gradient
Định lý 2.1 cung cấp một tiêu chuẩn rất hữu ích cho sự ổn định của các nghiệm toàn cục có miền ảnh compact tương đối. Tuy nhiên, ta có thể dễ dàng hình dung các tình huống mà tập hợp các điểm cân bằng không rời rạc: chẳng hạn với một năng lượng là hằng số trên một tập mở khác rỗng. Trong những tình huống này, liệu ta có còn sự hội tụ tới một điểm cân bằng hay không? Câu trả lời nói chung là không nếu ta không có thêm giả thiết nào.
E(rcosθ,rsinθ) = exp(r21−1) nếu r < 1, 0 nếu r = 1,
exp(−r21−1) sin(r−11 −θ) nếu r > 1,
Palis và Melo đã chỉ ra rằng hệ gradient Euclidean liên kết với năng lượng này có nghiệm toàn cục, bị chặn và nghiệm đó nhận toàn bộ đường tròn đơn vị là tập ω-giới hạn. Một ví dụ về sự không ổn định khác là hàm năng lượng E(rcosθ,rsinθ) = exp(r21−1) nếu r < 1, 0 nếu r = 1, exp(r2−−11)[1 + 4r4 4r4+ (1−r2)4 sin(r21−1 −θ)] nếu r > 1,
Để chỉ ra điều đó ta viết hệ gradient Euclidean u˙ +∇eucE(u) = 0 trong tọa độ cực: ˙ r + ∂Ee ∂r(r, θ) = 0, ˙ θ+ 1 r2 ∂Ee ∂θ(r, θ) = 0.
Ở đó, Ee(r, θ) = E(rcosθ,rsinθ). Gọi r : R+ → (0,∞) là nghiệm toàn cục của ˙ r+ exp( −1 r2−1) 2r (r2−1)2 4r4+ (r2−1)4 = 0 (2.4)
với r(0) > 1. Khi đó lim
t→∞r(t) = 1. Hơn nữa, nếu ta đặt
θ(t) := 1
thì cặp (r, θ) là nghiệm của hệ gradient ở trên (trong hệ tọa độ cực). Tuy nhiên, với nghiệm này ta có:
lim
t→∞r(t) = 1 và lim
t→∞θ(t) = ∞.
Do đó, hàm u : R+ → R2 xác định bởi:
u(t) = (r(t)cosθ(t),r(t) sinθ(t)), (t∈ R+)
là nghiệm toàn cục của hệ gradient Euclidean liên kết với E và nhận toàn bộ đường tròn đơn vị làm tập ω-giới hạn. Vì vậy, nói chung, nghiệm toàn cục và bị chặn của hệ gradient không nhất thiết hội tụ.
Định lý 2.2 (Lojasiewicz, xem [4], Định lý 12.1). Cho E : U → R là một hàm giải tích xác định trên tập mở U ⊆ Rd, ϕ ∈ U là một điểm cân bằng của E. Khi đó tồn tại các hằng số θ ∈ (0, 1
2], σ > 0 và C ≥ 0 sao cho với mọi u ∈ U với ku−ϕk ≤ σ ta có:
|E(u)− E(ϕ)|1−θ ≤C||E0(u)||(Rd)0. (2.5) Bất đẳng thức (2.5) cũng có thể viết dưới dạng
||((E(u)− E(ϕ))θ)0||(Rd)0 ≥ θ
C > 0,
và thường được gọi là bất đẳng thức Lojasiewicz hoặc chính xác hơn là bất đẳng thức gradient Lojasiewicz. Định lý 2.2 biểu thị dáng điệu chính quy của các hàm giải tích nhiều biến gần các điểm cân bằng mà một C∞-hàm nói chung không có.
2.4. Bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon và sự ổn định của nghiệm toàn cục của hệ gradient
Cho V là không gian Banach, cho H là không gian Hilbert sao cho V
trù mật và được nhúng liên tục vào H. Cho U ⊆ V là mở, E : U →R là hàm khả vi liên tục. Cho g : U → Inner(H) là một mêtric trênU. Chúng ta giả sử rằng tồn tại các hằng số c1, c2 > 0 sao cho, với mọi v ∈ H và mọi u ∈ U,
c1||v||H ≤ ||v||g(u) ≤ c2||v||H. (2.6) Định lý 2.3 (Xem [4], Định lý 12.2). Cho u ∈ Wloc1,2(R+;H)∩C(R+;V)
là nghiệm của hệ gradient
˙
u+∇gE(u) = 0. (2.7)
Giả sử rằng u có miền ảnh compact tương đối trong U, và với mọi t ∈ R+ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ta có đẳng thức năng lượng t
Z
0
ku˙(s)k2g(u(s))ds +E(u(t)) =E(u(0)). (2.8) Giả sử thêm rằng, tồn tại ϕ ∈ ω(u) , θ ∈ (0,1
2], σ > 0 và C ≥ 0 sao cho với mọi v ∈ U với kv−ϕkV ≤ σ ta có
|E(v)− E(ϕ)|1−θ ≤ C||E0(v)||V0. (2.9) Khi đó, lim
t→∞ku(t)−ϕkV = 0. Hơn nữa, khi t → ∞,
||u(t)−ϕ||H = O(e−ct), với c > 0,nếu θ = 1 2, O(t−θ/(1−2θ)), nếu θ ∈ (0;1 2). (2.10)
Trong phần tiếp theo, bất đẳng thức (2.9) được gọi là bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon. Chú ý rằng đẳng thức năng lượng (2.8) suy ra rằng hàm hợp E(u) ∈ Wloc1,1(R+). Trong phần tiếp theo, các đạo hàm của hàm hợp này được hiểu là đạo hàm yếu. Từ (2.7), đẳng thức năng lượng cũng có thể được viết dưới dạng
t Z 0 k∇gE(u(s))k2g(u(s))ds +E(u(t)) =E(u(0)) hoặc t Z 0 k∇gE(u(s))kg(u(s))ku˙(s)kg(u(s))ds + E(u(t)) = E(u(0)).
Chứng minh. Từ đẳng thức năng lượng (2.8), hàm E là không giảm dọc theo u, và nếu E(u) là hàm hằng thì u là hàm hằng. Theo giả thiết
ϕ ∈ ω(u)nên tồn tại dãy không bị chặn(tn) ⊆ R+ sao cho lim
n→∞u(tn) =ϕ. Vì E là liên tục nên lim
n→∞E(u(tn)) = E(ϕ). Do E không tăng dọc theo u, nên E(u(t)) ≥ E(ϕ) và lim
t→∞E(u(t)) = E(ϕ).
Nếu E(u(t0)) = E(ϕ) với t0 ≥ 0 thì E(u(t)) = E(ϕ) với mọi t ≥ t0
và vì vậy theo đẳng thức năng lượng (2.8), u˙(t) = 0 với t ≥ t0. Trong trường hợp này, hàm u là hàm hằng với t≥ t0, và sự khẳng định về hội tụ và đánh giá độ giảm hiển nhiên đúng. Vì vậy, chúng ta giả sử rằng
E(u(t)) > E(ϕ) với mọi t ≥ 0. Với mỗi t > 0, đặt
H(t) := (E(u(t)) − E(ϕ))θ.
Khi đó H là không tăng, H(t) > 0 với mọi t ≥ 0 và lim
t→∞H(t) = 0. Lấy
t0 ≥0 sao cho ku(t0)−ϕkV < σ và định nghĩa
Từ tính liên tục của hàm u, ta có t1 > t0. Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp, đẳng thức năng lượng (2.8), u là nghiệm của (2.7) và giả thiết (2.6) ta nhận được với hầu khắp t ∈ [t0, t1):
− d
dtH(t) = θ(E(u(t))− E(ϕ))θ−1(−d
dtE(u(t)))
= θ(E(u(t))− E(ϕ))θ−1||∇gE(u(t))||g(u(t))||u˙(t)||g(u(t)) ≥θc1(E(u(t)) − E(ϕ))θ−1||∇gE(u(t))||g(u(t))||u˙(t)||H.
Lại sử dụng giả thiết (2.6), với mọi t ∈ R+, ta thu được ước lượng
||∇gE(u(t))||g(u(t)) = sup ||v||g(u(t))≤1 h∇gE(u(t)), vig(u(t)) = sup ||v||g(u(t))≤1 D E0(u(t)), v E V0,V ≥ sup c2||v||H≤1 D E0(u(t)), v E V0,V ≥ sup c3c2||v||V≤1 D E0(u(t)), v E V0,V = 1 c3c2||E0(u(t))||V0,
trong đóc3 > 0là hằng số của phép nhúngV ,→H. Từ ước lượng này và bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon (2.9) suy ra, với hầu khắp t ∈ [t0, t1), (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
−d
dtH(t) ≥ θc1
c2c3(E(u(t))− E(ϕ))θ−1||E0(u(t))||V0||u˙(t)||H (2.11)
≥ θc1
Do đó với hầu khắp t∈ [t0, t1), ||u(t)−ϕ||H ≤ ||u(t)−u(t0)||H +||u(t0)−ϕ||H (2.12) ≤ t Z t0 ku˙(s)kHds + ||u(t0)−ϕ||H ≤ Cc2c3 θc1 H(t0) + ||u(t0)−ϕ||H.
Bây giờ cho (tn0) ⊆ R+ là một dãy không bị chặn, tăng sao cho σ >
||u(tn0)−ϕ||V →0, và dãy tương ứng tn1 như trên. Giả sử rằng tn1 là hữu hạn với mọi n. Khi đó, từ định nghĩa của tn1 và tính liên tục của u ta có
||u(tn1)−ϕ||V = σ với mọin. Vìucó miền giá trị compact tương đối trong
U ⊆ V nên ta có thể lấy ra một dãy con của (tn1) sao cho lim
n→∞u(tn1) := ψ. Từ tính liên tục của chuẩn ta có ||ψ −ϕ||V = σ > 0. Mặt khác, từ bất đẳng thức (2.12) ta có ||ψ −ϕ||H = lim
n→∞||u(tn1) −ϕ||H = 0, điều này mâu thuẫn.
Do đó, với nđủ lớn,tn1 = +∞. Từ đây và (2.11) suy rau˙ ∈ L1(R+;H). Theo tiêu chuẩn Cauchy, lim
t→∞u(t) tồn tại trong H. Từ việc sử dụng tính compact tương đối của miền giá trị của u trong V, (chuyển qua dãy con nếu cần) và vì ϕ ∈ ω(u) ta suy ra lim
t→∞u(t) =ϕ trong V.
Để chứng minh ước lượng độ giảm ta lấy t0 ≥ 0 đủ lớn sao cho
||u(t)−ϕ||V ≤ σ với mọi t ≥t0. Từ bất đẳng thức (2.11), với mọi t≥ t0. Từ bất đẳng thức (2.11), với mọi t ≥ t0, ||u(t)−ϕ||H ≤ Z ∞ t ||u˙(s)||Hds (2.13) ≤ Cc2c3 θc1 H(t).
Hơn nữa, từ đẳng thức năng lượng (2.8), với hầu khắp t ≥ t0, −d dtH(t) = θ(E(u(t))− E(u))θ−1(−d dtE(u(t))) = θ(E(u(t))− E(ϕ))θ−1||∇gE(u(t))||2g(u(t)) = − θ c2 2c2 3 (E(u(t))− E(ϕ))θ−1||E0(u(t))||2V ≥ θ C2c2 2c2 3 (E(u(t)) − E(ϕ))1−θ = θ C2c22c23H(t)1−θθ.
Bây giờ, nếu ta lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức kết quả
−d dtH(t)H(t)−1−θθ = −d dt(logH(t)), nếu θ = 12 θ 1−2θ d dtH(t)−1−θ2θ, nếu θ ∈ (0;12) ≥ θ C2c22c23
trên khoảng (t0, t), thì ta có đánh giá
H(t) = O(e−ct), nếu θ = 1 2, O(t−θ/1−2θ), nếu θ ∈ (0;1 2).
Kết hợp đánh giá này với (2.13), ta có ước lượng độ giảm của ||u −
ϕ||H.
2.5. Bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon trong không gian Hilbert
Cho V là không gian Hilbert, U ⊆ V là một tập con mở. Cho E ∈
C2(U) và ϕ ∈ U là một điểm cân bằng của E, nghĩa là, E0(ϕ) = 0. Chúng ta sẽ xác định các điều kiện để đảm bảo E thỏa mãn bất đẳng
thức Lojasiewicz-Simon gần ϕ, nghĩa là, tồn tại θ ∈ (0;1
2], σ > 0 và
C ≥ 0 sao cho với mọi u ∈ U với ||u−ϕ||V ≤σ ta có
|E(u)− E(ϕ)|1−θ ≤ C||E0(u)||V0. (2.14) Mặc dù trong bất dẳng thức này, chỉ có đạo hàm cấp một của E xuất hiện nhưng các điều kiện và chứng minh trong phần này cần tới đạo hàm cấp 2. Nhớ lại rằng, đạo hàm Fréchet E0 ánh xạ V vào V0 nên đạo hàm cấp hai tại điểm u ∈ U là một toán tử tuyến tính từ V vào V0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Định lý 2.4 (Xem [4], Định lý 12.3). Giả sử rằng E00(u) là khả nghịch liên tục. Khi đó E thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon gần ϕ với
θ = 1 2.
Chứng minh. Xét khai triển Taylor của E và E0,
E(u) =E(ϕ) +E0(ϕ)(u−ϕ) +O(||u−ϕ||2V) và
E0(u) =E0(ϕ) +E00(ϕ)(u−ϕ) + o(||u−ϕ||V).
Vì E0(u) = 0 nên đẳng thức đầu tiên cho ta
|E(u)− E(ϕ)| ≤ C||u−ϕ||2V
trong một lân cận của ϕ. Vì E00(ϕ) khả nghịch nên ||E00(ϕ)(u−ϕ)||V0 ≥
c||u−ϕ||V với mọi u∈ U và hằng số c > 0. Do đó đẳng thức khai triển Taylor thứ hai cho ta
||E0(u)||V0 ≥ c
2||u−ϕ||V
trong một lân cận của ϕ. Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta có
trong một lân cận của ϕ, và ta có điều cần chứng minh.
Chứng minh trên của Định lý 2.4 chủ yếu dựa vào khai triển Taylor và định nghĩa đạo hàm Fréchet. Ý tưởng này có thể mở rộng cho trường hợp
E00(ϕ) không nhất thiết khả nghịch, nhưng khi đó ta phải sử dụng Định lý hàm ẩn, sự phân tích phi tuyến của không gian V và ta có thể quy về trường hợp khả nghịch. Sau đây, chúng ta giả sử rằng E00(ϕ) là toán tử Fredholm, nghĩa là hạt nhân kerE00(ϕ) = {u∈ V :E00(ϕ)u = 0} hữu hạn chiều và miền ảnh rgE00(ϕ) = {E00(ϕ)u : u ∈ V} đóng trong V0 và có đối chiều hữu hạn.
Lấy P ∈ L(V) là một phép chiếu bất kì lên kerE00(ϕ). Khi đó V là tổng trực tiếp
V = V0 ⊕ V1
= rgP⊕ kerP
= kerE00(ϕ)⊕ kerP.
Hơn nữa, các không gian rgP0,kerP0 ⊆ V0 (trong đó P0 ∈ L(V0) là phép chiếu liên hợp) có thể đồng nhất tự nhiên với các không gian đối ngẫu
V00 và V10, tương ứng, và ta có thể viết V10 = kerP0.
Tính đối xứng của đạo hàm cấp 2 của các hàm thực đã được biết đối với các hàm khả vi liên tục 2 lần trên Rd; xem [Cartan (1967), Định lý 5.1.1]. Kết quả sau khẳng định đối với các hàm xác định trên không gian Banach.
tuyến tính E00(u) : V → V0 là đối xứng, nghĩa là, với mọi v, w ∈ V ta có
hE00(u)v, wiV0,V = hE00(u)w, viV0,V .
Theo định lý Schwarz, với mọi u, v ∈ V,
hP0E00(ϕ)u, viV0,V = hE00(ϕ)u, P viV0,V
= hE00(ϕ)P v, uiV0,V
= 0
trong đó, bất đẳng thức cuối có được là do P là phép chiếu lên nhân của
E00(ϕ). Từ đẳng thức này suy ra (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
rgE00(ϕ) ⊆ kerP0 = V01. (2.15) Bổ đề 2.4 (Xem [4], Bổ đề 12.5). Toán tử tuyến tính E00(ϕ) : V1 → V10
là khả nghịch liên tục .
Chứng minh. Vì V1∩V0 = V1∩kerE00(ϕ) = {0} nên toán tử E00(ϕ) là đơn ánh trên V1.
Tiếp đến, chứng minh rằng E00(ϕ) có miền ảnh trù mật trong V10. Chú ý rằng E00(ϕ)(V1) = E00(ϕ)(V). Do đó, để chỉ ra rằng E00(ϕ) có miền ảnh trù mật trong V10, ta chỉ cần chỉ ra rằng u ∈ V1 và hE00(ϕ)v, uiV0 ,V = 0 với mọi v ∈ V ⇒ u = 0.
Tuy nhiên, điều này được suy ra trực tiếp từ Định lý Schwarz và tính đơn ánh của E00(ϕ) trên V1.
Từ giả thiết, E00(ϕ) có miền ảnh đóng trong V0, nên E00(ϕ) là toàn ánh và do đó là song ánh từ V1 lên V10. Khẳng định của bổ đề được suy ra từ định lý về tính bị chặn của ánh xạ ngược.
Bổ đề 2.5 (Xem [4], Bổ đề 12.6). Cho P ∈ L(V) là phép chiếu lên
kerE00(ϕ) và định nghĩa tập
S := {u ∈ U : (I −P0)E0(u) = 0}
Khi đó, trong một lân cận của ϕ, S là đa tạp khả vi, được gọi là đa tạp tới hạn, thỏa mãn:
dimS = dim kerE00(ϕ).
Nếu E ∈ Ck(U) với k ≥ 2 thì S là Ck−1-đa tạp. Nếu E giải tích thì S
cũng giải tích.
Chứng minh. Xét hàm
G:= V = V0 ⊕V1 ⊇ U → V10
u = u0 +u1 7→ (I −P0)E0(u).
Vì E0 khả vi liên tục nên hàm G cũng khả vi liên tục. Hơn nữa, G(ϕ) =
G(ϕ0+ϕ1) = 0 và G0(ϕ) = (I −P0)E00(ϕ) =E00(ϕ) (xem (2.15) cho đẳng thức cuối). Theo Bổ đề 2.4 , đạo hàm riêng ∂G
∂u1(ϕ) = E00(ϕ)|V1 : V1 → V10
là một đẳng cấu (khả nghịch liên tục). Do đó, theo Định lý hàm ẩn 1.17, tồn tại lân cận U0 ⊆V0 của ϕ0, lân cận U1 ⊆ V1 của ϕ1, U0+U1 ⊆ U và hàm g ∈ C1(U0;U1) sao cho g(ϕ0) = ϕ1 và
{u ∈ U0 + U1 : G(u) = 0} = {(u0, g(u0)) : u0 ∈ U0}.
Theo định nghĩa của hàm G và tập S, tập ở vế trái của đẳng thức này chính là giao của S với lân cận U0 +U1 của ϕ. Như vậy, ở gần ϕ, S là đồ thị của hàm khả vi g, nghĩa là, S là đa tạp khả vi. Tính chính quy cao hơn của đa tạp S trong trường hợp tính chính quy cao hơn của E
suy ra trực tiếp từ định lý hàm ẩn. Bổ đề được chứng minh.
Chú ý rằng đa tạp tới hạn có thể không là một đa tạp con của V, nhưng theo Bổ đề 2.5 ở gần ϕ, nó là một đa tạp con (vì nó là đồ thị của hàm ẩn g). Đa tạp tới hạn phụ thuộc vào việc chọn phép chiếuP, nhưng nó luôn chứa tập tất cả các điểm cân bằng S0:
S0 := {u ∈ U : E0(u) = 0} ⊆ S.
Định lý 2.6 (Xem [4], Định lý 12.7). Xác định đa tạp tới hạn như trong Bổ đề 2.5, và giả sử rằng hạn chế E|S thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon gần ϕ, nghĩa là, tồn tại hằng số θ ∈ (0, 1
2], σ > 0 và
C ≥ 0 sao cho với mọi u ∈ U ∩S, với ||u−ϕ||V ≤ σ ta có:
|E(u)− E(ϕ)|1−θ ≤ C||E0(u)||V0.
Khi đó E thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon gần ϕ với cùng số mũ θ. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh. Chọn lân cận U := U0 + U1 của ϕ và hàm ẩn g : U0 →U1
như trong chứng minh Bổ đề 2.5 . Giả sử rằng U là đủ nhỏ để hạn chế
E|S thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon trong U ∩S. Chúng ta định nghĩa một phép chiếu phi tuyến Q: U →U bởi
Qu = Q(u0 +u1) := u0 +g(u0). Chú ý rằng, với mọi u ∈ U, Qu ∈ S và u−Qu∈ V1.
Hơn nữa, Qϕ = ϕ. Với mọi u ∈ U, khai triển Taylor của E tại Qu là
E(u)− E(Qu) =
= hE0(Qu), u−QuiV0,V + 1
2hE00(Qu)(u−Qu), u −QuiV0,V +o(||u−Qu||2).
Từ định nghĩa của V1 và định nghĩa của đa tạp S,
hE0(Qu), u−QuiV0,V = hE0(Qu),(I −P)(u−Qu)iV0,V
= h(I −P0)E0(Qu), u−QuiV0,V
= 0,
nghĩa là, hạng tử đầu tiên ở vế phải của khai triển Taylor của E bằng 0. Từ đây và vì E00 là bị chặn đều trên U nên theo tính liên tục, nếu chúng ta chọn U đủ nhỏ, ta có với mọi u ∈ U,
|E(u)− E(Qu)| ≤ C||u−Qu||2V. (2.16) Từ đây về sau, giá trị của hằng số C có thể thay đổi trong các công thức khác nhau. Theo định nghĩa của tính khả vi,
E0(u)− E0(Qu) = E00(Qu)(u−Qu) +o(||u−Qu||). (2.17) Áp dụng phép chiếu I −P0 vào đẳng thức này và sử dụng Qu∈ S để có
(I −P0)E0(u) = (I −P0)E00(Qu)(u−Qu) + o(||u−Qu||) (2.18) Theo Bổ đề 2.4, toán tử (I − P0)E00(ϕ) = E00(ϕ) : V1 → V10 là khả nghịch liên tục. Do đó (do tính liên tục) nếu ta chọn U đủ nhỏ thì
(I−P0)E00(Qu) : V1 → V10 là khả nghịch liên tục với tất cả u ∈ U và toán tử ngược bị chặn đều trên U. Do đó, theo (2.18) tồn tại hằng số C ≥ 0
sao cho với mọi u ∈ U
||u−Qu||V ≤ C||(I −P0)E0(u)||V0 ≤ C||E0(u)||V0. (2.19) Theo (2.17) và (2.19),
||E0(Qu)||V0 ≤ ||E0(u)||V0 +C||u−Qu||V ≤ C||E0(u)||V0. (2.20) Kết hợp ước lượng (2.16) và (2.19) với giả thiết E|S thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon trong U ∩S và sử dụng ước lượng (2.20) chúng ta có
|E(u)− E(ϕ)| ≤ |E(u)− E(Qu)|+|E(Qu)− E(ϕ)| ≤C||E0(u)||2V0 +C||E0(Qu)||1V/0(1−θ)
≤C(||E0(u)||2V0 +||E0(u)||1V/0(1−θ))
với mọi u ∈ U.
Chọn U đủ nhỏ, từ tính liên tục ta có thể giả sử rằng ||E0(u)||V0 ≤ 1 với mọi u ∈ U. Vì θ ∈ (0,1
2] nên ta có
|E(u)− E(ϕ)| ≤ C||E0(u)||1V/0(1−θ) với mọi u ∈ U, Vậy ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.1 (Xem [4], Hệ quả 12.8). Cho E ∈ C2(U), ϕ ∈ V là một điểm cân bằng và giả sử rằng E00(ϕ) là một toán tử Fredholm. Xác định đa tạp tới hạn S như trong Bổ đề 2.5. Giả sử rằng tập của tất cả các