8. Cấu trúc đề tài
2.4.4.Dạng 4: Bài tập quỹ tích
Để giải được bài toán quỹ tích, ta cần nắm chắc các yếu tố nào là yếu tố cố định, yếu tố nào là yếu tố không đổi, yếu tố nào là yếu tố thay đổi, tìm cách liên hệ
D C B A y x 50o 50o 70o 2 2 2 3 E 1 2 1 3 3 D C B A 3 1 C 3 E 3 3 D B A 100o 80o 120o x C' C D' D A
yếu tố thay đổi (hoặc chuyển động, di chuyển) với các yếu tố cố định, yếu tố không đổi.
Trong nhiều trường hợp, người ta thường xác định vị trí các điểm quỹ tích trong một số trường hợp đặc biệt và dựa vào các kinh nghiệm sau để đoán ra hình dạng của quỹ tích:
+ Nếu các vị trí đặc biệt này thẳng hàng thì có khả năng quỹ tích này là đường thẳng (hoặc tia, đoạn thẳng)
+ Nếu các vị trí này là các điểm không thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đường tròn (hoặc cung tròn).
Việc làm này thường được gọi là phần đoán nhận quỹ tích. Cần biết rằng phần này không thuộc nội dung chứng minh quỹ tích. Nó chỉ giúp chúng ta dự đoán hình dạng, kích thước của quỹ tích và cũng cần cẩn thận vì có thể dẫn đến sai lầm, đôi khi do trực giác đánh lừa.
Thông thường người ta sử dụng 2 cách sau đây để giải bài toán quỹ tích: a) Đưa quỹ tích cần tìm về các quỹ tích cơ bản hoặc quỹ tích mà ta đã biết. b) Đưa việc tìm quỹ tích về việc chứng minh điểm thuộc một hình cố định.
Trong trường hợp này, hình cố định ấy (hoặc là một phần của nó) là quỹ tích cần tìm
Ví dụ: Bài tập 70 SGK trang 103 Toán 8 - Tập I
Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Oy sao cho OA = 2cm. Lấy B là một điểm bất kỳ thuộc tia Ox. Gọi C là trung điểm của AB. Khi điểm B di chuyển trên Ox thì điểm C di chuyển trên đường nào?
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán - Đọc đề, vẽ hình.
- Cái gì đã cho: + Góc vuông xOy
+ Điểm A thuộc tia Oy sao cho OA = 2cm + B là một điểm bất kỳ thuộc tia Ox + C là trung điểm của AB
- Cái gì phải tìm:
Điểm B di chuyển trên tia Ox thì điểm C di chuyển trên đường nào? Bước 2: Xây dựng chương trình giải:
y A D O C z H B x
H1: Trên hình dường thẳng nào cố định? Điểm nào cố định? Điểm nào di động? * Tia Ox, Oy là tia cố định, A thuộc tia Oy với OA = 2cm không đổi.
Điểm B di chuyển trên tia Ox, B là điểm không cố định, điểm C di động. H2: Hãy tìm mối liên hệ của điểm C với những yếu tố cố định?
* Điểm C có mối liên hệ với đoạn OA và tia Ox.
H2: Vẽ CH Ox mà H Ox từ giả thiết A Oy nên suy ra OA Ox. Kết hợp với CH Ox gợi cho ta điều gì?
* CH // OA
H3: Xét OAB có CH // OA mà điểm C là trung điểm AB (gt) suy ra điểm H là gì? Và CH là gì?
* H là trung điểm của OB
* CH là đường trung bình của OAB
H4: CH là đường trung bình của OAB ta suy ra được điều gì?
* CH = 2 1 OA = 2 1 . 2 = 1cm
H5: Vậy điểm C di động như thế nào?
* Điểm C cách đường thẳng Ox một khoảng bằng 1 cm mà B di chuyển trên Ox, nếu B trùng với O thì điểm C nằm trên tia Oy. Vậy C trùng với D mà D là trung điểm của OA. Khi B di chuyển trên tia Ox nên C di chuyển trên Oz và cách tia Ox một khoảng là 1 cm và tia Oz nằm trong xOy.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Vẽ CH Ox (H Ox ), AO Ox , CH Ox suy ra CH // AO
OAB có CH // AO, C là trung điểm của AB (gt) nên H là trung điểm OB suy ra
CH là đường trung bình của OAB nên CH =
2 1 OA = 2 1 . 2 = 1cm
Điểm C cách đường thẳng Ox cố định một khoảng bằng 1 cm nên C thuộc đường thẳng song song với Ox, cách Ox một khoảng 1 cm khi B trùng với O thì C trùng với D (D là trung điểm của OA). Do B chỉ di chuyển trên tia Ox nên C chỉ di chuyển trên tia Dz song song với Ox, cách Ox một khoảng 1cm và tia Dz nằm trong
xOy.
H6: Hãy kiểm tra lại kết quả của bào toán.
H7: Với bài toán này có cách giải nào khác không? Đó là cách nào? * Cách khác:
Nối CO
Tam giác vuông AOB có AC = CB (gt). OC là đường trung tuyến của tam giác.
OC = AC =
2 AB
(tính chất tam giác vuông).
Có OA cố định C di chuyển trên Dz thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA H8: Đề xuất bài toán khác có các giải tương tự.
Bài 1: Cho góc vuông xOy cố định, điểm A cố định trên tia Oy, điểm B chuyển động trên tia Ox. Tìm tập hợp các trung điểm M của AB.
Bài 2: Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Oy sao cho OA = 2cm. Lấy B là một điểm bất kỳ thuộc tia Ox. Gọi C2 là điểm trên đoạn thẳng AB sao cho AB = 4BC. Khi điểm B di chuyển trên tia Ox thì điểm C2 di chuyển trên đường nào?
Bài 3: Cho góc xOy, xOy= 30o
, điểm A thuộc tia Oy sao cho OA = 2cm. Lấy B là một điểm bất kỳ thuộc tia Ox. Gọi G là trọng tâm của OAB. Khi điểm B di chuyển trên tia Ox thỉ điểm G di chuyển trên đường nào?
Phân tích:
Thông qua lược đồ hướng dẫn giải toán của G. Pôlya ở bài toán này HS sẽ được bồi dưỡng các năng lực sau đây:
- Phân tích, tổng hợp: thông qua việc tìm hiểu đề toán, hệ thống câu hỏi gợi mở cho HS ở phần xây dựng chương trình giải để gợi ra cho HS hướng làm bài hay giải quyết bài toán thêm dễ dàng hơn. Qua hệ thống câu hỏi gợi ý các em có thói quen, kĩ năng, kĩ xảo khi bước vào làm một bài toán.
- Rèn cho HS khả năng dự đoán quỹ tích.
- Năng lực khai thác bài toán: thông qua bước nghiên cứu lời giải.
- Rèn luyện năng lực lập luận lôgic: thông qua bước trình bày lời giải HS phải lập luận thật chặt chẽ, lôgic để diễn tả lại bài làm.
Hệ thống bài toán giúp HS rèn luyện năng lực giải toán bằng lược đồ G. Pôlya
Bài 1: Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d và có khoảng cách đến d bằng 2cm. Lấy điểm B bất kỳ thuộc đường thẳng d. Gọi C là điểm đối xứng với điểm A qua điểm B. Khi điểm B di chuyển trên đường thẳng d thì điểm C di chuyển trên đường nào?
Bài 2: Cho đoạn thẳng AB. Kẻ tia Ax bất kỳ. Trên tia Ax lấy các điểm C, D, E sao cho AC = CD = DE. Qua C, D kẻ các đường thẳng song song với BE. Chứng minh rằng đoạn thẳng AB bị chia thành ba phần bằng nhau.
Bài 3: Cho góc xOy cố định, điểm A cố định thuộc tia Oy, điểm B di chuyển trên tia Ox. Tìm quỹ tích trọng tâm G của AOB.
Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM. Điểm I di chuyển trên đường nào?
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.
a) So sánh các độ dài AM, DE.
b) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất.
Bài 6: Cho góc vuông xOy, điểm A cố định trên tia Oy, điểm B di chuyển trên tia Ox. Vẽ tam giác đều ABC (C và O nằm khác phía đối với AB).
a) Tìm tập hợp các điểm C.
b) Tìm tập hợp các trung điểm M của AC.
Bài 7: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMD, BME. Trung điểm I của DE di chuyển trên đường nào?
Hướng dẫn giải:
Bài 1: Kẻ AHCK vuông góc với d. AHB = CKB (cạnh huyền – góc nhọn)
CK = AH = 2cm.
Điểm C cách đường thẳng cố định một khoảng không đổi 2cm nên C di chuyển trên đường thẳng m song song với d và cách d một khoảng bằng 2cm.
Bài 2:
Cách 1: Sử dụng tính chất của đường trung bình của tam giác và của hình thang.
Cách 2: Sử dụng tính chất của các đường thẳng song song cách đều.
Bài 3:
Gọi E là trung điểm của AG. AE = EG = GM.
Qua G, E kẻ các tia Gz, Et song song với Ox cắt OA theo thứ tự tại P và Q, ta có ngay:
AQ = QP = PO =
3 1
OA.
Vậy trọng tâm G di chuyển trên tia Pz. Bài 4:
Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB và AC theo thứ tự ở P và Q.
AMB có AI = IM, IP // BM nên P là trung điểm của AB. Chứng minh tương tự, Q là trung điểm của AC. Các điểm P và Q cố định. Vậy điểm I di chuyển trên đoạn thẳng PQ (P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC).
Bài 5:
a) Tứ giác ADME có ba góc vuông nên là hình ch ữ nhật. Do đó AM = DE.
b) Kẻ AHBC. Ta có DE = AM ≥ AH. Dấu “=” xảy ra khi M trùng H.
Vậy DE có độ dài nhỏ nhất bằng AH khi M là chân đường cao kẻ từ A đến BC.
Bài 6:
a) Vẽ AOD đều (D nằm trong góc xOy) thì D là điểm cố định (D là vị trí đặc biệt của C khi B trùng O) x N M E D C B A M I Q P C B A D E M H C A B
Ta chứng minh được ADC= 90o
, suy ra tập hợp C là tia DzAD tại D.
b) Tiếp tục chứng minh M cách Dz khoảng cách không đổi để suy ra tập hợp của M là tia Et // Dz (E là trung điểm của AD).
Bài 7:
Gọi C là giao điểm của AD và BE. Ta có ABC đều và cố định. Vì ADME là hình bình hành, I là trung điểm của DE nên là trung điểm của CM. Từ đó chứng minh được I di chuyển trên đoạn thẳng PQ (P, Q theo thứ tự là trung điểm của AC, BC).
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Trên đây là 4 dạng toán thường gặp trong chương trình hình học 8. Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau và có thể chia thành các dạng nhỏ trong mỗi dạng. Việc chia dạng trên đây chủ yếu dựa vào lời văn để phân loại, nhưng đều có điểm chung nhau ở việc vận dụng các bước giải lược đồ giải toán của G. Pôlya.
Mỗi dạng tôi chọn một số bài toán điển hình có tính chất giới thiệu về việc áp dụng lược đồ giải toán của G. Pôlya.
Đó là các dạng tính toán, chứng minh, dựng hình, quỹ tích (trong chương I: Tứ giác) các em sẽ làm quen trong Toán trung học.
Những ví dụ ở trên tôi không có ý thiên về hướng dẫn cách giải bài toán mà chủ yếu gợi ý giúp các em xây dựng được các bước giải cơ bản. Để khi gặp các dạng toán như trên các em hiểu và biết cách làm. Đó chính là nội dung mà nhóm tôi đã nghiên cứu trong chương 2. Thực tế áp dụng đề tài này vào giảng dạy đạt được kết quả như thế nào được nhóm tôi thể hiện ở Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. Mục đích thực nghiệm
Để nắm được những khó khăn của HS trong việc vận dụng lược đồ G. Pôlya để giải các dạng toán hình học 8.
Thấy được hiệu quả của việc vận dụng lược đồ G. Pôlya trong việc giải các dạng toán hình học.
3.2. Địa điểm và thời gian
Trường Trung Học Cơ Sở Phú Lộc Lớp 8A1, buổi sáng tiết 1, 2. Trường THCS Hòa Đông Lớp 8A2, buổi sáng tiết 1, 2.
Trường THCS Long Hòa Lớp 8A1, buổi sáng tiết 3, 4.
Thời gian tiến hành thực nghiệm vào tuần 4, tuần 10 học kì 1 năm học 2010 - 2011.
3.3. Nội dung thực nghiệm
Áp dụng lược đồ G. Pôlya để bồi dưỡng năng lực giải toán hình học ở lớp 8 ở các trường: Trường THCS Phú Lộc - Huyện Thanh Trị - Thành phố Sóc Trăng, Trường THCS Hòa Đông – Vĩnh Châu – Sóc Trăng, Trường THCS Long Hòa – Cần Thơ. Tôi nhận thấy có hiệu quả khá cao, giúp HS phát triển các năng lực giải toán đồng thời rèn luyện cho HS thói quen lập luận lôgic trong quá trình giải toán. Để làm được điều đó chúng tôi phải đầu tư soạn giảng cho từng tiết dạy, mọi câu hỏi đặt ra phải phù hợp với mọi đối tượng HS, đồng thời tăng cường dự giờ trao đổi kinh nghiệm chuyên môn với các bạn đồng nghiệp để chất lượng giảng dạy ngày càng được nâng cao.
Trước khi vào nội dung luyện tập giải một số bài tập hình học bằng cách vận dụng lược đồ giải toán G. Pôlya. Tôi tiến hành khảo sát năng lực giải toán của HS bằng một bài toán chứng minh của hai HS lớp 8 tại 3 điểm trường trên. Qua bài làm của HS tôi nhận thấy:
HS1: Phương pháp lập luận của các em còn quá yếu, khả năng suy luận của các em còn hạn chế, không biết khái quát hay hệ thống bài toán như thế nào?
HS2: Biết đọc đề, vẽ hình và ghi giả thiết, kết luận, nhưng không khai thác đề bài toán để đi đến điều yêu cầu của bài toán.
Qua kết quả khảo sát trên để giúp HS có phương pháp giải tốt bài toán hình học tôi hướng dẫn cho HS thực hiện theo trình tự các bước sau:
Bước 1: Tìm hiều đề bài: Đọc kỹ đề bài, vẽ hình chính xác theo yêu cần bài toán, ghi giả thiết, kết luận
Bước 2: Xây dựng chương trình giải. Phân tích giả thiết đề bài để tìm hướng đi đến kết luận.
Bước 3: Thực hiện giải bài toán: Sau khi phân tích tìm được hướng giải cho bài toán HS sẽ tiến hành giải theo trình tự các bước.
Bước 4: Nghiên cứu cách giải: Sau khi HS giải xong tìm xem còn có cách nào khác hay không, hay phát hiện ra một bài toán khác tương tự không.
Đó cũng là bước đầu cho các em làm quen với lược đồ giải toán của G. Pôlya mà chúng ta sẽ cùng nhau trao đổi qua 2 tiết luyện tập (giáo án được thể hiện ở phần phụ lục).
3.4. Kết quả thực nghiệm, phân tích kết quả thực nghiệm
Bảng thống kê kết quả kiểm tra
Qua kết quả thi chất lượng giữa kỳ môn toán cũng được nâng dần lên như sau:
* Phân tích kết quả thực nghiệm
Sau khi áp dụng đề tài vào việc giảng dạy ở các trường THCS Long Hòa, THCS Hòa Đông, THCS Phú Lộc tôi nhận thấy các em hứng thú học tập hơn trong việc giải các bài tập hình học, không còn lo sợ chán nản khi vào học một tiết hình học, HS hiểu bài và giải được một số dạng bài tập cơ bản của chương.
Đối với HS khá giỏi, các em biết phân tích kỹ và tìm hiểu sâu bài toán, vận dụng linh hoạt sáng tạo ở các dạng vừa học, nhờ vậy mà các bài toán GV đưa ra đều
Giỏi Khá TB Yếu Kém Trường Lớp TS % TS % TS % TS % TS %. THCS LH 8A1 (35 HS) 10 28,6 20 57,1 5 14,3 THCS HĐ 8A2 (30 HS) 8 26,7 18 60 4 13,3 THCS PH 8A3 (32 HS) 12 37,5 16 50 4 12,5
được các em đề ra hướng giải quyết một cách nhanh chóng và phần trình bày lời giải cũng khá rõ ràng, mạch lạc. Ngoài ra các em còn tìm được cách giải khác cho bài toán.
Đối với HS trung bình các em ghi được giả thiết, kết luận và vẽ được hình, phân tích được bài toán, xác định được cách chứng minh nhưng còn chậm . Đôi khi trình bày lời giải cũng chưa đầy đủ và rõ ràng. Khi đã chứng minh được các em đã