Đối với các phân cực serface plasmon truyền lan trên mặt tiếp xúc phẳng chúng ta quan sát thấy trường điện từ mạnh được xác định theo một chiều, tức là mặt tiếp xúc thông thường. Trong bối cảnh của nano quang học, chúng ta cũng quan tâm đến việc xây dựng sự hạn chế trường trong hai hoặc thậm chí ba chiều.Vì vậy nó là hữu ích để lý thuyết phân tích các chế độ điện từ kết hợp với sợi dây mỏng và những hạt nhỏ.
Để cho các phân tích đơn giản, chúng ta sẽ giới hạn các phân tích để bỏ qua sự hạn chế gia tốc. Vì vậy, nó được giả định rằng tất cả các điểm của một đối tượng đáp ứng đồng thời với một trường (kích thích) đến. Điều này chỉ đúng nếu kích thước đặc trưng của đối tượng là nhỏ hơn nhiều so với bước sóng của ánh sáng. Trong xấp xỉ hầu như tĩnh phương trình Helmholtz tối thiểu hóa phương trình Laplace để dễ dàng giải quyế hơn. Một cuộc thảo luận chi tiết có thể tìm thấy trong ví dụ [28]. Các giải pháp đưa ra ở đây là bán tĩnh gần các trường và phát xạ các mặt cắt của các đối tượng được xem xét. Ví dụ, điện trường của một lưỡng cực dao động
với μ biểu thị momen lưỡng cực, có thể lấy xấp xỉ trong khu vực gần trường kr<<1 khi
mà là chính xác trường tĩnh điện của một điểm lưỡng cực, chỉ là nó dao động trong thời gian với e^iωt, đó là lý do tại sao nó được gọi là quasi-tĩnh. Trong giới hạn bán tĩnh điện trường có thể được đại diện bởi một điện thế E = - ∇ Φ.
Điện thế phải thỏa mãn phương trình Laplace
và các điều kiện biên giữa các chất liên quan (xem chương 2). Trong phần đây chúng ta sẽ phân tích các giải pháp (12.29) cho một dây kim loại mỏng và một hạt kim loại nhỏ, tương ứng.
Cộng hưởng plasmon của một dây mỏng
Chúng ta hãy xem xét một sợi dây mỏng hình trụ với bán kính lõi tại gốc và kéo dài dọc theo trục z đến vô cùng. Dây điện được chiếu sáng bởi một sóng phẳng phân cực x. Mô hình phác thảo trong hình. 12.17. Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi giới thiệu các tọa độ hình trụ
Ở đây, chúng tôi đã tính toán cho một thực tế rằng không có z phụ thuộc. Phương trình Laplace (12.31) có thể được tách ra bằng cách sử dụng phương pháp tính hiệu suất: Φ (ρ, φ) = R (ρ) Θ (φ)
Phần góc có nghiệm của mẫu
trong đó hàm ý cho các vấn đề hiện tại mà m phải là số nguyên để đảm bảo chu kỳ 2π của nghiệm số. Phần bán kính hình tròn có các nghiệm của mẫu
với m tương tự như đã giới thiệu (12.32). Do tính đối xứng bởi sự phân cực của điện trường kích thích (trục x) chỉ các điều kiện cos (mφ) cần được xem xét. Hơn nữa, các lời giải cho m = 0 trong (12.34) có thể bị bác bỏ bởi vì nó dẫn đến một trường phân kỳ tại gốc và ở vô cực. Do đó, chúng tôi sử dụng mở rộng sau đây
Với αn và βn là hằng số được xác định từ các điều kiện biên trên bề mặt dây dẫn
Cho phép theo yêu cầu liên tục cho các thành phần tiếp tuyến của điện trường và thành phần bình thường của sự dịch chuyển điện. Ở đây, ε1 và ε2 là hằng số điện môi phức của dây và môi trường xung quanh, tương ứng. Để đánh giá (12.36) chúng ta sử dụng các hàm cos (nφ) là trực giao. Thay (12.35) vào (12.36) chúng ta thấy rằng αn và βn triệt tiêu với n> 1. Đối với n = 1 chúng ta có được
Với các hệ số nghiệm của trường điện là
Trong hầu hết các ứng dụng phát xạ (phụ thuộc tần số) của môi trường điện môi xung quanh kim loại có thể bỏ qua và người ta có thể giả định một hằng số ε2. Mặt khác, điện môi của kim loại là nghiệm độc lập.Bước dài cho các trường được đặc trưng bởi mẫu số ε1 + ε2. Do đó, các trường phân kỳ khi ε1 (λ) = - Re (ε2). Đây là điều kiện cộng hưởng cho một dao động điện tử trong một dây được kích thích bởi một điện trường phân cực vuông góc với trục dây. Hình dạng của cộng hưởng được xác định bởi hàm ε1(λ). Tương tự như trường hợp
của mặt phẳng tiếp xúc thảo luận trước đó, thay đổi hằng số điện môi của môi trường xung quanh (ε2) dẫn đến sự thay đổi của cộng hưởng (xem bên dưới). Chú ý, không có cộng hưởng tồn tại nếu điện trường phân cực dọc theo trục dây. Như trong trường hợp mặt phẳng tiếp xúc, sự kích thích của serface
plasmon dựa trên một điện tích bề mặt ở bề mặt của dây. Để điều khiển các điện tích với mặt tiếp xúc điện trường cần phải có một thành phần phân cực bình thường tới bề mặt kim loại.
Để hiểu được serface plasmon truyền lan dọc theo một dây hình trụ cần giải quyết các phương trình vector sóng đầy đủ. Phân tích như vậy đã được thực hiện trong Tài liệu tham khảo. [30] cho dây kim loại đặc và dây kim loại rỗng. Một kết quả thú vị của nghiên cứu này là năng lượng có thể được kết đoạn nhiệt từ các chế độ truyền lan trực tiếp bên trong một ống dẫn sóng bằng kim loại rỗng để truyền lan mode bề mặt bên ngoài của ống dẫn sóng. Việc truyền lan dọc theo trục dây z được xác định bởi yếu tố
Với kz = β + iα là hệ số truyền lan phức. β và α tương ứng là hệ số pha và hệ số sự suy giảm,. Đối với hai mode bề mặt truyền phát tốt nhất, hình. 12.18 a) cho thấy hệ số truyền lan của một xi lanh nhôm như là một hàm của bán kính hình trụ. Mode TM0 cho thấy một bán kính phân cực, tức là trường điện là trục đối
xứng. Mặt khác, mode H E1 phụ thuộc cos φ và, khi bán kính có xu hướng không, nó chuyển đổi một song phẳng bị suy hao không mong muốn (kz ≈ ω /
c) là vô hạn. Trạng thái khác nhau cho mode T M 0. Khi bán kính giảm, hệ số pha β của nó trở nên lớn hơn và trường điện phân cực ngang trở nên tốt hơn. Tuy nhiên, hằng số suy giảm α cũng tăng lên mà dây quá mỏng,do đó chiều dài
serface plasmon truyền lan trở nên rất nhỏ. Gần đây, nó đã được chỉ ra rằng cả vận tốc pha và vận tốc nhóm của mode TM 0 có xu hướng về không khi bán
kính giảm [31]. Vì vậy, một xung truyền lan dọc theo một sợi dây có đường kính là đoạn nhiệt mỏng không bao giờ đạt đến kết thúc của dây, tức là nó là
một đầu mút. Chú ý rằng, mode truyền trên bề mặt của một dây kim loại đã được chuẩn hóa vào năm 1909 [32]. Nó đã nói rằng các dây duy nhất có thể vận
chuyển năng lượng gần như tự do, nhưng sử dụng của vùng dẫn nghèo, tức là các trường mở rộng trong môi trường xung quanh trên một khoảng cách rất lớn.
Vì vậy, đường dây truyền tải bao gồm hai hoặc nhiều dây.
Cộng hưởng plasmon của một hạt hình cầu nhỏ
Cộng hưởng plasmon cho một hạt hình cầu nhỏ bán kính trong giới hạn tĩnh điện có thể được tìm thấy trong một cách tương tự như đối với dây mỏng. Ở đây, chúng ta biểu diễn phương trình Laplace (12.29) trong tọa độ cầu (r, θ, φ)
Cho ta nghiệm số
Ở đây, b, m là các hệ số cố định được xác định từ các điều kiện biên và Φl, m có dạng
Kết hợp tuyến tính của các hàm ở phía trên và dòng thấp hơn (12.43) có thể phải được lựa chọn theo các vấn đề cụ thể để tránh vô hạn tại gốc hoặc ở khoảng
cách vô hạn. Một lần nữa, sự liên tục của điện trường tiếp tuyến và các thành phần bình thường của các chuyển điện ở bề mặt của hình cầu ngụ ý rằng
Ở đây, Φ1 là điện thế bên trong các trường và Φ2 = Φscatter + Φ0 là điện thế bên ngoài phạm vi bao gồm độ lợi của điện thế và các trường tán xạ. Đối với trường điện đến chúng tôi giả định, cũng như đối với trường hợp của dây, đó là đồng nhất và dẫn theo hướng-x.Do đó, Φ0 = - E0 x = -E0 Rupi 0 (cos (θ)). Đánh giá các điều kiện biên dẫn đến
(Xem vấn đề 12,7 và ví dụ [4]). Sự khác biệt quan trọng nhất cho dây là khoảng cách 1/r2 phụ thuộc so với 1 / r và điều kiện cộng hưởng với ε2 nhân hệ số 2 trong mẫu số. Nó cũng là lưu ý quan trọng, rằng trường này là độc lập của φ góc phương vị, mà là một kết quả của sự đối xứng của ứng dụng điệntrường, điện trường có thể được tính từ (12.45) sử dụng E = - ∇ Φ và là
Phân bố trường gần một hạt nano vàng hoặc bạc cộng hưởng có vẻ tương tự như hình được hiển thị. 12.16 đối với trường hợp của dây mỏng. Về cộng hưởng trường được tập trung gần bề mặt của hạt. Một tính chất thú vị là điện trường bên trong hạt là đồng nhất. Đối với các hạt kim loại này là một kết quả bất ngờ như chúng ta biết rằng trường điện từ phân rã theo cấp số nhân vào kim loại. Do đó, quasi tĩnh chỉ có giá trị đối với các hạt có kích thước nhỏ hơn so với d độ
sâu bề mặt của kim loại (d = λ / [4π √ e]).Một phát hiện quan trọng khác là trường tán xạ là giống hệt với trường tĩnh điện của một lưỡng cực μ nằm ở trung tâm của hình cầu. Lưỡng cực gây ra bởi trường ngoài E0 và có giá trị μ = ε2 α (ω) E0, với α biểu thị khả năng phân cực
Mối quan hệ này có thể dễ dàng kiểm tra bằng cách so sánh với phương trình. (12.28). Sự tán xạ mặt cắt ngang của quả cầu sau đó thu được bằng cách chia đôi tổng số công suất bức xạ của lưỡng cực của trường (ví dụ như chương 8) mật độ năng lượng của sóng phẳng kích thích.Điều này dẫn đến
với k là vecto sóng trong môi trường xung quanh. Chú ý rằng các phân cực (12,48) vi phạm các định lý quang học trong giới hạn lưỡng cực, tức là không tính được tán xạ. Điều không thống nhất này có thể được sửa chữa bằng cách cho phép các hạt tương tác với chính nó (bức xạ phản ứng). Như đã thảo luận trong vấn đề 8,5,.
Công suất ra khỏi chùm tia tới do sự hiện diện của một hạt không chỉ do tán xạ mà còn do sự hấp thụ. Tổng của sự hấp thụ và tán xạ được gọi là sự suy giảm. Vì vậy, chúng ta cũng cần phải tính toán năng lượng đó hoạt động bên trong hạt. Sử dụng định lý Poynting chúng ta biết rằng lực hoạt động bởi một điểm lưỡng cực được xác định như Pabs = (ω / 2) Im [μ • E *.Sử dụng μ = ε2 αE0 với ε2 thực, và biểu hiện cho cường độ của sóng phẳng kích thích trong môi trường xung quanh, chúng ta tìm thấy cho hấp thụ mặt cắt ngang
Một lần nữa, k là vecto sóng trong môi trường xung quanh. Nó chỉ ra mức σabs a3 trong khi với a6, mức σscatt. Do đó, cho hạt lớn triệt tiêu chủ yếu là bằng
cách tán xạ trong khi các hạt nhỏ nó gắn liền với sự hấp thụ. Hiệu ứng này có thể được sử dụng để phát hiện các hạt kim loại vô cùng nhỏ với đường kính 2.5 nm được sử dụng như các nhãn trong các mẫu sinh học [33]. Việc chuyển đổi giữa hai chế độ kích thước được đặc trưng bởi một sự thay đổi màu sắc khác biệt. Ví dụ, các hạt vàng nhỏ hấp thụ ánh sáng màu xanh lá cây và xanh da trời và do đó làm cho một màu đỏ. Mặt khác, hạt lớn hơn tán sắc chủ yếu trong màu xanh lá cây và do đó làm cho một màu xanh. Một ví dụ rất tốt của những phát hiện này là đeo kính màu. Cúp Lycurgus nổi tiếng thể hiện trong hình. 12,20 đã được thực hiện bởi các nghệ sĩ La Mã cổ đại và ngày nay được trưng bày tại Bảo tàng Anh, London. Khi được chiếu sáng bởi một nguồn trắng từ phía sau, chén cho thấy một ngạc nhiên phong phú của các màu sắc khác nhau. Trong một thời gian dài không xác định được điều gì gây ra các màu sắc. Ngày nay nó được biết rằng là do các hạt vàng có kích cỡ nanomet nhúng trong thủy tinh. Những màu sắc được xác định bởi pha trộn của sự hấp thụ và tán xạ.
Vùng tương tác với các plasmon hạt
Điều kiện cộng hưởng của một plasmon hạt phụ thuộc nhạy cảm vào hằng số điện môi của môi trường. Như vậy, tương tự như trường hợp của một mặt phẳng tiếp xúc, một hạt vàng hoặc bạc có thể được sử dụng như là một phần tử cảm
biến kể từ khi cộng hưởng của nó sẽ thay đổi khi thay đổi vùng điện môi, ví dụ như do các ràng buộc cụ thể một số các ligand sau khi phân hóa bề mặt của hạt. Lợi thế của việc sử dụng cộng hưởng hạt trái ngược với cộng hưởng của các mặt phẳng tiếp xúc có liên quan với kích thước nhỏ hơn nhiều của hạt và do đó bề mặt lớn hơn tỷ lệ với thể tích. Người ta có thể giữ chặt các hạt khác nhau ở mật độ cực cao và sử dụng sắp xếp như chip cảm biến cho các cảm biến đa thông của các hợp chất hóa học khác nhau, được chứng minh bởi việc phát hiện sự không phù hợp cặp cơ sở trong DNA (xem ví dụ [34]). Sự thay đổi Cộng hưởng của các hạt kim loại nhỏ cũng được áp dụng trong kính hiển vi quang học trường gần. Các quan sát của sự chuyển đổi cộng hưởng của một hạt kim loại như là một chức năng của môi trường thay đổi đã được chứng minh bởi Fischer và Pohl vào năm 1989 [35]. Thí nghiệm tương tự được thực hiện sau này bằng cách sử dụng các hạt vàng thuộc một tip [36]. Các loại thiết lập và thăm dò đặc biệt được sử dụng sẽ được thảo luận chi tiết hơn trong chương 6.