1.4.3. Xây dựng một sóng nhỏ từ phân tích đa phân giải
— Gọi Wo là phần bù trực giao của Vo trong V ị , tức là
— Vi = V 0 ® w 0 .
— Khi đó nếu ta giãn nở các thành phần của w0 bởi 2J, ta sẽ nhận được một không gian con đóng Wj của Vj+1 sao cho:
— vj+1 = v3 © W j , Vj G z. — Do Vj —»• {0} khi j —>• —oo ta có: — yj+i = V j © W j = © We , V j e z . — £= — oo — Do Vj —¥ L2(M) khi j +00 ta có — L2 (M) = +0 W j (1.41) — 00
— Nếu Ф G Wo sao cho {ĩp (• — k) \ к ẽ z} là một cơ sở trực chuẩn của w0 t h ì | 22-0 ( 2J • —/г) A: G z| là một cơ sở
trực chuẩn của Wj,Vj £ z, do (1.38) và định nghĩa của W j . Khi
đó { i > j k \ j , k € z} là một cơ sở trực chuẩn của L2 (R) do (1.41). Do đó ĩ p là một sóng nhỏ trực chuẩn
— trên R. Như vậy mục đích của chúng ta là đi tìm hàm Ф €
Khi đó, từ (1.38) và (1.35), ta có:
— Do (1.39), ta có thể biểu diễn hàm này qua cơ sở trực chuẩn — M' + fc)|fceZ} — 2^ (2/ = Ĩ 2 a * p ( x + k ) ’ (L42) — trong đó ak = - Ị i p (x +k ) d x . Sự hội tụ trong (1.42) là sự hội
— tụ trong L 2 (M). Dãy {a*;} thỏa mãn \ a k\ 2 < 00. — k e z — Lấy phép biến đổi Fourier ta có
— Ọ (2£) = ạ (£) ^2 Oike2niH = Ọ (0 mữ (0
— trong đó
—
— là một hàm thuộc L 2 (0,1). — Ta có đặc trưng sau của w0:
— Bổ đề 1.4.2. Nếu ip là một hàm thang bậc của một
MRA { V j } -€ Z và
— m0 được định nghĩa như trong (1.44) thì
— Wo = Ị/1/(20 = e2,riís(47r£)mo(£ + ^)£(0 với s e L2 (0,1) I .
— Từ bổ đề này ta suy ra WQ là bất biến dưới phép tịnh tiến nguyên. Tương tự, ta có
— W j = |/l/(2j+1£) = e 27ĩiỉ s(4ĩĩ£)m 0 {£+ i)£(0 với s G L 2
(0,1)| . Tất cả các sóng nhỏ trực chuẩn trong w0 có đặc trưng như sau: — Mệnh đề 1.4.3. Giả sử ip là một hàm thang bậc (1.4 27 r (1.44 m (í) := £ a k
của MRA {Vj} eZ và m0 được định nghĩa như trong (1.44).
— ỉà một sóng nhỏ trực chuẩn trong L2(K) khi và chỉ khi — ỹ(2£) = e2^v (40 m0 ^ + 0 tp (0 h.k.n trên R,
(1.45)
— với V là hàm đo được và tuần hoàn chu kỳ
1, sao cho
— \v (£)| = 1 h.k.n trên (0,1).
— Mệnh đề này hoàn thành việc xây dựng một
sóng nhỏ từ một MRA.
— Để đơn giản ta xét sóng nhỏ -0 cho bởi — ĩ (2Í) = e2,riím0 (Ệ + 0 ệ (£).
— Vì ĩp € Vi nó phải là tổ hợp tuyến tính (đếm được) của các phép tịnh tiến của íp (2x ). Thật vậy, ta có thể tìm một biểu diễn như tổ hợp tuyến tính của các phép tịnh tiến của tp (2x ) với hệ số liên quan tới các
— o t ỵ trong công thức (1.44) để xác định m0 (£). Từ (1.46)
và (|1.44|) ta có
—— —
— Lấy phép biến đổi Fourier ngược của 2 vế đẳng thức này ta được
— ĩ ị ; ( x ) = 2 Ỵ ] (-1 )kã^<f (2x - {k - 1)). (1.47)
— k£Z
— Ví dụ 5. Sóng nhỏ Haar được xây dựng (sai khác một phép tịnh tiến) từ MRA sinh ra bởi hàm thang bậc í p ( X) = X[_i-0) (z).
(1.4
— \ p =ịxi- 2, 0) (z) = ịụ> (x) + ^ự>(x + 1)
— ị{x) = tp(2x + 1) - tp{2x) = X[_1,_Ì) -
X[_!,o) Kết quả này có thể thu được trực tiếp. Do
— (B = 2 — hàm mo xác định từ (Ị1.44Ị) là mo (£) = ^ (l + eĨ T Ì Í) . Từ — ỹ (í) = lz^ = éHí*lM — v -2 Tĩi£ í — ta có — ^ 1 p-ỉ(27r£+7r) P27TÍ€ _ 1 ('\ — p-27rỉO ịp2lĩỉZ — —---ỹ(20 = e 2 ^ 1 + e ; ---, e 1 = e 2«iiL _f—_ẦAf n — 47T«£ — Do đó —
—Hình 1.2: Sóng nhỏ Haar 'ệ và hàm thang bậc (p của
nó ^ CW*É — 2 4- e~^ , s*n2 (^)
— * (í) - - “■‘‘-Hr 1 -
— Dễ dàng thấy rằng phép biến đổi Fourier của
ị p ( ị * ) = ị p ( * ) + ị v ( * + l )
2
—
— Phân tích đa phân giải khung được đưa ra bởi Benedetto và Li vào năm 1994. Mục đích của lý thuyết này là xây dựng các khung sóng nhỏ
— của L2 (M), tức là các khung có
dạng ĩ p j k (X) = 2ẳĩ p (2jx — k) : j,k E z, — trong đó ý ẽ L 2 (M). Ý tưởng chính ở đây vẫn là dùng các độ phân giải khác nhau giúp cho việc xây dựng trở nên hiệu quả về mặt tính toán.
— Một phân tích đa phân giải khung được định nghĩa là một phân tích đa phân giải với điều kiện "{Tkệ} k€lẩ là một cơ sở trực chuẩn của Vó" được thay thế bằng điều kiện
"{Tkệ} keZ là một khung của Vo"- Nội dung của chương này được tham khảo dựa trên các tài liệu [2], [3],
[4], [5], [9], [10].