định phi chu kỳ
Tiêu chuẩn mất ổn định phi chu kỳ, chỉ áp dụng riêng cho hệ thống điện, lần đầu tiên được đề xuất bởi П. С. Жданов (năm 1948). Cơ sở xuất phát của tiêu chuẩn này chính là phương pháp xấp xỉ bậc nhất của Lyapunov. Có thể mô tả sơ lược như sau. Giả thiết sau khi thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động quá độ cho hệ thống điện và tuyến tính hóa xung quanh điểm cân bằng, nhận được phương trình đặc trưng ở dạng:
1 2
0 1 2 1
( ) n n n ... n n 0
D p a p a p a p a p a
Các định thức Hurwitz có thể thiết lập. Ký hiệu n định thức nhận được là Δ1, Δ2,..., Δn. Tiêu chuẩn Hurwitz phát biểu như sau: hệ thống sẽ ổn định nếu tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng và các định thức Hurwitz đều mang dấu dương.
Về bản chất, khi tất cả các điều kiện của tiêu chuẩn Hurwitz được thỏa mãn thì mọi nghiệm của phương trình đặc trưng sẽ có phần thực âm. Khi đó hệ thống ổn định tiệm cận. Khi có ít nhất một nghiệm có phần thực dương thì hệ thống không ổn định. Hơn nữa nếu nghiệm có phần thực dương là nghiệm thuần thực thì hệ thống sẽ mất ổn định ở dạng phi chu kỳ, còn nếu phần thực dương là của cặp nghiệm phức thì hệ thống sẽ mất ổn định ở dạng chu kỳ (dao động với biên độ tăng trưởng vô hạn).
Giả thiết hệ thống điện đang ở chế độ làm việc ổn định, khi đó theo tiêu chuẩn Hurwitz ta phải có: am > 0, ∆k > 0 (với m0, ;n k 1,n). Từ thay đổi các thông số chế độ về hướng mất ổn định hệ thống. Lức hệ thống chuyển qua mất ổn định thì một bất đẳng thức nào đó sẽ phải đổi dấu, tương ứng với phần thực một nghiệm nào đó của phương trình đặc trưng đổi dấu từ âm sang dương. Hurwitz đã chứng minh được rằng sự đổi dấu đầu tiên xảy ra tương ứng với dấu của định thức cấp n. Theo cấu trúc của ma trận Hurwitz ta còn có ∆n = an. ∆n-1. Như vậy ∆n đổi dấu tương đương với an hoặc ∆n-1 đổi dấu. Nói khác đi khi hệ thống chuyển từ ổn định sang mất ổn định có thể xảy ra đổi dấu đầu tiên ở hệ số an hoặc định thức Hurwitz ∆n-1. Về toán học còn có thể chứng minh nếu mất ổn định xảy ra do đổi dấu
an thì mất ổn định có dạng phi chu kỳ, còn nếu ∆n-1 thì sẽ có dạng dao động với biên độ tăng lên vô hạn.
Mặt khác, khi nghiên cứu cấu trúc hệ thống phương trình vi phân chuyển động quá độ của hệ thống điện, Жданов đã nhận thấy, mất ổn định dạng chu kỳ và mất ổn định dạng phi chu kỳ trong hệ thống điện, về cơ bản xảy ra do các nguyên nhân khác nhau. Nếu hệ thống bị mất ổn định do các thông số chế độ thì quá trình diễn ra có dạng phi chu kỳ. Còn nếu do các thông số của thiết bị tự động điều chỉnh gây ra thì mất ổn định có dạng chu kỳ (khi chỉnh định sai, làm phát sinh dao động tự kích). Như vậy, nếu giả thiết các bộ tự động điều chỉnh đang làm việc đúng (ứng với chế độ đang vận hành) thì mất ổn định xảy ra đối với hệ thống điện luôn chỉ ở dạng phi chu kỳ và chỉ cần theo dõi điều kiện an > 0 là đủ.
Sử dụng tiêu chuẩn mất ổn định phi chu kỳ đơn giản hơn rất nhiều so với các tiêu chuẩn chung ổn định theo Lyapunov. Hơn nữa, hệ thống điện có cấu trúc bất kỳ đều chỉ cần sử dụng một chỉ tiêu dưới dạng bất đẳng thức sẽ rất thuận lợi để xác định chế độ giới hạn (tương ứng với lúc bất đẳng thức trở thành đẳng thức). Một ưu điểm khác của tiêu chuẩn an >0 đó là có thể tính ngay được giá trị an từ hệ phương trình chế độ xác lập. Nhiều công trình đã chứng minh, trị số an chính bằng định thức Jacobi của hệ phương trình chế độ xác lập lúc viết ở dạng tối giản (xem chương 2).