jo — ji — * l- ì ji + k II/ ^ ^ II 2 = II/ m = -jo + l t oc \ I j-iữ-h-k |2 dx I 00 ( 2J1 + * V \0 u / - d x + I 2 - a 2h + d 0 — / 2-71_j_ 2-2^ /rí / = 2 2\ _ 3 1 _ k J + a 2\ Chọn A; đủ lớn để 2^2 2 2 / + /:ỉ jo~ đủ nhỏ thì ta có thể
— Xấp xỉ đa phân giải (Multiresolution analysis-MRA) được Mallat và Meyer đưa ra vào năm 1986. Khi Mallat lần đầu tiên tiếp xúc với cơ sở sóng nhỏ của Meyer, ông đang làm việc trong lĩnh vực xử lý ảnh. ở đó, ý tưởng nghiên cứu các hình ảnh một cách đồng thời ở nhiều độ phân giải khác nhau và so sánh các kết quả lại với nhau đã được phổ biến trong nhiều năm. Từ đó, ông nhận ra rằng cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn chính là một công cụ để mô tả về mặt toán học sự gia tăng thông tin khi chuyển từ một xấp xỉ thô sang một xấp xỉ với độ phân giải cao hơn. Xấp xỉ đa phân giải góp phần vào việc xây dựng các cơ sở sóng nhỏ trựcchuẩn mới. Về mặt toán học, ý tưởng chính của xấp xỉ đa phân giải là biểu diễn một hàm (một tín hiệu) / như là một giới hạn của quá trình xấp xỉ liên tiếp, ở đó mỗi quá trình là một mô hình gần hơn với /. Các quá trình xấp xỉ liên tiếp này tương ứng với các độ phân giải khác nhau.
— Một phân tích đa phân giải cổ điển là một dãy của các không gian con đóng xấp xỉ liên tiếp V j , j G z của L2 (R). Cụ thể hơn, V j là các không gian con đóng thỏa mãn:
— I) V j с Vj+i', ii) u Vj = ứ (M) ;
—
— (1.37)
— iv) Ỉ ^ V ị ^ Ị (24) e v 0;
— v ) Tồn tại một hàm ( p G V0 sao cho { i p (• — k) \ к € z} là một cơ — SỞ trực chuẩn của VQ. (1.3 5) (1.3 (1.3 —
— Khi đó hàm ip được gọi là hàm thang bậc của MRA. — Từ (1.38) suy ra tất cả các không gian V j đều là một mô
hình phóng to — hay thu nhỏ của không gian Vo-
— Ký hiệu ậ j n ( x) = 2 Ì ậ ( 2jx — n ) . Khi đó từ (1.38) và (1.39) ta có — { ộ j n \ n € Z} là một cơ sở trực chuẩn của V j , V j € z.
— Một ví dụ của các không gian V j thỏa mãn (1.35)-(1.39) là
— được gọi là xấp xỉ đa phân giải Haar. Hàm thang bậc tương ứng với xấp
— XỈ này được chọn là hàm chỉ số của [0,1], tức là: 1 nếu X 6 [0,1]
— 0 nếu X ị [0,1]. — Hàm này được gọi là hàm thang bậc Haar.
— Ký hiệu Pj là phép chiếu trực giao từ L2(R) lên Vj
— Hình (1.1) chỉ ra phép chiếu của một hàm / trên các không gian Haar
— Vo, V\ sẽ như thế nào?
—— — — — Từ (1.35) và (1.36), ta có lim Pjf = f và lim Pjf = 0, phép chiếu — j-> 00 j-> — oo — Pjf có thể xem như là một xấp xỉ của / ở thang bậc 2-J. — Một nguyên tắc cơ bản của xấp xỉ đa phân giải là nếu có
—— — —________f J — _r—^°j V of 1 — ũ — X
— Hình 1.1: Hàm / và phép chiếu của nó lên Vó, V\
một họ các không gian con đóng thỏa mãn (1.35)-(1.39) thì ta có thể tìm ra một cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn { i ^ j k \ j , k € Z} của L2(M) sao cho với mọi / e L 2 (R), ta có
— P j + i f = P j f + Y I ( ỉ,