Tính liên tục của hàm mục tiêu Vz(x) và nghiệm z(x) có thể thấy dễ dàng là hệ quả của định lý 2. Điều này kết hợp với tính lồi của tập tham số khả vi ( ví dụ tập các tham số x X sao cho nghiệm khả vi z(x) tồn tại) và của giá trị hàm
Vz(x) đƣợc chứng minh trong định lý sau đây:
Định lý 3 (tài liệu [2], trang 10)
Xét bài toán quy hoạch toàn phƣơng đa tham số (2.24) và cho H > 0, X lồi. Khi đó tập tham số khả vi là lồi, nghiệm tối ƣu z(x): là liên tục và affine từng phần và hàm mục tiêu Vz(x): là liên tục, lồi và toàn phƣơng từng phần.
Chƣơng 2: Phƣơng pháp quy hoạch nhiều tham số
20
Chứng minh
- Chứng minh tính lồi của và Vz(x)
Lấy x1, x2 tƣơng ứng với giá trị hàm mục tiêu Vz(x1) và Vz(x2), tín hiệu tối
ƣu z1, z2. Cho , - và định nghĩa ( ) , (
) . Do tính khả vi nên z1, z2 thỏa mãn ràng buộc , . Kết hợp tuyến tính các bất phƣơng trình này về dạng . Vì thế
cũng khả vi với bài toán (2.24) tại x(t) = . Điều này chứng tỏ z(xa) tồn tại tính lồi của . Hơn nữa do tính tối ƣu của ( ), ( ) và
( ) , ( ) - , ( ) - , ( ) ( ) ( ) - ( )( ) ( ) Ví dụ ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) , , - chứng
minh độ lồi của Vz(x) trên Xf. Với các vùng đa diện kín CRi trong Xf , nghiệm z(x) cũng là các hàm affine (2.31). Đƣờng biên giữa hai vùng thuộc về cả 2 vùng đóng đó. Do H > 0 nên nghiệm tối ƣu là duy nhất và do đó nghiệm phải liên tục giữa các đƣờng biên. Dễ dàng thấy Vz(x) là liên tục và toàn phƣơng từng phần.
- Chứng minh tính lồi của hàm V(x)
Bổ đề 1. Cho ( ) và 0
1 . Khi đó
( ) ( )thỏa điều kiện là một hàm lồi của x.
Chứng minh
Từ định lý 3. Giá trị hàm ( ) của bài toán tối ƣu ( ) thỏa điều kiện là một hàm lồi của x. Cho ( ) ( ) tƣơng ứng là các
Chƣơng 2: Phƣơng pháp quy hoạch nhiều tham số
21
nghiệm tối ƣu của Vz(x) và V(x) với ( ) ( ) .. Khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) - , ( ) - , ( ) - ( ) ( ) ( ) 0 1 ; và vì thế V(x) là một hàm lồi, là tổng của các hàm lồi.
Hệ quả 1. Hàm mục tiêu V(x) đƣợc định nghĩa tại bài toán tối ƣu (2.17), (2.19) là liên tục và toàn phƣơng từng phần.
Chứng minh
Tại (2.17), ( ) , là tổng của các thành phần không âm. Vì thế
( ) 0 1 0
1 0 1 cho mọi 0 1 và chứng minh dễ dàng theo bổ đề 1.
Hệ quả 2. Luật điều khiển ( ) ( ( )) lấy ra từ bài toán (2.17) là liên tục và affine từng phần.
( ) (2.34)
Với tập đa diện * + là các miền partition đƣợc cho trong tập biến trạng thái X.
Chứng minh
Do ( ) ( ) là một hàm tuyến tính của x trong mỗi vùng
{ }. Từ (2.21), u = f(x) là tổ hợp các hàm tuyến
tính và vì thế tuyến tính trong CRI, u cũng là tổ hợp của các hàm liên tục nên vì thế nó cũng liên tục.
Chú ý rằng tác động điều khiển đƣợc lấy từ luật điều khiển phản hồi (tƣờng minh) (2.34) và luật điều khiển phản hồi (không tƣờng minh) (2.19)-(2.21) là chính xác nhƣ nhau. Vì thế ngƣời thiết kế có thể chỉnh định bộ điều khiển bằng các công
Chƣơng 2: Phƣơng pháp quy hoạch nhiều tham số
22
cụ MPC tiêu chuẩn (nhƣ dựa vào bộ QP online) và các gói phần mềm mô phỏng, và cuối cùng chạy thuật toán 1 để thu đƣợc kết quả (2.34) để thực thi bộ điều khiển một cách hiệu quả.