Phương pháp ngoại suy tín hiệu với dải tần hữu hạn

3 Ứng dụng của toán tử không giãn trung bình

3.4 Phương pháp ngoại suy tín hiệu với dải tần hữu hạn

Trong kỹ thuật xử lý tín hiệu, người ta nói tín hiệu f ∈ L2(R)có giải tần bị chặn nếu biến đổi Fourier của nó chỉ khác không trên đoạn hữu hạn của miền tần số. Nếu biết

f(t)trên một đoạn hữu hạn nào đó, ta có thể xác định được biến đổi FourierF(ω)của nó và do đó xác định được f(t) ngoài đoạn đó, nói cách khác là ta có thể ngoại suy hàm f(t) ngoài "cửa sổ". Tuy nhiên trong thực tế, người ta chỉ biết giá trị của f(t)tại một số điểm "lấy mẫu" rời rạc làtn =a+n∆.

Cho f(t)vàF(ω)là cặp biến đổi Fourier, vớitvàωlà các biến thực, F(ω) = +∞ Z −∞ f(t)eitwdt, f(t) = 1 2π +∞ Z −∞ F(ω)e−itωdω.

Giả sử F(ω) = 0,với |ω| > Ω, Ωlà một số dương. Hàm f(t)được gọi làΩ−giải tần hữu hạn.

Tiếp theo, giả sửF(ω)là hàm có giá trên đoạn[−Ω,Ω], vớiΩ <π. Dãy hệ số Fourier củaFđược kí hiệu là f(n),n∈ {M,M+1, . . . ,N}. Xét hàmG(Ω)và hàm

ΩG(ω) = (

G(ω) nếu |ω| ≤Ω, 0 nếu ngược lại.

Xét dãy các hệ số Fourier g = g(n) và đặt Dg có thứ tự các hạng tử là g(n) nếu n ∈ {M,M+1, . . . ,N} và nhận các giá trị0 trong các trường hợp còn lại. Đặt Fg = Glà toán tử được cho bởi

G(ω) = +∞

∑

n=−∞g(n)einω,

vớiω ∈ (−π,π).

Xét không gian Hilbert H = L2(−π,π),C1 = L2(Ω,Ω) vàC2 là tập tất cả các phần tử G(ω) củaH, với các hệ số Fourier thỏa mãng(n) = f(n), n ∈ {M,M+1, . . . ,N}. Khi đó, toán tử chiếu mêtric của hàmG(ω) ∈ HlênC1làΩG(ω)và toán tử chiếu của

G(ω)lênC2làF(D f + (I−D)F−1G).Xét dãy lặp (

F0(ω) = 0, với mọiω ∈ (−π,π)

Fk+1 =ΩF(D f + (I−D)F−1Fk), vớik =0, 1, . . . .

Để thực hiện thuật toán, ta cần tính toán những phần tử của dãy(I−D)F−1Fkvới các số nguyên dươngn ∈ {/ M,M+1, . . . ,N}. Hơn nữa ta có

Fk+1− Fk =ΩFD(f − fk) = ΩFak,

với D(f − fk) = ak =0, n ∈ {0, 1, . . . ,M−1}.DoF0 =0nên ta cóFk =ΩFbk,vớibk

thỏa mãnbk(n) =0, n∈ {/ M,M+1, . . . ,N}.Từ đó, ta suy ra giới hạnF∞ có dạng

F∞(ω) = Ω ∑N

n=M

với hệ số cn thích hợp. Hệ số cn có thể được xác định bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính f(m) = N ∑ n=M cnsinΩ(m−n) π(m−n) , vớim =M, . . . ,N. 3.5. Bài toán chấp nhận tách

Bài toán chấp nhận tách có nhiều ứng dụng trong khoa học và công nghệ, mà điển hình là trong phương pháp xạ trị với cường độ thay đổi IRMT (Intensively Modulated Radiation Therapy). Đây là phương pháp xạ trị rất tiên tiến với độ chính xác cao. Theo phương pháp IRMT, tia bức xạ với cường độ khác nhau được chiếu vào cơ thể người bệnh, nhằm cung cấp đủ liều bức xạ tới vùng cần chữa trị (planned target vol- umes = PTV) và hạn chế lượng bức xạ tới những vùng khác (organs at risk = OAR). Giả sử toàn vùng xạ trị của bệnh nhân với cấu trúc giải phẫuTgồm PTV và OAR, được chia thànhIđơn vị thể tích, viết tắt là voxels (volume elements). Kí hiệu{St}là tập hợp các voxels trong cấu trúc t ∈ T.Bức xạ được phát ra một cách độc lập từ J-tia. GọiRJ

là không gian cường độ chiếu xạ (intensity space) còn RI là không gian liều lượng phóng xạ được hấp thụ (dose space). Kí hiệu x = (xj)jJ=1 là véctơ cường độ chiếu xạ,

D = (dij), trong đó dij là lượng chiếu xạ được hấp thụ trong voxeli đối với một đơn vị cường độ từ tia thứ j.Gọih = (hi)Ii=1là véctơ liều lượng, trong đó thành phầnhilà tổng lượng chiếu xạ được hấp thụ trong voxeli,tức làhi =∑jJ=1dijxj,hayh= Dx.Đặt

Hm, m = 1, . . . ,M,là tập ràng buộc thứ mvề liều lượng, ví dụ lượng chiếu xạ không được vượt quá mức tối đa và không được thấp hơn mức tối thiểu, cònXn, n=1, . . . ,N,

là tập ràng buộc thứnvề cường độ. Ngoài ra, đặtX+ :={x ∈RJ : xj ≥0∀j∈ J}.

Bài toán đặt ra là tìm véctơ cường độ chiếu xạx∗thỏa mãn các điều kiện sau

x∗ ∈ X+∩(∩Nn=1xn);h∗ :=Dx∗ ∈ ∩Mm=1Hm.

Đây là một ví dụ thực tế về bài toán chấp nhận tách đa tập.

Xét bài toán chấp nhận tách tổng quát: Tìm điểmc ∈Cvới Ac∈ Qnếu tồn tại, trong đó Alà một ma trận thực cấp M×N,CvàQlà các tập lồi đóng, khác rỗng trongRN

vàRMtương ứng. Để giải bài toán, ta xét thuật toán CQ với bước lặp

xk+1=PC(xk−γAT((I−PQ)Axk),

với γ ∈ 0, 2

ρ(ATA)

. Thuật toán CQ sẽ hội tụ tới nghiệm của bài toán chấp nhận tách với phần tử đầu vàox0, nếu bài toán có nghiệm. Còn trong trường hợp bài toán không có nghiệm thì thuật toán sẽ hội tụ đến điểm cực tiểu của hàm

f(x) = 1

2kPQAx−Axk 2.

Do vậy thuật toán CQ giống với phương pháp chiếu gradient giải bài toán tối ưu có ràng buộc. Hàm f(x)là hàm lồi, khả vi trênRN và đạo hàm của nó là

∇f(x) = AT(I−PQ)Ax.

Mệnh đề 3.1. Toán tử đạo hàm∇f làλ−liên tục Lipschitz vớiλ =ρ(ATA). Do vậy ∇f là

ν−đơn điệu mạnh ngược vớiν= 1

λ. Chứng minh. Ta có k∇f(x)− ∇f(y)k2=kAT(I−PQ)Ax−AT(I−PQ)Ayk2 ≤λk(I−PQ)Ax−(I−PQ)Ayk2 =λkAx−Ayk2+λkPQAx−PQAyk2 −2λ PQAx−PQAy,Ax−Ay .

DoPQ là toán tử không giãn vững nên PQAx−PQAy,Ax−Ay ≥ kPQAx−PQAyk2. Từ đó suy ra k∇f(x)− ∇f(y)k2≤λkAx−Ayk2− kPQAx−PQAyk2 ≤λkAx−Ayk2 ≤λ2kx−yk2.

Nếu γ ∈ 0, 2

λ

thì toán tửB := PC(I−γAT(I−PQ)) là toán tử không giãn trung bình. Khi đó nếuB có điểm bất động thì quỹ đạo của dãy{Bkx} hội tụ yếu đến điểm bất động củaB.

Giả sửz= PC(z−γAT(I−PQ)Az). Do đó, với bất kì điểmc ∈ Cthì D

c−z,z−(z−γAT(I−PQ)AzE≥0

hay

D

c−z,AT(I−PQ)AzE≥0.

Suy razlà điểm cực tiểu của f(x) trênC. Thuật toán CQ sử dụng tham sốγ ∈ (0, 2L), với L là giá trị riêng lớn nhất của ma trận ATA. Việc lựa chọn giá trị tham số tốt nhất nói chung là không dễ dàng. Vì vậy người ta đã đề xuất các phương pháp lặp thích nghi không sử dụng giá trịL.

Kết luận

Trong luận văn này tác giả đã tìm hiểu và trình bày một số các lớp toán tử không giãn cùng với các thủ tục, dãy lặp trong không gian Hilbert thực giải quyết nhiều bài toán ứng dụng thực tế trong chụp cắt lớp ảnh thuộc ngành y học hay kỹ thuật khôi phục tín hiệu có giải tần bị chặn.

Như vậy, đóng góp chính của luận văn gồm:

1. Trình bày tổng quan toán tử không giãn, toán tử không giãn vững, toán tử đơn điệu mạnh ngược.

2. Tìm hiểu về toán tử không giãn trung bình, toán tử chiếu mêtric và hai phương pháp kết hợp cho sự hội tụ mạnh của phép lặp là phương pháp lai ghép và phương pháp xấp xỉ gắn kết.

3. Một số ứng dụng thực tế của lớp các toán tử: bài toán tối ưu có ràng buộc, bài toán chấp nhận lồi, bài toán chấp nhận tách trong phương pháp xạ trị rất tiên tiến với độ chính xác cao, kĩ thuật khôi phục đại số trong xử lý ảnh, bài toán khôi phục tín hiệu có giải tần bị chặn trong kĩ thuật xử lý tín hiệu.

Tài liệu tham khảo

[1] Charles Byrne,A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction,Institute of Physics Publishing, 20 (2003), pp 103-120.

[2] Kazuhide Nakajo and Wataru Takahashi,Strong convergence theorems for nonexpan- sive mappings and nonexpansive semigroups,J. Math. Anal. Appl., 279 (2001), pp 372 - 379.

[3] Hong-Kun Xu, Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings, J. Math. Anal. Appl., 298 (2004), pp 279-291.

[4] Patrick L. Combettes, Isao Yamadab,Compositions and convex combinations of aver- aged nonexpansive operators,J. Math. Anal. Appl., 425 (2015), pp 55-70.

[5] J. B. Baillon and G. Haddad, Quelques propriétés des opératerus angle-bornés et n- cycliquement monotones,Isarel J. Math., 26 (1977), pp 137-150.

[6] B. Halpern,Fixed points of nonexpanding maps,Bull. Amer. Math. Soc., 73 (1967), pp 957-961.

[7] P. L. Lions, Approximation de points fixes de contractions, C. R. Acad. Sci. Sèr. A-B Paris, 284 (1977), pp 1357-1359.

[8] A. Moudafi,Viscosity approximation methods for fixed-points problem, J. Math. Anal. Appl., 241 (2000), pp 46-55.

[9] Z. Opial,Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings,Bull. Amer. Math. Soc., 73 (1967), pp 591-597.

[10] Andrzej Cegeielski, Iterative Methods for Fixed Pointed Problems in Hilbert Spaces,

Springer (2014).

[11] Heinz H. Bauschke, Patrick L. Combettes,Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces,Springer (2010).