Re υd ν
2.4.2. Bài toán vật lý và phương trình
Trong trường hợp đặc biệt khi nhiệt truyền đi trong một vật liệu đẳng hướng và đồng nhất trong không gian 3-chiều, phương trình này là:
(2.13) với:
• là nhiệt độ như là một hàm số theo thời gian và không gian;
• là mức độ thay đổi của nhiệt độ tại một điểm nào đó theo thời gian; • , , và là đạo hàm bậc 2 (lưu chuyển nhiệt) của nhiệt độ theo hướng x, y, và z, theo thứ tự.
• k là một hệ số phụ thuộc vào vật liệu phụ thuộc vào độ dẫn nhiệt, mật độ và dung tích nhiệt
Phương trình nhiệt là hệ quả của định luật Fourier cho dẫn nhiệt.
Nếu môi trường truyền đi không phải là toàn bộ không gian, để giải phương trình nhiệt chúng ta cần phải xác định các điều kiện biên cho hàm số u. Để xác định tính duy nhất của các nghiệm trong toàn bộ không gian chúng ta cần phải giả thiết một chặn trên với dạng hàm mũ, điều này là hợp với các quan sát từ thí nghiệm.
Nghiệm của phương trình nhiệt được đặc trưng bởi sự tiêu tán dần của nhiệt độ ban đầu do một dòng nhiệt truyền từ vùng ấm hơn sang vùng lạnh hơn của một vật thể. Một cách tổng quát, nhiều trạng thái khác nhau và nhiều điều kiện ban đầu khác nhau sẽ đi đến cùng một trạng thái cân bằng. Do đó, để lần ngược từ nghiệm và kết luận điều gì đó về thời gian sớm hơn hay các điều kiện ban đầu từ điều kiện nhiệt hiện thời là hết sức không chính xác ngoài trừ trong một khoảng thời gian rất ngắn.
Phương trình nhiệt là một ví dụ phổ biến của phương trình vi phân parabolic. Sử dụng toán tử Laplace, phương trình nhiệt có thể tổng quát thành
(2.14) với toán tử Laplace được lấy theo biến không gian.
Phương trình nhiệt miêu tả sự tiêu tán nhiệt, cũng như nhiều quá trình tiêu tán khác, như là tiêu tán hạt hoặc là sự lan truyền của thế năng phản ứng trong tế bào thần kinh. Mặc dù không có bản chất tiêu tán, một số bài toán trong cơ học lượng tử cũng được miêu tả bằng một phương trình tương tự như là phương trình nhiệt. Nó cũng có thể được sử dụng để mô phỏng các hiện tượng xảy ra trong tài chính, như là Black- Scholes hay là các quá trình Ornstein-Uhlenbeck. Phương trình này, và các phương trình phi tuyến tương tự khác, được sử dụng trong phân tích ảnh [13].
Phương trình nhiệt, về mặt kỹ thuật, là vi phạm thuyết tương đối hẹp, bởi vì nghiệm của nó đã lan truyền nhiễu loạn đi tức khắc.
Trên đây cũng là những cơ sở lý thuyết và phương trình đã được lập trình sẵn trong COMSOL để mô phỏng vận tốc truyền nhiệt của các loại vật liệu.