Chúng ta định nghĩa là ước lượng trạng thái tiên nghiệm (priori
state estimate) tại thời điểm k, mang thông tin về quá trình tại thời điểm k, và là ước lượng trạng thái hậu nghiệm (posteriori state estimate) tại bước k dựa trên phép đo. Từ đó xác định được sai số ước lượng tiên nghiệm và hậu nghiệm (priori and a posteriori estimate errors):
(2-5) (2-6)
(2-7) (2-8)
35
Các công thức hiệp phương sai của sai số ước lượng tiên nghiệm (priori
estimate error covariance) và hậu nghiệm (posteriori estimate error covariance):
Từ các công thức trên, chúng ta bắt đầu với mục tiêu tìm một phương trình tính toán ước lượng trạng thái hậu nghiệm bằng cách kết hợp một cách tuyến tính ước lượng trạng thái tiên nghiệm và hiệu có trọng số giữa phép đo zk với ước lượng .
Phương trình (2-11) được gọi là “The Probabilistic Origins of the Filter”. Còn hiệu trong phương trình (2-11) là giá trị cập nhật từ phép đo (measurement innovation) hay phần dư (residual). Phần dư thể hiện độ lệch giữa phép đo đã ước lượng và phép đo thực tế zk.
Ma trận K kích thước n m× trong phương trình (2-11) gọi là hệ số khuếch đại của bộ lọc (gain) hay hệ số kết hợp (blending factor), lựa chọn sao cho có thể cực tiểu hóa hiệp phương sai trong phương trình (2-10). Tiến hành thế phương trình
(2-11) vào phương trình (2-10), thực hiện các phép biến đổi, đặt phương trình bằng
zero, và tính ra K.
(2-9)
(2-10)
(2-11)
36
Từ phương trình (2-12) nhận thấy rằng hiệp phương sai của nhiễu phép đo R tiến về zero, thì trọng số K càng lớn.
Ngược lại, hiệp phương sai của sai số ước lượng tiên nghiệm tiến về zero, thì trọng số K càng nhỏ.
Nói theo cách khác, hiệp phương sai của nhiễu phép đo R tiến về zero, phép đo zk sẽ ngày càng chính xác, trong khi ước lượng ngày càng sai lệch. Và ngược lại, hiệp phương sai của sai số ước lượng tiên nghiệm tiến về zero, phép đo zk sẽ ngày càng sai lệch, trong khi ước lượng ngày càng chính xác.