2 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN
2.3Một số tính chất cơ bản của ánh xạ chuẩn tắc
2.3.1 Định nghĩa
Dãy {pn} các điểm trong M được gọi là dãy chính quy đối với f ∈ Hol(M, N) nếu tồn tại số δ > 0 sao cho với dãy {qn} bất kỳ trong M
thỏa mãn kM(pn, qn) < δ ta có
lim
n→∞dN(f(pn), f(qn)) = 0.
2.3.2 Định nghĩa
Dãy{pn}các điểm trongM được gọi là dãy P - điểm củaf ∈ Hol(M, N)
nếu tồn tại dãy {qn} trong M và số ε > 0 sao cho
lim n→∞kM(pn, qn) = 0, nhưng lim n→∞supdN(f(pn), f(qn)) ≥ ε. 2.3.3 Mệnh đề
Mỗi dãy P - điểm {pn} của ánh xạ chỉnh hình f ∈ Hol(M, N) đều là phân kỳ compact.
Chứng minh.
Giả sử {pn} không là phân kỳ compact. Khi đó, ta có dãy con {pν} hội tụ đến một số điểm p0 ∈ M. Từ bất đẳng thức tam giác, nếu dãy {qn}
trong M thỏa mãn lim n→∞kM(pn, qn) = 0, thì lim ν→∞kM(pν, q0) = 0. Nếu f ∈ Hol(M, N) thì từ bất đẳng thức dN f(pν), f(qν)≤ dN f(pν), f(p0)+dN f(p0), f(qν), kéo theo lim ν→∞dN f(pν), f(qν) = 0.
Điều này là mâu thuẫn. Mệnh đề được chứng minh.
Rõ ràng, một dãy chính quy của f ∈ Hol(M, N) không thể là dãy P - điểm. Do đó, mọi dãy P - điểm là dãy không chính quy. Chiều ngược lại nói chung là không đúng.
2.3.4 Mệnh đề
Giả sử M là đa tạp hyperbolic thuần nhất và N là đa tạp phức bất kỳ. Giả sử {pn} và {qn} là các dãy trong M thỏa mãn
lim
Khi đó, các điều kiện sau là đúng với f ∈ N(M, N): (a) Nếu có dãy con {pν} của {pn} thỏa mãn
lim
ν→∞(pν) =l ∈ N,
thì
lim
ν→∞f(qν) = l.
(b) Nếu {f(pn)} là phân kỳ compact thì {f(qn)} cũng là phân kỳ com- pact.
(c) Nếu {pn} ⊂ M là dãy P - điểm của f ∈ N(M, N) thì {f(pn)} là phân kỳ compact.
Chứng minh.
Lấy p0 ∈ M là điểm cố định. Vì Aut(M) là bắc cầu nên với mỗi n, tồn tại ϕn ∈ Aut(M) sao cho ϕn(p0) = pn. Lấy wn = ϕ−n1(qn). Khi đó
lim
n→∞kM(p0, wn) = lim
n→∞kM(pn, qn) = 0.
Do đó, với ε > 0 bất kỳ, tồn tại số n0 sao cho với mọi n ≥ n0, wn ∈ Bk(p0, ε) ( hình cầu tâm p0 bán kính ε và được xác định bởi kM).
Để chứng minh (a) ta chỉ cần chứng minh:
lim
n→∞dN l, gn(wn)= lim
n→∞dN l, f(qn) = 0,
trong đó gn = f ◦ϕn.
Dof là chuẩn tắc nên có dãy con {gν}của{gn}hội tụ đếng ∈ Hol(M, N)
với lim ν→∞gν(p0) = lim ν→∞f(pν) = l = g(p0). Vì vậy, dN l, gν(wν) = dN l, f(qν)≤ dN g(p0), g(wν)+dN g(wν), gν(wν) (2.7) Số hạng đầu tiên bên vế phải của (2.7) có thể lấy nhỏ tùy ý vì g liên tục và
lim
Số hạng thứ hai có thể lấy nhỏ tùy ý vì {gν}hội tụ đếng trên tập compact
{wp} ⊂ Bk(p0, ε).
Rõ ràng, (b) và (c) là hiển nhiên khi N là compact. Trường hợp N là không compact, ta có:
(b) Vì{gn(p0)}, gn(p0) =f(pn) là phân kỳ compact trong N nên không dãy con nào của {gn} có thể hội tụ đến một ánh xạ chỉnh hình trên Bk(p0, ε). Do đó, {gn(wn)}, gn(wn) = f(qn) là phân kỳ compact.
(c) Từ định nghĩa của dãy P - điểm, tồn tại dãy {qn} trong M thỏa mãn
lim
n→∞kM(pn, qn) = 0
nhưng
lim
n→∞sup dN f(pn), f(qn)≥ ε với ε > 0. (2.8) Giả sử có một dãy con {pν} mà {f(pν)} hội tụ đến l ∈ N, thì từ (a) ta có
lim
ν→∞f(qν) = l.
Điều này mâu thuẫn với (2.8). Do vậy, {f(pn)} là phân kỳ compact.