Biến dạng uốn của thanh đàn hồi mỏng

Khảo sát thanh mỏng với bán kính r và chiều dài L bị uốn cong nhẹ với bán kính cong Rr có hình dạng như hình 1.6. Do bị uốn nên mặt lồi của thanh bị kéo giãn đến chiều dài L(1 r )

R

 , trong khi đó, mặt lõm bị nén lại đến chiều dài L(1 r )

R

 , ở giữa là lớp trung tính không giãn không nén có chiều ban đầu L. Biến dạng uốn gồm biến dạng kéo và biến dạng nén, năng lượng uốn là hàm của suất Youngs Y. Năng lượng đàn hồi khi bị biến dạng uốn được cho bởi [52]:

2 0 2 1 2 2 bend BL B E k R   (1.4)

Hình 1.6.Hình dạng của thanh khi bị biến dạng uốn [52].

L(1+r/R)

L(1-r/R) L

R R

18 ở đây, k 1

R

 biểu thị cho độ cong của thanh, B là hằng số uốn hay độ cứng uốn, có thể được viết bởi:

4 4

BYI  r

(1.5) Với một thanh có tiết diện là hình tròn, thì I là mômen quán tính. Trong phương trình (1.5) có thể biểu thị số hạng là góc  biểu thị cho góc uốn được

chỉ ra như trong hình 1.6. Sau khi thay thế L0

R



 , ta thu được năng lượng uốn cong là: 2 0 2 bend B E L   (1.6)

và cân bằng giá trị năng lượng này với giá trị 1

2k TB , sự biến đổi của  có thể được viết: 2 B 0 0 p k TL L B L      (1.7)

ở đây, Lp gọi là chiều dài bền của thanh (persitence length) và bằng

B B k T và

là giá trị đo độ cứng được xác định thông qua khoảng cách. Chiều dài của thanh nhỏ hơn rất nhiều chiều dài bền khi đó coi thanh như thẳng. Thanh có chiều dài lớn hơn rất nhiều chiều dài bền sẽ xảy ra quá trình uốn theo các hướng ngẫu nhiên. Do đó chiều dài bền cho ta mức chiều dài nếu thanh vượt qua giá trị đó thì thanh mất trật tự phương hướng. Trong trường hợp này thanh không chỉ đơn giản được mô tả bởi một đoạn cong ở trên mà được xác định bởi một véc tơ tiếp tuyến mô tả đoạn cong bên trong dọc theo thanh. Đối với véc tơ tiếp tuyến này hàm tương quan giảm theo hàm số mũ được viết như sau [52]:

19 p s L cos e   (1.8)

trong đó, s cho biết vị trí dọc theo thanh và θ là góc của véctơ tiếp tuyến, cho biết hướng uốn cong. Trên thực tế phương trình này giữ cho một polymer bán linh hoạt như phân tử ADN sợi đôi xoắn, có thể được mô tả như là một chuỗi con sâu (WLC), mà chúng ta sẽ thảo luận trong phần sau. Đối với phân tử ADN sợi đôi xoắn chiều dài bền tương ứng là 50 nm [53].