦN NỘI DUNG
2.1.3. Kiến thức cơ bản về phương trìnhlượng giác
2.1.3.1 .Cảcphương trình lượng giác cơ bản
1.Phương trình s in x = CL (1)
• Nếu \a\ > 1 thì (1) vô nghiệm
• Nếu \a\ < 1 thì (1) có nghiệm. Khi đó: X = a + k2ĩi
sinx = a <=> - t k e Z
.X = 71 — a + k27T
Trong đó, a là số đo rađian của cung lượng giác sao cho sin x = a hoặc
X = (3° + k360°
sinx = a <=^>
x = 180° - p° + k 3 6 0 ° ’
Trong đó(B°, là số đo bằng độ của cung lượng giác sao cho sin(30 = a
Chú ý: Trong một công thức nghiệm của một PTLG nói chung, phương trình sinx = a nói riêng, không được dùng đồng thời hai đon vị đo. Chẳng hạn viết, X = 30° + k2ĩi là sai.
Trường họp, sinx = a và — - < a < - thì ta viết a = arcsina (hoặc sin(3° = a, —90° < p° < 90° thì viết p° = arcsina) khi đó:
X = arcsina + k2u sinx = a <=> hoặc sinx = a <=^> . _ , k e Z .X = TT — arcsina + k2tt X = arcsina + k360° , k eZ X = 180° — arcsina + k360° 2. Phương trình c o sx = a (2 )
Tương tự như phương trình (1) • Nếu \a\ > 1 thì (1) vô nghiệm • Neu \a\ < 1 thì (1) có nghiệm
cosx = a <=> X = ± a + k2ĩivới cosa = a, k eZ
Nếu cosa = a thỏa mãn 0 < a < 71 (hay cos(3° = a, 0 < (3° < 180°) thì a = arccosa(hay (3= arccosa) thì
cosx = a <=> X = iarccosa + k 2 ĩ ĩ
hoặc cosx = a <=> X = ±arccosa + k360°
3.Phương trình ta n x = a (3 )
Điều kiên x ^ ^ - + k n 2
tanx = a<=^x = a + k ĩ i , với ta n a = a Nếu ta n a = a và — z < a < 7- thì a = arctana
2 2
tanx = a<=^x = arctana + kĩi
Công thức nghiệm tương tự trong trường hợp số đo bằng độ
4.Phu'ơng trình c o tx = a (4)
Điều kiện X ^ kĩĩ
cotx = a<=>x = a + kĩĩ, với cota = a
hoặccotx=a<=>x = arccota +kĩi với a = arccota thì cota = a và 0 <a <71 Chú ý: Bên cạnh các PTLG cơ bản (1),(2),(3),(4) ta có các PT dạng sinf(x)=sing(x),cosf(x)=cosg(x), tanf(x)=tang(x), cotf(x)=cot g(x).Công thức nghiệm của các PT nói trên tương tự như công thức nghiệm của các PT cơ bản
2.1.3.2. Một số phương trình lượng giác thường gặp
1. Phương trình bậc nhất với một số hàm lượng giác
PT có dạng at + b = 0, trong đó a, b là các hằng số với a ^ 0, t làmột trong các biểu thức sinx, cosx, tanx hoặc cotx.
Cách giải: Đưa về giải các PTLG cơ bản
2. Phương trình bậc hai đối một hàm số lượng giác
PT có dạng at2 + bt + c = 0, trong đó a, b, c là các hằng số với a Ỷ 0, t là
Cách giải: Đặt biểu thức lượng giác t làm ẩn phụ, đặt điều kiện cho ẩn phụ, giải PT theo ẩn phụ, loại các nghiệm của PT với ẩn phụ không thỏa mãn điều kiện đặt ra (nếu có). Rồi giải các PTLG cơ bản.
3.Phương trình bậc nhất đối với sỉnx và cosx
Phương trình có dạng: asinx + bcosx = c. Trong đó a, b, c là các hằng số với \la ^+ b ^ .
Cách giải: Chia 2 vế của phương trình cho yỊcP' +b^ .
Đặt cosa = 7 a ,sina = . ^ = . Ta được phương trình
2 4 0 ^
sin(x + a) = . = (1) và giải phương trình (1).
4 a 2 + b2
2.2. Quy trình dạy học phương trình lượng giác theo hướng bồi dưỡng năng ỉực tự học cho học sinh
2.2.1. Quy trình hưởng dẫn học sinh tự học
Trên cơ sở lí luận và thực tiễn đã nêu ở chương 1, tôi đề xuất quy trình tổ chức dạy học theo hướng bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh trên lóp gồm 4 bước như sau:
+ Bước 1: Tự nghiên cứu
- GV giới thiệu bài mới: nêu nhiệm vụ học tập và cách thức thực hiện để đạt được mục tiêu bài học; tạo động cơ học tập cho HS.
- HS huy động những kiến thức, kĩ năng đã học có liên quan đến bài mới thông qua trả lời câu hỏi do GV đưa ra
- HS đọc trước SGK, tài liệu tham khảo và tự xây dựng dàn ý nội dung
bài học theo yêu cầu.
• Phân chia nội dung thành ý
+ Bước2: Tự thể hiện và họp tác - GV chia lớp thành các nhóm nhỏ
- Các nhóm thảo luận và báo cáo kết quả huy động kiến thức cũ có liên quan đến bài mới.
- GV tổ chức cho học sinh thảo luận các câu hỏi trọng tâm do GV đưa ra -GV gọi HS nhận xét sau mỗi câu hỏi thảo luận (các nhóm có thể nêu câu hỏi thắc mắc nếu có).
-Sau khi HS nhận xét xong, GV nhận xét, chính xác hóa câu trả lời, GV nêu ra các chú ý cần thiết và nhấn mạnh các ý trọng tâm của từng câu hỏi và cho điểm phần trả lời của HS.
-GV hệ thống lại kiến thức trọng tâm của bài học +Bước 3: Vận dụng
-Yêu cầu HS làm bài vận dụng trong thời gian quy định.
- GV gọi HS lên bảng hoặc thu phần trả lời để kiểm tra mức độ hiểu bài của HS.
-Giao nhiệm vụ học tập ở nhà. Trong đó trình tự các câu hỏi và bài tập do GV thiết kế có chỉ rõ những câu hỏi bắt buộc, phần hướng dẫn HS làm những bài tập khó. Cuối cùng là yêu cầu đối với tiết học kế tiếp
+Bước 4: Tự đánh giá
- Trên cơ sở đối chiếu với mục tiêu bài học, GV dự kiến một số câu hỏi, bài tập và tổ chức cho học sinh tụ’ đánh giá về kết quả học tập của bản thân và của bạn.
Qua 4 bước dạy học vừa trình bày ở trên chúng ta thấy một số nét nổi bật sau:
-Hoạt động tự học của học sinh đã được thể hiện ở việc tự tóm tắt nội dung bài học, tự kiểm tra, tự điều chỉnh, tự giải quyết nhiệm vụ học tập.
-Có sự lích hụp của nhiều phưưng pháp dạy hục: phưưng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề, thảo luận nhóm,... nhưng nổi bật lên là phương pháp
tăng cường hoạt động tự học.
-Tất cả HS đều chủ động trong việc tiếp thu kiến thức.
-Việc kiếm tra - đánh giá - cho điếm không những tạo động cơ học tập, rèn luyện kĩ năng tự học, độc lập và tự tin đồng thời lấy được thông tin phản hồi.
-Việc củng cố, dặn dò là rất cần thiết vì HS hệ thống lại được toàn bộ nội dung tiết học một cách rõ ràng, liền mạch, đồng thời học sinh nắm được công việc phải thực hiện ở nhà.
2.2.2. Ví dụ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SINX = A
I.Mục tiêu 1. v ề kiến thức
-Biết phương trình lượng giác cơ bản sin X = a và công thức nghiệm, nắm
được điều kiện của a để các phương trình sin X = a có nghiệm.
-Biết cách sử dụng kí hiệu arcsina khi viết công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
2. v ề kĩ năng
- Giải thành thạo phương trình lượng giác cơ bản dạngsin X = a.
- Rèn luyện kĩ năng đọc SGK, tài liệu tham khảo, kĩ năng ghi chép. - Rèn luyện kĩ năng thảo luận nhóm, kĩ năng giao tiếp với thầy, bạn. -Rèn luyện kĩ năng ghi nhớ tri thức toán học và tự đánh giá của HS. 3. v ề tư duy và thái độ
- Biết quan sát và phán đoán chính xác, quy lạ về quen, rèn luyện tư duy logic - Tích cực hoạt động, tích cực phát huy tính độc lập trong học tập.
- Liên hệ được với nhiều vấn đề có trong thực tế với bài học. II. Chuẩn bị
- Giáo án, các giáo cụ học tập - Các phiếu học tập
2. Chuẩn bị của học sinh - Soạn bài trước khi đến lớp
- Giấy nháp, bảng phụ khi trình bày kết quả phiếu học tập III. Hình thức tổ chức dạy học
v ề cơ bản sử dụng phương pháp dạy học tự học đan xen hoạt động nhóm IV. Tiến trình dạy học
1. On định tổ chức lớp.
2. Bài mới
Bước ỉ: Tự nghiên cứu(Hưóng dẫn HS sử dụng SGK, tài liệu tham khảo)
GV: Yêu cầu HS đọc trước SGK từ trang 18,19, 20 và trên cơ sở đó kiểm tra HS học bài cũ và chuẩn bị bài mới bằng các câu hỏi ở phiếu học tập đã cho HS chuẩn bị ở nhà?
Câu hỏi hướng dẫn tự học
trước khi lên lớp Dự kiến câu trả lời ? 1 : Nêu tập xác định và tập giá trị của
hàm số y = sinx?
?2: Cho hàm số y = sinx, tìm một giá
trị của X để giá trị của hàm số bằng —,
bằng —2.
?3: Có bao nhiêu giá trị X thỏa mãn 2sinx - 1 = 0 ? □ 1 : Tập xác định D = E , tập giá trị T = [ - l ; 1] . 1 7Ĩ Ъп □2: + у = —: x = —, x = — , X = J 2 6 6 —lĩĩ 6
+ у = —2: Không có giá trị nào của X
thỏa mãn vì -1 < sinx < 1
ПЗ: Có vô số giá trị của X thỏa mãn 2sinx - 1 = 0
?4: Thê nào là phương trình lượng giác ?
?5: Các dạng PTLG cơ bản? Cho ví dụ về các PTLG cơ bản?
?6: Thế nào là giải phương trình lượng giác?
?7: Neu sinx = sina t h ì X = a và X
=n - a là nghiệm của phương trình có đúng không? Ngoài ra, PT còn có nghiệm nào khác không?
?8: Cho PT sinx = a (1)
+ Neu \a\> 1, nghiệm của PT như thế nào?
+ Neu \a\> 1, nghiệm của PT như thế nào?
+ Hãy viết nghiệm của PT (1) khi
a = arcsina
?9: Tống quát hơn, hãy viết nghiệm
□ 4: PTLG là phương trình có ân sô nằm trong các hàm số lượng giác □ 5: PTLG cơ bản là các PT có dạng: sinx = a, cosx = a, tanx = a, cotx = a, với a là hằng số.
Ví dụ: sinx = 1, 2cos2x + 1 = 0 , tanx = 0,...
□ 6: Giải PTLG là tìm tất cả các giá trị của ẩn số thỏa mãn PT đã cho, các giá trị này là số đo của các cung (góc) tính bằng radian hoặc bằng độ. □ 7: Đúng. Do hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2n nên X =
a + k 2 n v à X =7Ĩ - a + k 2 7 ĩ( k 6 Z )
□ 8: Neu \a\ > 1 thì (1) vô nghiệm + Nếu \a\ < 1 thì (1) có nghiệm
'X = a + k2ĩĩ
.X = TT — a + k 2 u
+ Neu a thỏa mãn điều kiện:
71 n
« 2 2 thì ta viêt a = arcsina
sin a = a
(đọc là ac-sin-a), nghiệm của (1) được viết là: X = arcsina + k 2 n hoặc
X = n - arcsina + k2n, k eZ
của phương trình sin /(x ) = sing(x)
? 10: Trong trường hợp đơn vị đo là độ, hãy viết nghiệm của PT
sinx = sin/?°?
?11: Cho PT sinx = a (1), khi a = 1, hãy xác định giá trị của cung X trên đường tròn lượng giác?
+ Căn cứ vào chu kì của hàm số sin hãy xác định nghiệm của PT (1)?
+ Xác định nghiệm của PT (1) khi a = -1, a = 0 <=> f(x) = g(x) + k2ĩĩ (k e Z ) f(x) = 71 — g(x) + k2ĩĩ n 10: sinx =sin/?° rx = p° + k 3 6 0 ° ^ Ix = 180° - (3° + k360°
□ ll:+ V ẽ đường tròn lượng giác, , k e Z xác định được X = — 2 + sinx = 1 ^ X - ĩ - + k2 n , k eZ 2 +sinx = -1 <=> X = — — + k2 n , k eZ 2 +sinx = 0<=> X =kn, k eZ
Bước 2: Tự thế hiện và hợp tác (Rèn luyện kĩ năng thảo luận nhóm, k ĩ năng giao tiếp với thầy, bạn; k ĩ năng ghi chép trong tự học toán).
GV: Trong thực tế, ta gặp những bài toán dẫn đến việc tìm các giá trị của X để nghiệm đúng những phương trình nào đó như 3sinx +2 = 0, 2sinx - 1 = 0 , 2cosx + tan2x - 1 =0... mà ta gọi là PTLG. Giải PTLG là ta tìm tất cả các giá
trị của X để thỏa mãn phương trình đã cho. Việc giải PTLG thường đưa về
giải các PTLG cơ bản có dạng sinx = a, cosx=a, tanx=a, cotx= a.
Nhiệm vụ các nhóm sẽ đi trả lời đối PT sinx = a thì điều kiện có nghiệm của PT là gì? Công thức nghiệm của PT? Cách viết nghiệm của PT sinx = a trong trường hợp số đo được cho bằng radian hoặc bằng độ.
GV : GV chia làm 4 nhóm, cho các nhóm thảo luận và báo cáo kết quả các câu hỏi từ ?1 - ?11. Sau đó cho các nhóm nhận xét các kết quả báo cáo.
GV: Đưa ra câu hỏi trọng tâm và tổ chức cho HS thảo luận, gọi HS trả lời ? 1: Có giá trị nào của X thỏa mãn phương trình sinx = -2 không?
HS:VÌ —1 < sin x < 1 nên không có giá trị nào của X thỏa mãn PT sinx = -2 ?2 : Đe giải phương trình sin x = a (1) ta phải làm gì? Tại sao?
HS: Dựa vào điều kiện -1 <sinx< 1 đế giải PT (1) ta xét hai trường hợp :
\a\> 1: Phương trình vô nghiệm
\a\< 1: Phương trình có nghiệm:x = a + k2n và X = 7T - a + k2n , k e Z
+ Neu a thỏa mãn điều kiện:
n n
< OL < —
2 2 thì ta viêt a = arcsina, nghiệm của
sin a = a
(1) được viết là: X = arcsina + k 2 n hoặc X = n - arcsina + k2n, k eZ
GV: Chú ý với HS
4- X = a + k2n hay X = n - a + k2n ( k e Z ) được gọi là một họ nghiệm củaP T (l)
ị- Trong một công thức nghiệm của PTLG không được dùng đồng thời hai đơn vị đo độ và radian.
HS: Theo dõi kết quả thảo luận và kết luận của GV để ghi lại các nội dung chính.
HS: Đại diện các nhóm nêu câu hỏi thắc mắc (nếu có). GV: Hệ thống lại các kiến thức trọng tâm của bài: + Giải PTLG là thế nào?
+ Điều kiện có nghiệm của PT sinx = a + Công thức nghiệm của PT sinx = a + Cách viết nghiệm của PT sinx = a
Bước 3: Vận dụng (Hướng dân HS ghi nhớ kiến thức thông qua các hoạt động giải toán)
GV cho HS làm ví dụ theo phiếu học tập
Câu hỏi hướng dẫn vận dụng Dự kiên câu trả lời +GV yêu câu HS làm bài tập 1 trong +HS làm bài
phiêu học tập
+ GV gọi HS lên bảng trình bày bài +Gọi HS nhận xét, bổ sung
+GV nhận xét và chính xác hóa lời giải và cho điểm
+HS lên bảng
+Theo dõi bài làm của bạn trên bảng và nhận xét bài của bạn, đối chiếu với bài làm của mình, sửa sai (nếu có)
GV: Giao nhiệm vụ về nhà cho HS làm tiếp các bài tập 2, 3, 4, 5, 6, 7 và chú ý bài tập 6, 7 là những bài tập khó dành cho HS giỏi. Yêu cầu đọc SGK trước trang 21-23 phần PT cosx = a
Bước 4: Tự đảnh giả (Rèn luyện kĩ năng tự đảnh giả của HS)
GV: Hướng dẫn HS lập danh sách những câu hỏi tự đánh giá như về việc thuộc và khả năng áp dụng công thức nghiệm PTLG cơ bản vào bài tập:
+ Kiến thức cần để giải PTLG? Nhớ được những công thức nào?
+ Nội dung được học trong bài, kiến thức nào đã hiểu, kiến thức nào đã hiểu? 4- Kiến thức nào khó?Nội dung nào dễ?
+ Kiến thức nào hiểu ngay từ đầu? Kiến thức nào hiểu sau khi nghe giảng? + Bài tập nào giải được, bài tập nào chưa giải được? Bài tập nào khó, bài tập nào dễ.
MỘT SÓ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
I.Mục tiêu
Qua bài học HS cần nắm 1)Ve kiến thức
Biết dạng và cách giải các PT bậc nhất và các PT đưa về dạng PT bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
-Giải được PT bậc nhất và các PT quy về PT bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
-Vận dụng được các công thức lượng giác đã học ở lóp 10 để biến đổi và đưa được PT về dạng PT bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
- Rèn luyện kĩ năng đọc SGK, tài liệu tham khảo.
- Rèn luyện kĩ năng thảo luận nhóm, kĩ năng giao tiếp với thầy, bạn
-Rèn luyện kĩ năng ghi nhớ kiến thức thông qua hoạt động giải toán và tự đánh giá của HS.
- Rèn luyện kĩ năng tư duy trừu tượng, khái quát hóa, tư duy logic,... 3)về thái độ
Học sinh có thái độ nghiêm túc, say mê trong học tập, biết quan sát và phán đoán chính xác.
ILChuẩn bị của giáo viên và học sinh GV: Giáo án, các dụng cụ học tập,...
HS: Soạn bài trước khi đến lớp, phiếu học tập . III.Hình thức tổ chức dạy học
v ề cơ bản sử dụng phương pháp dạy học tự học đan xen hoạt động nhóm IV. Tiến hành bài học
1. On định tổ chức lớp. 2. Bài mới.
1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Bước 1: Tự nghiên cứu (Rèn luyện k ĩ năng đọc SGK, tài liệu tham khảo)
GV: Yêu cầu HS đọc trước SGK trang 29, 30 và trên cơ sở đó kiểm tra HS học bài cũ và chuẩn bị bài mới bằng các câu hỏi phiếu học tập đã cho HS chuấn bị ở nhà?
Câu hỏi hướng dẫn tự học trước khi lên lóp
? 1: Công thức nghiệm của PT sinx=a, cosx=a, tanx=a, cotx=a.
?2: PT tanx = k luôn có nghiệm với