2 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN
2.6Dáng điệu tiệm cận của ánh xạ Bloch
Giả sử Ω là miền bị chặn trong Cm và ζ ∈ ∂Ω. Kí hiệu Tζ(∂Ω) là không gian tiếp xúc thực (2n−1) chiều của ∂Ω tại ζ. Gọi νζ là vectơ đơn vị trực giao ngoài với Tζ(∂Ω) tại ζ sao cho tνζ ∈/ Ω với mọi t > 0 đủ nhỏ. Kí hiệu
Cνζ là đường thẳng phức sinh bởi νζ. Khi đó không gian tiếp xúc phức tại
ζ được xác định là không gian con phức (n−1) chiều của Tζ(∂Ω) và được cho bởi
CTζ(∂Ω) = {z ∈ Cm : (z, w) = 0 ∀w ∈ Cνζ}.
Rõ ràng,
Cνζ ⊥ CTζ và Cm = Cνζ ⊕CCTζ.
Tập S trong Ω được gọi là tiệm cận tại ζ ∈ ∂Ω nếu
S ∩∂Ω ={ζ}
và được gọi là tiệm cận không tiếp xúc tại ζ nếu
trong đó
Γα(ζ) = {z ∈ Ω : |z−ζ| < αδζ(z)}, δζ(z) = minρ(z, ∂Ω), ρ(z, Tζ(∂Ω))
vàρ là khoảng cách Euclide trong Cm. Đặc biệt, đường cong γ : [0,1] → Ω
là tiệm cận không tiếp xúc tại ζ nếu
γ(t) ∈ Γα(ζ) với α >1, t ∈ [0,1) và lim
t→1−γ(t) =ζ.
Ta sẽ nói rằng ánh xạ f : Ω →N có giới hạn tiệm cận l tại ζ ∈ ∂Ω dọc theo đường cong γ trong Ω nếu γ là tiệm cận tại ζ và
lim
t→1−dN f(γ(t)), l) = 0. f có giới hạn bán kính l tại ζ nếu
lim
ε→0+dN f(ζ −ενζ), l= 0. f có giới hạn không tiếp xúc l tại ζ nếu
lim
Γα(ζ)3z→ζdN f(z), l = 0 với α > 1. f có giới hạn chấp nhận được l tại ζ nếu
lim
Aα(ζ)3z→ζ
dN f(z), l = 0 với α >0,trong đó
Aα(ζ) ={z ∈ Ω : |(z −ζ, νζ)| < (1 +α)δζ(z);|z−ζ|2 < αδζ(z)}.(∗)
2.6.1 Mệnh đề
Giả sử Ω là miền bị chặn và N là đa tạp phức bất kỳ. Giả sử S1 và S2
là các tập hợp tiệm cận tại ζ ∈ ∂Ω sao cho
lim S23z→ζ ρ(z, S1) ρ(z, ∂Ω) = 0. (2.25) Nếu f ∈ B(Ω, N) thỏa mãn lim S13z→ζdN f(z), l) = 0
thì (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
lim
S23z→ζdN f(z), l = 0.
Chứng minh.
Giả sử {zn(2)} là dãy bất kì dọc theo S2 với zn(2) → ζ. Chọn một dãy
{zn(1)} trong S1 sao cho
|zn(2)−z(1)n | ≤ 2ρ(zn(2), S1).
Nối zn(1) và zn(2) bởi đường thẳng phức qn. Khi đó qn∩Ω chứa đĩa ∆n có bán kính
rn > ρ(zn(2), ∂Ω), tâm tại zn2.
Nếu f ∈ B(Ω, N) thì tồn tại số Q > 0 sao cho
dN f(zn(1)), f(zn(2)) ≤QkΩ(zn(1), z(2)n ). (2.26) Do tính giảm khoảng cách của metric Kobayashi nên
kΩ(z(1)n , zn(2)) ≤k∆n(z(1)n , z(2)n ) = tanh−1|zn(1) −zn(2)| rn ≤tanh−12ρ(z (2) n , S1) ρ(zn(2), ∂Ω) . (2.27)
Các bất đẳng thức (2.26) và (2.27) cùng với (2.25) cho thấy rằng
lim
n→∞f(zn(1)) = lim
n→∞f(zn(2)) =l
trong metric dN.
2.6.2 Mệnh đề
Giả sử Ω là miền bị chặn trong Cm, ζ là điểm giới hạn của Ω, điểm mà tồn tại vectơ trực giao ngoài và S là continuum tiệm cận tùy ý tại ζ sao cho
lim
S3z→ζ
ρ(z,Cνζ)
trong đó, kí hiệu r ν(z)là bán kính của hình cầu lớn nhất trong Ω∩CTν(z),
CTν(z) là siêu phẳng qua ν(z), hình chiếu trực giao của z đến Cνζ, và song song với CTζ(∂Ω). Nếu f ∈ B(Ω,P
) (trong đó P là hình cầu Riemann)
và lim S3z→ζχ f(z), l = 0, thì lim Γα(ζ)3z→ζχ f(z), l = 0 với mọi α > 1 . Chứng minh.
Từ định nghĩa của r ν(z), ta có Ω∩CTν(z) chứa hình cầu
Bν(z), r ν(z) |CTν(z) .
Tính giảm khoảng cách của metric Kobayashi kéo theo
kΩ z, ν(z) ≤tanh−1|z −ν(z)| r ν(z) .
Vì f ∈ B(Ω,P (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
), ta có
χf(z), f ν(z) ≤ QkΩ z, ν(z) với hằng số Q > 0.
Ký hiệu ν(S) là hình chiếu trực giao của S lên Cνζ. Khi đó, nếu η →ζ
dọc theo ν(S) thì f(η) → l. Dễ thấy, f|Ω∩Cνζ cũng nằm trong B(Ω ∩
Cνζ,P
) và do đó f là hàm phân hình chuẩn tắc trong Ω ∩Cνζ. Do vậy, theo kết quả cổ điển của Lehto và Virtanen [9] ta có
lim
Γα(ζ)3η→ζχ f(η), l) = 0 với mọi α > 1,
trong đó
e
Γα(ζ) = {η ∈ Ω∩Cνζ : |η −ζ| < αρ(η, Tζ)}.
Lấy U là lân cận đủ nhỏ của ζ. Hình chiếu trực giao của Γα(ζ)∩U lên
Cνζ được chứa trong Γeβ(ζ) với β ≥ α. Hơn nữa, nếu z ∈ Γα(ζ)∩U thì
|z−ζ| < αδζ(z) = α|z −τ(z)|+o |τ(z)−ζ|
trong đó τ(z) là hình chiếu trực giao của z lên Tζ(∂Ω). Vì |z−ζ|2 = |z −τ(z)|2 +|τ(z)−ζ|2, |τ(z)−ζ| < pα2 −1|z −τ(z)|+o(|τ(z)−ζ|). Vì vậy ta có nếu U đủ nhỏ thì |τ(z)−ζ|< α|z −τ(z)|. (2.28) Trên Γα(ζ)∩U ∩CTη, η ∈ Cνζ, ta có |z −τ(z)| = |ν(z)−ν(τ(z))| ≤ |ν(z)−ζ|, |z −ν(z)| ≤ |τ(z)−ζ|. Từ đó (2.28) kéo theo |z −η| < α|η −ζ|.
Cụ thể làΓα(ζ)∩U∩CTη nằm ngoài hình cầuB(η, αδ) nếuδ = |η−ζ|là đủ nhỏ. Từ định nghĩa củar(η),Ω∩CTη(∂Ω)chứa hình cầuB(η, r(η))|CTη. Sử dụng tính chất giảm khoảng cách của kΩ và f|B(η,r(η)) là Bloch ta có
χ f(z), f(ν(z)) ≤ Qtanh−1|z−ν(z)| r ν(z) ,
≤ Qtanh−1 αδ
r ν(z) (2.29)
vớiQ > 0nếuz ∈ Γα(ζ)∩CTη và|η−ζ| = δ là đủ nhỏ. Nếuz ∈ Γα(ζ)∩U, thì ν(z) ∈ Γeβ(ζ) với β ≥ α. Do đó r ν(z) ≥rβ(δ) = inf{r(η) : η ∈ Γeβ(ζ),|η −ζ| = δ}. Nhưng từ Bổ đề 1 trong [5] ta có lim δ→0 rβ(δ) δ = ∞ và do đó lim δ→0 δ r ν(z) = 0.
Điều này cùng với (2.29) kéo theo
lim
Γα(ζ)3z→ζχ f(z), f(ν(z))= 0.
Theo bất đẳng thức tam giác thì
lim
Γα(ζ)3z→ζ
f(z) = l trong metric χ .
Vậy mệnh đề được chứng minh.
Lấy Ω là miền bị chặn trong Cm với biên lớp C2. Khi đó với mỗi điểm biênζ ∈ ∂Ω có đơn vị chuẩn tắc ngoài νζ vàrζ > 0sao choB(ζ−rζνζ, rζ)
được chứa trong Ωvà tiếp xúc trong với ∂Ω tạiζ. Sự tiếp xúc trong trường hợp này yếu hơn dọc theo tậpAαtrong (*). Do đó, lập luận tương tự Mệnh đề 2.6.2 ta có (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2.6.3 Mệnh đề
Giả sử Ω là miền bị chặn với biên lớp C2và S là continuum tiệm cận tùy ý tại ζ ∈ ∂Ω thỏa mãn
lim S3z→ζ ρ2(z,Cνζ) ρ(z,CTζ) = 0. Nếu f ∈ B(Ω,P ) và lim S3z→ζχ f(z), l) = 0 với l ∈ X , thì lim Γα(ζ)3z→ζ χ f(z), l= 0 với mọi α > 1 .
Kết luận
Với mục đích tìm hiểu về dáng điệu tiệm cận của các ánh xạ chuẩn tắc giữa các đa tạp phức luận văn đã đạt được một số kết quả chính sau:
1. Trình bày một số tính chất cơ bản của ánh xạ chuẩn tắc, ánh xạ Bloch (Định lý 2.1.5; 2.1.6; Mệnh đề 2.2.1; 2.2.2; 2.3.3; 2.3.4).
2. Trình bày các đặc trưng và mối liên hệ giữa các ánh xạ chuẩn tắc và ánh xạ Bloch (Định lý 2.4.1; 2.4.3).
3. Trình bày một số tính chất mở rộng của ánh xạ chuẩn tắc, ánh xạ Bloch (Định lý 2.5.1; 2.5.3; 2.5.4; 2.5.5).
4. Trình bày các đặc trưng riêng về dáng điệu tiệm cận của ánh xạ Bloch (Mệnh đề 2.6.1; 2.6.2; 2.6.3).
Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Việt Đức, Mở đầu về lý thuyết các không gian phức hyperbolic, NXB Đại học sư phạm Hà Nội (2005).
[2] J. M. Anderson, J.Clunie and Ch. Pommerenke, On Bloch functions and normal functions, J.Reine Angew. Math. 270 (1974), 12-37. [3] T.Barth, Taut and tight complex manifolds, Proc. Amer. Math. Soc.
24 (1970), 429-431.
[4] R. Brody, Compact manifolds anh hyperbolicity, Trans. Amer. Math. Soc. 235 (1978), 213-219.
[5] J. A. Cima and S. G. Krantz, Lindelof principle and normal functions of several complex variables, Duke Math. J. 50 (1983), 303-328.
[6] K. T. Hahn, Asymptopic behavior of normal mappings of several com- plex variables, Can. J. Math. Vol 36, No.4 (1984), 718-746.
[7] P. J. Kiernan, On the relations between taut, tight and hyperbolic man- ifolds, Bull. Amer. Math. Soc. 76 (1970), 49-51.
[8] S. Kobayashi, Hyperbolic complex spaces, Grundlehren der mathema- tischen Wissenschaften. 318(1998).
[9] O. Lehto and V. I. Virtanen, Boundary behavior and normal mero- morphic functions, Acta Math. 97 (1957), 47-63.
[10] H. H. Wu, Normal families of holomorphic mappings, Acta Math.119 (1967), 193-233.