3 Ứng dụng của toán tử không giãn trung bình
3.2 Bài toán chấp nhận lồi
Bài toán thực tế lấy lại cấu trúc dữ liệu ảnh được đưa về giải bài toán chấp nhận lồi trong không gian Hilbert thựcHvới các véctơ ảnh tương ứng là các phần tử trong không gian và các tập lồi biểu thị các giá trị bắt buộc đặt lên cấu trúc ảnh.
Xét bài toán: ChoC1, . . . ,CMlà các tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thựcH. Tìm điểmx ∈ C:= TM
i=1 Ci.
Một phương pháp giải quyết bài toán là ta sử dụng đến toán tử chiếu mêtric. Ta xét hàm gần kề f :H → Rliên kết với các tậpC1, . . . ,CM f(x) = 1 2M M ∑ m=1 kPCmx−xk2. Gradient của f là ∇f(x) = x− 1 M M ∑ m=1 PCmx;
Một điểm cực tiểu của f là không điểm của∇f và là điểm bất động của toán tử không giãn trung bìnhAđược cho bởi
A= 1 M M ∑ m=1 PCm.
Nếu tậpC 6= ∅thì Fix A =Cvà dãy quỹ đạo {Akx}hội tụ yếu tới một phần tử của
C. Nếu tậpC = ∅thì dãy sẽ hội tụ yếu tới điểm cực tiểu của f. Trong trường hợp này giới hạn của dãy không nhất thiết là phần tử của bất kì một tập Cm nào. Nếu muốn điểm cực tiểu của f gần với một véctơ xtrong một tập K lồi đóng khác rỗng thì ta sử dụng dãy lặp được định nghĩa bởi
xk+1 =PK(Axk).
Toán tử PKA cũng là toán tử không giãn trung bình nên với bất kì một véctơ ban đầu
x0nào thì dãy lặp này sẽ hội tụ tới một điểm cực tiểu gầnK.
Phương pháp này thường được gọi là phương pháp đồng bộ vì ta tính toán đồng thời các toán tử mêtric trên mỗi tậpCmtại mỗi bước của dãy lặp. Mặt khác mỗi toán tử
PCm là toán tử không giãn trung bình nên tích của chúng cũng vậy. Do đó ta có dãy lặp tuần tự như sau
xk+1= PCm(k)xk,
trong đók =0, 1, . . .vàm(k) = k(modM) +1.
NếuC 6= ∅ thì dãy{xk} hội tụ tới một điểm thuộcC. Còn nếuC = ∅ thì dãy{xk} sẽ không hội tụ. Vì tích của các toán tửPCm cũng là toán tử không giãn trung bình nên dãy{xjM+mj=1, 2, . . .}sẽ hội tụ yếu với mỗimcố định và tới điểm giới hạn với điều kiện toán tử tích có điểm bất động.