∗ Xác định điểm cân bằng và điểm làm việc: Xét hệ thống không tự trị mô tả bởi:
(2.1) Trong đó là vecto các tín hiệu trạng thái( hệ có biến trạng thái ) và
32
Điểm trạng thái cân bằng của hệ (2.1) là điểm mà hệ sẽ nằm nguyên tại đó khi không bị một tác động nào từ bên ngoài ( ) ,như vậy các trạng thái xác lập của hệ
(2.1) cũng là điểm cân bằng của nó. Theo định nghĩa trên thì điểm trạng thái cân bằng phải là nghiệm của:
(2.2) Do phương trình (2.2) có thể có nhiều nghiệm hoặc có thể vô nghiệm nên hệ phi tuyến (2.1) có thể có nhiều điểm cân bằng nhưng cũng có thể không có một điểm cân bằng nào. So sánh với một hệ tuyến tính tham số hằng có mô hình trạng thái :
(2.3) Luôn cân bằng tại gốc tọa độ . Ngoài ra nếu ma trận suy biến thì nó không những cân bằng tại gốc mà còn tại tất cả các điểm thuộc không gian nhân . Nếu ma trận còn là không suy biến (khả nghịch) thì hệ tuyến tính (2.3) chỉ có một
điểm cân bằng duy nhất là tại gốc tọa độ.
Tương tự như khái niệm vềđiểm cân bằng nhưng ứng với một tác động
cốđịnh không đổi và cho trước ta còn khái niệm vềđiểm dừng được định nghĩa như
33
trạng thái và với tác động cốđịnh cho trứơc thì hệ sẽ nằm nguyên tại
đó.” . Như vậy điểm dừng là nghiệm của :
∗ Định nghĩa ổn định Lyapunov:
Một trong những điều kiện hay tiêu chuẩn chất lượng đầu tiên mà bộđiều khiển cần phải mang đến được cho hệ thống là tính ổn định. Đây là tính chất động học
đảm bảo rằng sau khi bị một tác động tức thời đánh bật hệ ra khỏi điểm cân bằng thì sau đó hệ có khả năng tự tìm vềđiểm cân bằng ban đầu ( hoặc ít nhất thì cũng vềđược lân cận khác của nó ). Nói cách khác, nếu sau khi bị nhiễu tức thời đánh bật ra khỏi điểm cân bằng và đưa tới một điểm trạng thái không mong muốn nào đó mà hệ :
- Tự quay được về một lân cận của thì được gọi là ổn định tại . - Tự quay về được đúng điểm cân bằng ban đầu thì được gọi là ổn định
tiệm cận tại .
Điều kiện tự quay vềđược điểm cân bằng ban đầu có ý nói rằng không cần bất kì một tác động cưỡng bức nào từ bên ngoài để dẫn nó về , tức là không cần tín hiệu điều khiển , hay tín hiệu điều khiển được xem là bằng . Điều này cho thấy , hệ là ổn định nếu như nghiệm của phương trình vi phân (2.1) ứng với , gọi là quỹđạo trạng thái tự do, tức là nghiệm của :
34
Thỏa mãn điều kiện đầu O , luôn có xu hướng tiến về .
Do hệ phi tuyến (2.1) có thể có nhiều điểm cân bằng, nên khái niệm ổn định của hệ phi tuyến cũng phải gắn liền với điểm cân bằng được xét. Hệ (2.1) có thểổn
định tại điểm cân bằng này , song lại không ổn định tại những điểm cân bằng khác. Trong khi một hệ tuyến tính đã ổn định tại một điểm cân bằng nào đó thì cũng sẽ ổn
định tại mọi điểm cân bằng khác.
Định nghĩa 2.1: Giả sử hệ (2.1) cân bằng tại gốc tọa độ , tức là . Gọi O là một lân cận nào đó đủ lớn của . Khi đó hệ (2.1) sẽ là :
- Ổn định tại nếu với bất kì bao giờ cũng tồn tại δ phụ thuộc ε sao cho quỹ đạo trạng thái tự do của nó , tức là nghiệm của (2.4) , với điều kiện đầu O , thỏa mãn :
- Ổn định tiệm cận tại nếu nó ổn định tại và thỏa mãn :
Lân cận O khi đó được gọi là miền ổn định. Nếu miền ổn định O là toàn bộ không gian trạng thái thì tính ổn định còn được gọi là ổn định toàn cục. Định nghĩa trên nói rằng nếu cho trước một lân cận của , tức là tập các điểm trong không gian trạng thái thỏa mãn với là một số thực dương tùy ý nhưng cho trước, thì phải tồn tại một lân cận cũng của sao cho mọi đường quỹ đạo trạng thái tại thời điểm đi qua một điểm thuộc lân cận thì kể từ thời điểm
35
đó sẽ nằm hoàn toàn trong lân cận . Vì nên để có được , lân cận phải nằm trong lân cận .
Hình 2.1 Minh họa khái niệm ổn định Lyapunov.
Tuy rằng khái niệm ổn định Lyapunov chỉ phát biểu cho trường hợp điểm cân bằng là gốc tọa độ , song điều này hoàn toàn không hạn chế tính tổng quát của nó . Chẳng hạn để xét tính ổn định của hệ (2.1) tại một điểm cân bằng nào đó, thì thông qua biến mới :
Việc xét tính ổn định của nó tại nay sẽ trở thànhviệc xét tính ổn định của :
tại điểm gốc tọa độ .
∗ Tiêu chuẩn Lyapunov:
Để việc tiếp cận tới tiêu chuẩn Lyapunov được đơn giản, ta sẽ bắt đầu với hệ tự trị có mô hình trạng thái không bị kích thích ( của nó là :
36
(2.5) Giả thiết rằng hệ cân bằng tại gốc tọa độ . Khi đó để xét tính ổn định của hệ tại ,
định nghĩa về tính ổn định Lyapunov gợi ý cho ta một hướng đi đơn giản thông qua dạng quỹ đạo trạng thái tự do của nó, tức là nghiệm của (2.5) với một giá trị đầu O thích hợp. Chẳng hạn bằng cách nào đó ta đã có được họ các đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ . Vậy thì để kiêmt tra hệ có ổn định tại hay không ta chỉ cần kiểm tra xem nghiệm của (2.5) đi từ điểm trạng thái đầu có cắt các đường cong này theo hướng từ ngoài vào trong hay không. Nếu cắt mọi
đường cong họ theo chiều từ ngoài vào trong thì hiển nhiên tiến về và do đó hệ sẽổn định tiệm cận tại .
Hình 2.2 Kiểm tra tính ổn định của hệ tại .
37
Rõ ràng là cần và đủ để quỹ đạo pha của hệ không cắt bất cứ một đường cong khép kín thuộc họ theo chiều từ trong ra ngoài là tại điểm cắt đó , tiếp tuyến của phải tạo với vecto , được định nghĩa là vecto vuông góc với đường cong đó theo hướng từ trong ra ngoài , một góc φ không nhỏ hơn 90o . Nói cách khác , hệ sẽ
ổn định tại nếu như có được điều kiện :
(2.6) Tại mọi giao điểm của với các đường cong thuộc họ .
Vấn đề còn lại là làm thế nào để có được các đường cong sao cho việc kiểm tra điều kiện (2.6) được thuận tiện. Câu trả lời là sử dụng hàm xác định dương , được hiểu là một hàm trơn thỏa mãn :
(2.7) Với mọi , trong đó và là hàm thuộc lớp , tức là những hàm γ thực , không âm, đơn điệu tăng, thỏa mãn , của biến thực . Nếu còn có thêm
thì hàm được gọi là thuộc lớp .
Với đặc điểm (2.7) của hàm xác định dương thì vectơ của họ các đường cong sẽđược xác định một cách đơn giản như sau:
38
Vì vectơ gradient luôn luôn vuông góc với đường cong và chỉ chiều tăng giá trị của ,tức là chỉ chiều từ trong ra ngoài của đường cong .
Từđây điều kiện (2.6) trở thành :
Trong đó ta thường dùng kí hiệu :
và gọi là phép tính đạo hàm Lie.
Một cách tổng quát ta đi đến định lí phát biểu chung cho hệ phi tuyến không tự trị như
sau :
Định lí 2.1: Hệ phi tuyến không tự trị, cân bằng tại gốc tọa độ và khi không bị kích thích thì được mô tả bởi mô hình :
(2.8) Sẽổn định tại với miền ổn định O nếu :
39
¾ Đạo hàm của nó dọc theo (2.8) có giá trị không dương trong O, tức là :
với O (2.9)
Hàm khi đó được gọi là hàm Lyapunov (CLF).
Ngoài ra, nếu dấu bằng trong (2.9) xảy ra khi và chỉ khi thì tính ổn định đó còn gọi là ổn định tiệm cận tại .
2.3. Lý thuyết phương pháp Backstepping:
Cho đến nay, hàm CLF được xem như là một công cụ toàn năng để thiết kế bộ điều khiển ổn định cho đối tượng phi tuyến, cho cả những đối tượng phức tạp như đối tuợng không dừng, không autonom, thậm chí bất định. Song cho tới nay vẫn chưa có một phương pháp tổng quát nào giúp ta xác định được hàm CLF một cách nhanh chóng và đơn giản.
Một tư tưởng thiết kế (hiện có lẽ là duy nhất) rất hữu ích trong việc xác định hàm CLF cho hệ gồm nhiều hệ con tạo thành là thiết kế cuốn chiếu (backstepping) hàm CLF. Đây là tư tưởng xác định hàm CLF cho toàn hệ từ những hàm CLF của các hệ
con bên trong nó được giả thiết là đã biết. Bắt nguồn từ tư tưởng này người ta cũng đã xây dựng được một số phương pháp thiết kế cụ thể cho các hệ có cấu trúc cascade đặc biệt như hệ truyền thẳng (feedforward), hoặc hệ truyền ngược (backward).
2.3.1. Thiết kế cuốn chiếu hàm CLF cho hệ truyền thẳng :
40
(2.10)
Trong đó là vectơ các biến trạng thái và là đầu vào điều khiển.
Hình 2.3Đối tượng truyền thẳng qua một khâu tích phân.
Giả thiết với khâu phi tuyến con bên trong (2.10) là:
(2.11)
Trong đó
Ta đã có hàm điều khiển cũng như bộ điều khiển tương ứng. Vấn đề đặt ra ở đây là từ và đó ta phải tìm hàm điều khiển Lyapunov cũng như bộđiều khiển cho đối tuợng truyền thẳng (2.10) ban đầu.
Định lí 2.2: Xét đối tượng truyền thẳng (2.10). Nếu khâu phi tuyến con (2.11) bên trong nó có hàm điều khiển Lyapunov và bộ điều khiển ổn định , khả vi
tương ứng thỏa mãn thì một trong các hàm điều khiển Lyapunov có thể có của đối tượng ban đầu là :
41
Tương ứng với nó là bộđiều khiển phản hồi trạng thái :
(2.13) Trong đó là một hằng số tùy ý.
Chứng minh :
Nếu là hàm điều khiển Lyapunov và là tín hiệu điều khiển tương ứng của hệ con (2.11) thì sẽ có :
Tiếp theo , ta đặt thì do :
Và:
42
Như vậy để chỉ là hàm điều khiển Lyapunov cho đối tượng (2.10) ban
đầu , ta chỉ cần chỉ rằng tồn tại ít nhất một tín hiệu làm cho , và
đó chính là xác định theo (2.13) , vì với nó ta có :
2.3.2. Thiết kế cuốn chiếu hàm CLF cho hệ truyền ngược :
∗ Xét hệ thống mô tả bởi:
(2.14)
Trong đó là vectơ các biến trạng thái và là đầu vào điều khiển. Như vậy hệ này bao gồm một khâu phi tuyến với đầu vào “ảo” là :
, trong đó (2.15) Và một khâu phi tuyến thứ hai :
43
, trong đó là tín hiệu điều khiển. (2.16)
Hình 2.4 Cấu trúc hệ truyền ngược.
Hai khâu này mắc nối tiếp. Chính vì có cấu trúc truyền ngược thành phần trạng thái như vậy mà hệ (2.14) được gọi là hệ truyền ngược.
Định lí 2.3: Xét hệ (2.14) bao gồm hai hệ (2.15) và (2.16) mắc nối tiếp. Giả thiết rằng cho khâu phi tuyến con (2.15) với đầu vào “ảo” ta đã có hàm CLF cùng bộđiều khiển GAS tương ứng thỏa mãn . Khi đó hệ lớn (2.14) ban đầu cũng sẽ có hàm CLF như sau :
(2.17) Và tương ứng với nó là bộđiều khiển GAS phản hồi trạng thái :
44
Trước tiên, do có giả thiết rằng là hàm CLF của (2.15) ứng với bộ điều khiển nên phải có ( theo LaSalle) :
Với là hàm xác định dương. Từđây và cùng với hàm cho bởi (2.17) ,
45
Với là số nguyên lẻ, cùng với điều kiện , ta sẽ có hàm xác định âm:
2.4. Phương pháp điều khiển backstepping tổng quát cho robot n dof:
2.4.1. Phân tích các tham số trong phương trình động lực học:
∗ Ta có phương trình động lực học của robot bậc tự do:
(2.18)
Trong đó:
là vectơ góc khớp của cánh tay robot.
là các véctơ vận tốc khớp và gia tốc khớp tương ứng. là ma trận quán tính xác định dương. là hàm véc tơ chứa lực coriolis và li tâm. là hàm véctơ lực trọng trường. là ma trận đường chéo của hệ số ma sát động và nhớt. là véctơ ma sát tĩnh . là véctơ chứa thành phần nhiễu tác động. là hàm véctơ mô men tổng. Thay: Ta được : (2.19) Trong phương trình (2.19) chứa các thành phần không xác định như: lực ma sát, tải thay đổi, nhiễu, mô hình động lực học. Nên ta tách ra thành các thành phần xác định (known) và không xác định (unknown).
(2.20) Trong đó:
46
∗ Thiết kế bộđiều khiển cần phải có giả thiết sau:
¾ ¾ ¾ ¾ ¾ Với: là các hằng số dương đã biết trước. Ta có được các giả thiết này là do :
Ma trận là đối xứng xác định dương, các thành phần đều có biên độ
giới hạn vì chỉ chứa các hàm của biến khớp. Thành phần lực và momen nhớt , momen trọng trường cũng là những đại lượng bị chặn.
Đồng thời thành phần masat, nhiễu cũng phải có giá trị hữu hạn cho phép tùy thuộc kết cấu cơ khí của robot.
2.4.2. Điều khiển trong không gian khớp :
∗ Điều khiển đầu vào không gian khớp: Thay hệ phương trình (2.20) vào (2.19) được
(2.21)
Đặt sai lệch vị trí và sai lệch vận tốc trong không gian khớp là:
Theo phương trình (2.21) ta đề xuất đưa ra luật điều khiển có dạng sau:
(2.22)
Ởđây: là gia tốc đặt trước. là các hằng số dương.
là luật điều khiển bền vững mới. Thay (2.22) vào (2.21) và rút gọn ta được:
47
Đặt:
(2.24) Coi tất cả các khớp là quay và theo các giả thiết phía trên ta có:
(2.25) Ta chuyển (2.25) sang dạng sau:
(2.26) Với là hằng số dương.
Đặt: phương trình (2.23) trở thành hệ phương trình sau: (2.27) Hệ kín (2.27) có thểđiều khiển bằng phương pháp backstepping, do đó ta chọn là luật điều khiển cho đến khi hội tụ về 0. Do đó ta đề xuất bằng :
(2.28) Với: là hằng số dương.
∗ Chứng minh tính ổn định (2.28) .Ta chọn hàm Lyapunov như sau:
(2.29) Lấy đạo hàm (2.29) theo thời gian ta được:
(2.30) Thay (2.27) và (2.28) vào (2.30) ta được:
(2.31) Theo (2.31) ta thấy rằng , do đó luôn luôn hội tụ về không. ∗ Luật điều khiển trong không gian khớp:
Luật điều khiển backstepping được hình thành trên cơ sở chứng minh tính ổn
định của hệ thống vòng kín (2.27). Ta chọn hàm Lyapunov như sau:
48
(2.32)
Đạo hàm (2.32) theo thời gian được:
(2.33) Thay (2.27), (2.28) vào (2.33) ta được:
(2.34) Rút gọn (2.34) ta được: (2.35) Theo các giả thiết ta có: (2.36) Theo (2.36), luật điều khiển mới (Robot control law) được viết như sau:
(2.37) Trong đó: γ là hằng số dương.
Thay (2.37) vào (2.36) ta được:
(2.38) Theo (2.26), (2.27), (2.28) và (2.38) ta có: (2.39) Ởđây: và là các hằng số dương. Theo (2.37) và (2.39), và là các hệ sốđiều khiển. Để đảm bảo ta phải lựa chọn những hệ số trên cho phù hợp (để
49
Do vậy hệ thống vòng kín (2.27) ổn định toàn cục phụ thuộc vào các hệ số điều khiển , .
Tóm lại , luật điều khiển trong không gian khớp là:
(2.40)
Với :
Như vậy thuật toán Backstepping trong không gian khớp không có gì phức tạp và ta hoàn toàn có thểđiều chỉnh các hệ sốđiều khiển để đạt được chất lượng mong muốn . Tuy nhiên , trong thực tế nhiều ứng dụng cần robot phải di chuyển tới những vị trí mong muốn gắn với hệ trục tọa độ cố định , mà việc chuyển đổi các thông số đặt trong không gian làm việc sang không gian khớp là gặp khó khăn do nghiệm của bài toán động học ngược khó giải và không phải duy nhất . Vì vậy mà chúng ta cần thiết lập một luật điều khiển Backstepping cho cả không gian làm việc nhưđược trình bày dưới đây .
2.4.3. Luật điều khiển backstepping trong không gian làm việc:
Như đã chứng minh ở trên thì hệ thống vòng kín (2.27) ổn định toàn cục khi sử dụng luật điều khiển trong không gian khớp (2.40), nhưng theo phần giới thiệu, thì đểđảm bảo bám theo quỹđạo một cách chính xác trong không gian làm việc mà sử dụng luật (2.40) thì không được. Ta phải chuyển luật điều khiển robot backstepping từ không gian khớp sang không gian làm việc.
Phương trình động lực trong không gian khớp được biểu diễn như sau: