5. Các bước thực hiện
4.5. Giải phương trình schrodinger cho hạt nhân
Theo lý thuyết của mẫu vỏ, các nuclon bên trong hạt nhân có sự sắp xếp thành từng lớp tương tự như lớp điện tử. do đó nhằm đưa ra các vỏ việc giải phương trinh Schrodinger dẫn đến chọn biểu thức thế năng tương tác giữa các nuclon.
Nếu mô tả giếng thế năng là giếng thế của dao tử điều hòa
µ( ) = −µ 1 − r R = −µ + 1 2(mω r ) Trong đó : Ro: là bán kính tác dụng của lực hạt nhân ω = µ : là tần số dao động điều hòa
Do hạt nhân có kích thước không gian, ta xét theo tọa độ ba chiều vá để đơn giản, xét trong hệ tọa độ deescartes thì phương trình Schrodinger:
∆ +2 ℎ + − 1 2 ω ( + + ) = 0 = ( ) ( ) ( ) = + +
là trạng thái năng lượng ứng với dao động tử điều hòa theo xyz
+2 ℎ + − 1 2 ( )= 0 +2 ℎ + − 1 2 ( ) = 0 +2 ℎ + − 1 2 ( ) = 0
Việc giải phương trình Schrodinger cho ta:
= ℎ +1 2 3 = ℎ +1 2 3 = ℎ +1 2 3 Suy ra: = ℎ + với = + +
GVHD: Hoàng Xuân Dinh 40 SVTH: Sơn Mạnh Lực ℎ = là năng lượng phụ thuộc độ sâu và bán kính tác dụng của lực hạt nhân.
Với hai giả thuyết trên, nếu ta lựa chọn độ sâu của giếng thế µ0 thích hợp ta có thể thu được các giá trị của các mức năng lượng phù hợp với thực nghiệm.
= ℎ + N là số lượng tử dao động
ℎ =
Cứ mỗi giá trị của N ta có một vài giá trị của l ≤ và tính chẵn của N bằng tính chẵn của l (Mức độ suy biến 2l+1).
Khi N = 0, l = 0: Mức độ suy biến bằng không, trạng thái s.
Khi N = 1, l = 0, 1 do N lẻ suy ra l =1: trạng thái p, mức suy biến 2l+1 = 3, có 3 trạng thái.
Khi N = 2, l = 0, 1, 2 do tính chẵn l = 0, 2: (s, d) l = 0 trạng thái s không suy biến, l = 2 trạng thái d suy biến bậc 5
Khi N = 3 suy biến bằng 10 Khi N = 4 suy biến 15 Tổng quát:
Mỗi giá trị của N số suy biến sẽ là:
( + 1)( + 2) 2
Vì tương tác của nuclon là tương tác mạnh, tức là có liên kiết spin quỹ đạo, do đó số trạng thái phải được đặc trưng bởi = ±
Như vậy kể thêm tương tác Spin quỹ đạo thì số suy biến sẽ tăng gấp hai lần, và ứng với N thì số suy biến là:
GVHD: Hoàng Xuân Dinh 41 SVTH: Sơn Mạnh Lực
Bảng 4.1: Sắp xếp các trạng thái theo số lượng tử N
N Số trạng thái suy biên Số trạng thái suy biến có kể đến Spin quỹ đạo Số trạng thái tổng cộng 0 1 2 2 1 3 6 8 2 6 12 20 3 10 20 40 4 15 30 70 5 21 42 112 6 28 56 168 4.6. HÀM THẾ TỰ HỢP TRONG MẪU VỎ
Trạng thái của các electron trong trường thế tự hợp được đặt trưng bởi 4 số lượng tử n, l, j, mj.
Trong đó:
n: là số lượng tử n = 1, 2, 3…, xác định phân bố các mức năng lượng, n càng lớn thì mức năng lượng càng cao.
l: là số lượng tử quỹ đạo, l nhận giá trị 0, 1, 2, 3, 4…các trạng thái ứng với l = 0, 1, 2, 3…được kí hiệu là s, p, d, f, g, h…
j: momen toàn phần của nucleon ( = ± ) có thể nhận các giá trị bán nguyên 1/2 ,3/2, 5/2…
Cuối cùng mj là hình chiếu của j, j nhân giá trị mj = -j, -j +1,.., j-1, j… một mức năng lượng của nucleon trong hạt nhân thường được kí hiệu bởi ba số lượng tử n, l, j.
Tính chẵn lẻ của mức năng lượng được xác định bởi số lượng tử quỹ đạo l.
Cơ sở xây dựng mẫu vỏ là trường thế hạt nhân tự hợp và hàm thế đơn giản nhất là hố thế chữ nhật với bề rộng bằng bán kính hạt nhân R và chiều sâu được xác định theo điều kiện là năng lượng kiên kiết của neutron trong hạt nhân vào khoảng 8 MeV. Giải phương trình Schrodinger trong hố thế cho phép xác định được các trạng thái khác nhau.
GVHD: Hoàng Xuân Dinh 42 SVTH: Sơn Mạnh Lực
Bảng 4.2: Các trạng thái nhận được từ việc giải phương trình schrodinger với hố thế chữ nhật làm tròn các góc cạnh Trạng thái 1s 1p 2s 1d 1f 2p 1g 2d 3s 1h 2f 3p L N =2(2l+1) 0 2 2 1 6 8 0 2 2 10 10 20 3 1 14 6 34 40 4 2 0 18 10 2 58 68 70 5 3 1 22 14 6 92 106 112
Các mức trong bảng 4.2 sắp xếp theo thứ tự tăng dần và được đặt trưng bởi 2 số lượng tử n và l. theo nguyên lý loại trư Pauli, mỗi mức có thể chứa = 2(2 + 1) nucleon mỗi loại proton hay neutron. Khi thay đổi dạng hố thế thì các mức đổi chổ dọc theo thang năng lượng và nhóm lại với nhau thành các mức tách biệt nhau, bởi các khoảng trống năng lượng khá lớn. các nhóm mức năng lượng này có thể so sánh với các vỏ hạt nhân. Trong mẫu chính xác thì số tổng cộng ∑ phải trùng với số magic. Khoảng cách lớn giữa các mức làm cho hạt nhân magic bền vững, nghĩa là khó thêm hoặc bớt một nucleon vào hạt nhân magic. Sự thay đổi dễ dàng trong hố thế chữ nhật là làm tròn các góc cạnh. Các tính toán cho thấy việc thay đổi này không cải tiến thứ tự các mức nhưng nhóm mức sau đây thành các mức nhóm mức: 2s và 1d; 1f và 2d; 1f và 2p; 1g, 2d và 3s; 1h, 2f và 3p. Như vậy, các lớp vỏ đối với hố thế chữ nhật với các góc cạnh được làm tròn kết thúc ở các số 2, 8, 20, 40, 70 và 112. So sánh với các số magic 2, 8, 20, 50, 82 và 126 thì sơ đồ này chỉ đúng với 3 số magic đầu tiên 2, 8, 20.
Sau khi giải phương trình thể parabole cũng không nhận được kết quả như thực nghiệm.
Năm 1949 Để giải thích điều này M.Mayer và J.Jensen độc lập với nhau đã đưa vào tương tác Spin quý đạo.
Tương tác Spin quỹ đạo trong hạt nhân: Quan sát thực nghiệm người ta thấy rằng: mức j=1+1/2 nằm thấp hơn mức j=1-1/2.
Mayer đưa vào khái niệm tương tác Spin quỹ đạo qua toán tử năng lượng như sau:
= + ( )[ . ]
( ) chỉ phụ thuộc vào vị trí của Nuclon ta có thể giả thiết ( ) = . ⃗. ⃗ = 1
2[ + + ]
GVHD: Hoàng Xuân Dinh 43 SVTH: Sơn Mạnh Lực ⃗. ⃗ =1
2 ( + 1) − ( + 1) −3 4
Để xác định khoảng cách mức ta viết phương trình sóng theo thành phân xuyên tâm trong hai trường hợp: có tương tác Spin và không có tương tác Spin quỹ đạo.
Đặt Ψ =u(r) /r
Không kể tương tác spin quỹ đạo:
− ( + 1) +2
ℎ − ( ) ( ) = 0
Có kể tương tác Spin quỹ đạo:
− ( + 1) +2
ℎ − ( ) −2 ( + 1) − ( + 1) −3
4 ( ) = 0
Ta thấy hai trường hợp chỉ khác nhau ở số hạng
/2{ ( + 1) − ( + 1) −3 4}
Chứng tỏ hàm sóng ( ) = ( ), các giá trị năng lượng sẽ là:
= + 2 ( + 1) − ( + 1) −3 4 Ta thấy khi = + => = + = −1 2=> = −2( + 1)
Vì mức năng lượng thấp nhất ứng với năng (l+1/2) thấp hơn mức (l-1/2) do đó f là
một số âm và khoảng cách giữa hai mức năng lượng: =| |(2 + 1), hai mức năng lượng càng tách xa nhau ra khi l càng lớn, | | hầu như không phù thuộc vào l.
4.7. MOMEN TỪ HẠT NHÂN NHẬN ĐƯỢC TRÊN CƠ SỞ MẪU VỎ
Mẫu vỏ với thế tương tác spin – quỹ đạo cho phép tính được các số magic, ứng vơi số neutron hay proton chiếm đày các lớp. điều này cho ta thấy các tính chất của hạt nhân dược xác định bởi các tính chất của các nucleon. Một trong nhưng ứng dụng khác của mẫu vỏ là momen từ hạt nhân, khi đó người ta bổ sung thêm các giả thuyết sau:
Ở trạng thái cơ bản một hệ chẳn - chẳn coa momen toàn phần bằng không do hiệu ứng tương quan cặp.
Momen toàn phần của hệ chẳn – lẻ được xác định bởi momen toàn phần của nucleon không đánh cặp.
GVHD: Hoàng Xuân Dinh 44 SVTH: Sơn Mạnh Lực Momen toàn phần của hệ lẻ - lẻ bằng tổng các momen toàn phần của các nucleon không đánh cặp.
Với hai giả thiết đầu tiên ta thấy mẫu vỏ chính là mẫu một hạt. khi đó momen từ của hạt nhân chẳn – lẻ được tính:
µ⃗ = g⃗ (1) Trong đó: g là hệ số hồi chuyển
Trong hạt nhân chẳn – lẻ, khi hạt nhân có một nucleon không đánh cắp nằm ngoai lớp vỏ kín, thì spin hạt nhân ⃗ bằng momen toàn phần ⃗ của nucleon này.
Trong đó
⃗ = l⃗ + s⃗ (2)
và ⃗ lá spin và ⃗ là momen quỹ đạo của nucleon, thay (2) vào (1) ta được:
µ⃗ = gl⃗ + gs⃗
Từ công thức (2) và (3) ta thấy các vectơ ⃗ và ⃗ không cùng phương, do đó người ta sử dụng đại lượng momen hiệu dụng cùng phương với ⃗ bằng cách hạ hình chiếu
⃗ lên ⃗. Vectơ ⃗ có 2j + 1 hình chiếu trong từ trường ngoài, trong đó có thành phần đặc trưng cho giá trị của momen từ.
Do ⃗ // ⃗ nên đọ lớn của chúng như sau
=
Trong đó:
= + −
2 + 1 v i j = l ± 1/2
Đối với proton ta có:
= ( + 2.29) ( j = l + 1/2)
= (1 − 2.29) ( + 1) ( = −1 2)
Đối với neutron ta có:
= −1.91 ( = +1 2) =1.91 + 1 ( = − 1 2)
Với là magneton Bohr của hạt nhân:
GVHD: Hoàng Xuân Dinh 45 SVTH: Sơn Mạnh Lực
Bảng 4.3: Momen từ của hạt nhân nhóm I
Hạt nhân Spin Trạng thái µ thực nghiệm µ lý thuyết
N ½ 1 / -1.91 - P ½ 1 / +2.98 - 1H2 1 (1 / )2 +0.86 +0.88 1H3 ½ (1 / )3 +2.98 +2.79 2He3 ½ (1 / )3 -2.13 -1.91 2He4 0 (1 / )4 0 0
Bảng 4.4: Momen từ của hạt nhân nhóm II
Hạt nhân Spin Trạng thái µ thực
nghiệm µ lý thuyết 3Li7 3/2 (1s1/2)4(1p3/2)2 3.26 3.07 4Be9 3/2 (1s1/2)4(1p3/2)5 - 1.18 -1.14 5B10 3 (1s1/2)4(1p3/2)6 - 1.80 -1.88 6C12 0 (1s1/2)4(1p3/2)8 0 0 6C13 ½ (1s1/2)4(1p3/2)81p1/2 0.7 0.64 7N14 1 (1s1/2)4(1p3/2)8(1p1/2)2 - 0.40 -0.40 7N15 ½ (1s1/2)4(1p3/2)8(1p1/2)3 - 0.28 -0.24 8O16 0 1s1/2)4(1p3/2)8(1p1/2)4 0 0
Sử dụng công thức trên ta có kết quả tính toán momen từ hạt nhân nêu trên các bảng 4.3 và 4.4 đối với hạt nhân nhóm I và nhóm II. Từ các bảng 4.3 và 4.4 ta thấy mặc dù chưa thật trùng hợp nhau nhưng khá phù hợp với thực nghiệm đều đó nói lên tính đúng đắn của mẫu vỏ hạt nhân.
4.8. CÁC KẾT QUẢ KHÁC CỦA MẪU VỎ
Mẫu vỏ giải thích khá phù hợp một số kết quả thực nghiệm về số magic, spin, momen từ, momen từ cực điện. ngoài ra có thể nêu ngắn gọn các kết quả khác suy từ mẫu vỏ như sự tồn tại các mức isomer trong hạt nhân và các quy tắc lựa chọn đối với phân rã beta.Các mức isomer của hạt nhân là các mức với thời gian sống khá lâu. Thường các mức này liên quan đến trạng thái kích thích thấp của hạt nhân nhưng có số spin khác xa spin của trạng thái cơ bản với ∆ ≥ 4. Từ bảng ta thấy rằng, các trạng thái
GVHD: Hoàng Xuân Dinh 46 SVTH: Sơn Mạnh Lực kề nhau và có spin rất khác nhau nằm ở lớp vỏ IV là 2p1/2 và 1g1/2 với ∆ = − = 4.
Như vậy hạt nhân ở trạng thái 2p1/2 có trạng thái kích thích thấp nhất 1g1/2 và dịch chuyển gama từ trạng thái kích thích xuống trạng thái cơ bản khó xảy ra. Vì một trạng thái với momen toàn phần của nucleon có m = 2j+1 nucleon. Như vậy các hạt nhân trước mức 2p1/2 đã có N = 20+8+6+4=38 nucleon. Như vậy các hạt nhân có số neutron hay proton từ 39 trở đi trở đi cho đến 50 đều có thể có các trạng thái isomer. Điều này đã được thực nghiệm xác nhận cũng tương tự như vậy, trong lớp V, tính isomer cũng xuất hiện giữa hai trạng thái 2d3/2 với trạng thái 1h1/2, nghĩa là sau hạt nhân có số neutron hay proton N=50+8+6=64 cho đến trước số 82.
Quy tắc lựa chọn đối với phân rã beta liên quan đến sự thay đổi độ chẵn lẻ và spin trong quá trình phân rã. Mẫu vỏ có thể đánh giá được sự lựa chọn thông qua việc tính thời gian sống trung bình .
4.9. THÀNH CÔNG VÀ HẠN CHẾ 4.9.1. Thành công 4.9.1. Thành công
Mẫu vỏ có thể giải thích một số tính chất của hạt nhân ở trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thấp. Vì nuclon có khuynh hướng kết đôi để có momen động lượng bằng không, nên các hạt nhân chẵn chẵn có spin bằng không. Còn spin các hạt nhân có A lẻ thì được xác định bởi momen động lượng của nuclon lẻ không kết đôi.
Mẫu vỏ tiên đoán được tính chẵn lẻ của hạt nhân. Vì vậy một thành công lớn của mẫu vỏ là giải thích được tại sao một số phân rã β, γ tuy khả dĩ về năng lượng nhưng lại không xảy ra hay ít xảy ra. Các chuyển dời như vậy gọi là bị cấm, xác suất chuyển dời phụ thuộc vào hiệu số năng lượng trạng thái đầu và trạng thái cuối, nhưng còn phụ thuộc mạnh hơn vào spin và tính chất chẵn lẻ hạt nhân ở các trạng thái đó. Ngoài ra mẫu vỏ còn giải thích được nhiều hiện tượng khác như sự tạo thành các hạt α trong hạt nhân và phóng xạ α.
4.9.2. Hạn chế
Phạm vi áp dụng của mẫu vỏ không lớn lắm, nó giải quyết rất đúng đắn các vấn đề của hạt nhân trong phạm vi các hạt magic và gần magic, nhưng chưa mô tả được cơ chế của quá trình phản ứng hạt nhân, cơ chế của quá trình phân chia hạt nhân và không giải quyết được nhiều tính chất của hạt nhân ở xa magic, đặc biệt nó hoàn toàn thất bại
GVHD: Hoàng Xuân Dinh 47 SVTH: Sơn Mạnh Lực khi áp dụng cho các hạt nhân có A>155 và A>225 là các hạt nhân biến dạng trong trường hợp này ta phải dùng các mẫu hạt nhân khác.
GVHD: Hoàng Xuân Dinh 48 SVTH: Sơn Mạnh Lực
Phần KẾT LUẬN
Ta biết rằng nguyên tử và hạt nhân có cấu tạo và tính chất rất phức tạp, để giải thích và tiên đoán được các tính chất thì cần đưa ra một lý thuyết hay một mô hình nào đó. Vì vậy khi nghiên cứu về hạt nhân nguyên tử, các nhà khoa học đã đưa ra một số mẫu hạt nhân nhằm giải thích những hiện tượng cũng như những tính chất của hạt nhân. Cho đến nay chưa có mẫu nào thực sự hoàn chỉnh để giải thích được tất cả các tính chất, cấu trúc cũng như hiện tượng phân rã của hạt nhân. Mỗi mẫu chỉ giải thích được một số ít hiện tượng, tính chất mà thôi, còn một số hiện tượng và tính chất khác thì không giải thích được. Do đó các nhà vật lý học cố gắng tìm tòi với hy vọng sẽ có một lý thuyết mới hoàn thiện hơn và có thể giải thích được tất cả những tính chất cũng như đặc điểm của hạt nhân.
Những vấn đề được trình bày trong luận văn chỉ là một phần nhỏ của vật lý hạt nhân. Việc tìm hiểu các mẫu hạt nhân đã gặp phải khó khăn về nhiều mặt. Thứ nhất về toán học: công cụ không thể thiếu trong việc mô tả, dự đoán ngoài những biểu hiện cụ thể của hạt nhân. Thứ hai về thí nghiệm: biết rằng vật lý hạt nhân là một lĩnh vực rất khó vì thế muốn làm được thí nghiệm đòi hỏi phải có lò phản ứng hạt nhân. Chính vì thế nên quá trình làm luận văn chỉ sử dụng những phương pháp sưu tầm, phân tích và tổng hợp các tài liệu sẵn có để thay thế. Nếu khắc phục được những khó khăn trên thì luận văn này chắc sẽ hoàn chỉnh hơn.
Tuy vậy luận văn này cũng đã trình bày khá hoàn chỉnh những mẫu hạt nhân hết sức cơ bản là mẫu giọt chất lỏng, mẫu khí Fermi, mẫu vỏ và nêu lên những thành công, cũng như hạn chế của từng mẫu.
Đề tài này đã đạt được mục đích đề ra, tuy nhiên nội dung của đề tài chỉ nghiên cứu trên cơ sở tổng hợp lý thuyết mà chưa nghiên cứu về mặt thực nghiệm.
Với những nỗ lực cố gắng của mình và sự giúp đỡ tận tình của thầy hướng dẫn, tôi